数学理卷·2018届福建省莆田第九中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届福建省莆田第九中学高三上学期期中考试（2017

福建省莆田第九中学2018届高三上学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数 等于（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎3. 已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知满足不等式组，则的最大值与最小值的比值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 下列选项中，说法正确的个数是（ ）‎ ‎①命题“”的否定为“”；‎ ‎②命题“在中，，则”的逆否命题为真命题；‎ ‎③设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件；‎ ‎④若统计数据的方差为，则的方差为；‎ ‎⑤若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值越接近1.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7. 下列说法中，正确的是：（ ）‎ A．命题“若，则”的否命题为“若，则” ‎ B．命题“存在，使得”的否定是:“任意，都有” ‎ C．若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题 ‎ D．命题“若，则”的逆命题是真命题 ‎8.函数的大致图象为（ ）‎ ‎9. 若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 在中，，则边上的高等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11. 从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线为切点，若直线的倾斜角为，则点的纵坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12. 若方程有四个不同的实数根，且，‎ 则 的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在的二项展开式中，的系数为 ．‎ ‎14.在直三棱柱中，侧棱长为，在底面中，，‎ 则此直三棱柱的外接球的表面积为 ．‎ ‎15.在矩形中，，则 ．‎ ‎16.在中，为边上一点，，若，‎ 则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列满足是等差数列，且 .‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，四棱锥中，底面是平行四边形，为的中点，平面为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成角的正切值.‎ ‎19.（1）在等差数列中，已知，前项和为，且，求当取何值时，取得最大值，并求出它的最大值；‎ ‎（2）已知数列的通项公式是，求数列的前项和.‎ ‎20. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆为椭圆的右顶点，过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中，设直线的斜率分别为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？‎ 若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎21.已知且，函数，记.‎ ‎（1）求函数的定义域及其零点；‎ ‎（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，将曲线上的所有点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程是.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最大，并求出此最大值.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的定义域；‎ ‎（2）当函数的定义域为时，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DCABA 6-10: DCDAB 11、B 12：D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由，，两式作差可得，‎ 所以，当时，，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，‎ 所以，所以，所以；‎ ‎（2），‎ 所以.‎ ‎18.解：（1）证明：因为为的中点，即为的中点，且为的中点，所以，‎ 又平面平面，‎ 所以平面.‎ ‎(2)证明：因为，所以，‎ 所以，‎ 又平面，所以，‎ 所以平面.‎ ‎（3）取的中点，因为，所以平面，‎ 所以为直线与平面所成角，‎ 因为，所以，‎ 所以,又，‎ 所以.‎ ‎19.解：（1）方法一：因为，‎ 所以，所以，‎ 所以，‎ 所以，即当时，，时，，‎ 当或时，取得最大值为.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 又，‎ 所以数列是以为首项，以为公差的递增的等差数列，‎ 令，可得且，所以，‎ 即数列是以项是以为首项，公差为的等差数列，从第7项起以后各项成公差为4的等差数列，‎ 而，设的前项和为，则 ‎.‎ ‎20.设，则，，‎ 所以.‎ ‎（2）联立得，‎ 解得，‎ 所以，‎ 所以,故存在常数，使得.‎ ‎21.解：（1），‎ 所以，解得，所以的定义域为.‎ 令，则，‎ 方程变为，即，‎ 解得，‎ 经检验是方程的增根，所以方程的解为，所以的零点为0.‎ ‎（2） ，‎ 所以，‎ 设，则函数在区间上是减函数，‎ 当时，此时，，所以，‎ ‎①若，则，方程有解；‎ ‎②若，则，方程有解.‎ ‎22.解：（1）由题意得，曲线的方程，参数方程为为参数），‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）设，则点到直线的距离为，‎ 所以当时，取最大值，此时取，点的坐标是.‎ ‎23.解：（1）当时，要使函数有意义，‎ 则不等式成立，‎ 当 时，不等式等价于，解得；‎ 当 时，不等式等价于，解集为空集；‎ 当 时，不等式等价于，解得，‎ 综上，函数的定义域为.‎ ‎（2）因为函数的定义域为，不等式恒成立，‎ 所以只要即可，‎ 又因为，‎ ‎（当且仅当时等号成立）‎ 即，所以，的取值范围是.‎