数学理卷·2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期第七次模拟考试（2017

数学理卷·2018届陕西省榆林市第二中学高三上学期第七次模拟考试（2017

‎2018年全国高考3+3分科综合卷（五）‎ 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.若复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知命题：“，有成立”，则命题为（ ）‎ A．，有成立 B．，有成立 C．，有成立 D．，有成立 ‎ ‎4.某研究机构在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如表数据．由表中数据求得关于的回归方程为，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.设，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.设，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9.在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、中点，则与所成的角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知角始边与轴的非负半轴重合，与圆相交于点，终边与圆相交于点，点在轴上的射影为，的面积为，函数的图象大致是（ ）‎ ‎11.正整数数列满足，已知，的前7项和的最大值为，把的所有可能取值按从小到大排成一个新数列，所有项和为，则（ ）‎ A．32 B．48 C．64 D．80 ‎ ‎12.已知直线是曲线的一条切线，若函数，满足对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的常数项是 ．‎ ‎14.实数、满足条件则的最小值为 ．‎ ‎15.在数列、中，是与的等差中项，，且对任意的都有，则的通项公式为 ．‎ ‎16.若为双曲线：（，）右支上一点，，分别为双曲线 的左顶点和右焦点，且为等边三角形，双曲线与双曲线：（）的渐近线相同，则双曲线的虚轴长是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.如图，在平面四边形中，为上一点，，，，，，．‎ ‎（1）求的值及的长；‎ ‎（2）求四边形的面积．‎ ‎18.如图所示，在直角梯形中，，，，，，底面，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，，求平面与平面所成角的正弦值．‎ ‎19.某学校400名学生在一次百米赛跑测试中，成绩全部都在12秒到17秒之间，现抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，如图所示的是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎（1）请估计该校400名学生中，成绩属于第三组的人数；‎ ‎（2）请估计样本数据的中位数（精确到0.01）；‎ ‎（3）若样本第一组中只有一名女生，其他都是男生，第五组则只有一名男生，其他都是女生，现从第一、第五组中各抽取2名同学组成一个特色组，设其中男同学的人数为，求的分布列和期望．‎ ‎20.已知椭圆：过点，左、右焦点分别为，，且线段与轴的交点恰为线段的中点，为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）与直线斜率相同的直线与椭圆相交于、两点，求当的面积最大时直线的方程．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）试讨论有两个极值点，，且，求证：．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程是，将向上平移2个单位得到曲线．　‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）直线的参数方程为（为参数），判断直线与曲线的位置关系．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．　‎ ‎2018年全国高考3+3分科综合卷（五）数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）在中，由余弦定理，得，‎ 又已知，，，则，解得．‎ 再由余弦定理，得．‎ 所以．‎ 因为，所以，‎ 所以由诱导公式得．‎ 所以在中，由，得，解得，‎ 所以在中，由勾股定理，得．‎ ‎（2）在中，由余弦定理，得，‎ 的面积为；‎ 的面积为；‎ 的面积为；‎ 所以四边形的面积为.‎ ‎18.证明：（1）∵底面，∴，．‎ ‎∵，∴，∴，连接，则．　‎ ‎∵，，∴四边形是正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，∴平面，‎ ‎∵平面.‎ ‎∴平面平面.‎ 解：（2）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系，如图．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，，，‎ 则，，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则可得令，则，，则，‎ 由（1）知，，则，即，‎ ‎∵，∴平面，‎ 则是平面的一个法向量，‎ 则，则，‎ 即平面与平面所成角的正弦值是．‎ ‎19.解：（1）由频率分布直方图可知，成绩属于第三组的概率为0.38，故可估计该校400名学生成绩属于第三组的共有（人）．‎ ‎（2）由频率分布直方图易判断，样本数据的中位数落在第三组；设样本中位数为，根据中位数左右两边的小矩形面积之和相等可得，解得（秒）．‎ ‎（3）第一组的人数为，其中男生2人，女生1人，第五组的人数为，其中1名男生，3名女生，故的可能取值为1,2,3，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ ‎20.解：（1）∵椭圆过点，∴，①‎ 连接，∵为线段的中点，为线段的中点，‎ ‎∴，则，‎ ‎∴，②‎ 由①②得，，‎ ‎∴椭圆的离心率为．‎ ‎（2）由（1）知椭圆的方程为，直线的斜率．‎ 不妨设直线的方程为，‎ 联立椭圆与直线的方程得，‎ ‎，解得．‎ 设，，则，，‎ ‎∴，点到的距离，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，即，‎ ‎∴直线的方程为．‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为，，‎ 令，，‎ 当时，解得，此时在上恒成立，‎ 故可得在上恒成立，即当时，在上单调递增．‎ 当时，解得或，‎ 方程的两根为和，‎ 当时，可知，，此时在上，在上单调递增；‎ 当时，易知，，此时可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．‎ 综上可知，当时，在上单调递增；‎ 当时，在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎（2），‎ ‎，由题意，是方程的两个根，所以，①‎ ‎，②‎ ‎①②两式相加可得，③‎ ‎①②两式相减可得，④‎ 由③④两式消去可得，‎ 所以，‎ 设，因为，所以，所以，，‎ 因此只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立．‎ 设函数，由（1）可知，在上单调递增，故，即证得当时，，亦即证得，‎ 所以，即证得．‎ ‎22.解：（1）曲线的方程是，即，‎ 将代入得，即．　‎ 的方程化为标准方程是，‎ 将向上平移2个单位得到曲线：，展开为，‎ 则曲线的极坐标方程为．‎ ‎（2）由得，得，‎ 故直线的普通方程是，‎ 因为圆：的半径为，‎ 圆心到直线，‎ 所以直线与曲线相交．‎ ‎23.解：（1），即，‎ 即①或②或③‎ 解①可得；解②可得；解③可得．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）等价于恒成立，‎ 等价于恒成立，‎ 而，‎ 所以，得或，‎ 解得或，‎ 即实数的取值范围是．‎