2020年青海省中考数学试卷(含解析）

2020年青海省中考数学试卷(含解析）

‎2020年青海省中考数学试卷 一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）．‎ ‎1．（4分）（2020•青海）（﹣3+8）的相反数是　 　；‎16‎的平方根是　 　．‎ ‎2．（4分）（2020•青海）分解因式：﹣2ax2+2ay2＝　 　；不等式组‎2x-4≥0‎‎-x+3＞0‎的整数解为　 　．‎ ‎3．（2分）（2020•青海）岁末年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为　 　米．（1纳米＝10﹣9米）‎ ‎4．（2分）（2020•青海）如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　 　．‎ ‎5．（2分）（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝　 　cm．‎ ‎6．（2分）（2020•青海）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　 　cm．‎ ‎7．（2分）（2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　 　三角形．‎ ‎8．（2分）（2020•青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到 第25页（共25页）‎ 的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　 　．‎ ‎9．（2分）（2020•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　 　cm．‎ ‎10．（2分）（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　 　．‎ ‎11．（2分）（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b‎=‎a+ba-b，如：3⊕2‎=‎3+2‎‎3-2‎=‎‎5‎，那么12⊕4＝　 　．‎ ‎12．（4分）（2020•青海）观察下列各式的规律：‎ ‎①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．‎ 请按以上规律写出第4个算式　 　．‎ 用含有字母的式子表示第n个算式为　 　．‎ 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将正确选项的序号填入下面相应题号的表格内）．‎ ‎13．（3分）（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：‎ ‎①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；‎ ‎②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；‎ ‎③（a3）2＝a5；‎ ‎④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．‎ 其中运算正确的个数为（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎14．（3分）（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）‎ A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° ‎ C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°‎ 第25页（共25页）‎ ‎15．（3分）（2020•青海）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）‎ A．π×（‎8‎‎2‎）2x＝π×（‎6‎‎2‎）2×（x﹣5） ‎ B．π×（‎8‎‎2‎）2x＝π×（‎6‎‎2‎）2×（x+5） ‎ C．π×82x＝π×62×（x+5） ‎ D．π×82x＝π×62×5‎ ‎16．（3分）（2020•青海）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎17．（3分）（2020•青海）在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有（　　）‎ A．4个 B．8个 C．12个 D．17个 ‎18．（3分）（2020•青海）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y‎=‎bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎19．（3分）（2020•青海）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　）‎ A．3.6 B．1.8 C．3 D．6‎ ‎20．（3分）（2020•青海）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为图中的（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题5分，第23题8分，共18分）．‎ ‎21．（5分）（2020•青海）计算：（‎1‎‎3‎）﹣1+|1‎-‎‎3‎tan45°|+（π﹣3.14）0‎-‎‎3‎‎27‎．‎ 第25页（共25页）‎ ‎22．（5分）（2020•青海）化简求值：（a-1‎a‎-‎a-2‎a+1‎）‎÷‎‎2a‎2‎-aa‎2‎‎+2a+1‎；其中a2﹣a﹣1＝0．‎ ‎23．（8分）（2020•青海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．‎ ‎（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）若AC＝6，BC＝8，求AD的长．‎ 四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）．‎ ‎24．（9分）（2020•青海）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，‎3‎‎≈‎1.732）‎ ‎25．（8分）（2020•青海）如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．‎ 第25页（共25页）‎ ‎26．（9分）（2020•青海）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）该校八年级共有　 　名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　 　．‎ ‎（2）请将图1中的条形统计图补充完整．‎ ‎（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？‎ ‎（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．‎ 五、（本大题共两小题，第27题10分，第28题12分，共22分）‎ ‎27．（10分）（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．‎ 特例感知：‎ ‎（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F 第25页（共25页）‎ ‎，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．‎ 猜想论证：‎ ‎（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．‎ 联系拓展：‎ ‎（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）‎ ‎28．（12分）（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y‎=-‎1‎‎2‎x‎2‎+‎bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）‎ ‎（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年青海省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）．‎ ‎1．（4分）（2020•青海）（﹣3+8）的相反数是　﹣5　；‎16‎的平方根是　±2　．‎ ‎【解答】解：﹣3+8＝5，5的相反数是﹣5；‎16‎‎=‎4，4的平方根是±2．‎ 故答案为：﹣5；±2．‎ ‎2．（4分）（2020•青海）分解因式：﹣2ax2+2ay2＝　﹣2a（x﹣y）（x+y）或2a（y+x）（y﹣x）　；不等式组‎2x-4≥0‎‎-x+3＞0‎的整数解为　2　．‎ ‎【解答】解：﹣2ax2+2ay2＝﹣2a（x2﹣y2）‎ ‎＝﹣2a（x﹣y）（x+y）；‎ 或原式＝2a（y+x）（y﹣x）；‎ ‎2x-4≥0①‎‎-x+3＞0②‎‎，‎ 解①得：x≥2，‎ 解②得：x＜3，‎ ‎∴整数解为：2．‎ 故答案为：﹣2a（x﹣y）（x+y）或2a（y+x）（y﹣x）；2．‎ ‎3．（2分）（2020•青海）岁末年初，一场突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，全国人民团结一心、众志成城，取得了抗击疫情的阶段性胜利；据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为　1.25×10﹣7　米．（1纳米＝10﹣9米）‎ ‎【解答】解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．‎ 故答案为：1.25×10﹣7．‎ ‎4．（2分）（2020•青海）如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　12　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：∵△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，‎ ‎∴AD＝CF＝2，AC＝DF，‎ ‎∵△ABC的周长为8，‎ ‎∴AB+BC+AC＝8，‎ ‎∴AB+BC+DF＝8，‎ ‎∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD＝AB+BC+DF+AD+CF＝8+2+2＝12．‎ 故答案为12．‎ ‎5．（2分）（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝　10　cm．‎ ‎【解答】解：∵C△DBC＝24cm，‎ ‎∴BD+DC+BC＝24cm①，‎ 又∵MN垂直平分AB，‎ ‎∴AD＝BD②，‎ 将②代入①得：AD+DC+BC＝24cm，‎ 即AC+BC＝24cm，‎ 又∵AC＝14cm，‎ ‎∴BC＝24﹣14＝10cm．‎ 故填10．‎ ‎6．（2分）（2020•青海）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　6　cm．‎ ‎【解答】解：在矩形ABCD中，‎ ‎∴OB＝OC，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴∠OCB＝∠OBC，‎ ‎∵∠BOC＝120°，‎ ‎∴∠OCB＝30°，‎ ‎∵DC＝3，‎ ‎∴AB＝CD＝3，‎ 在Rt△ACB中，‎ AC＝2AB＝6，‎ 故答案为：6‎ ‎7．（2分）（2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为　等腰　三角形．‎ ‎【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，‎ ‎∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，‎ 解得：b＝2，c＝3，‎ ‎∵a为方程|a﹣4|＝2的解，‎ ‎∴a﹣4＝±2，‎ 解得：a＝6或2，‎ ‎∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，‎ ‎∴a＝6不合题意，舍去，‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴a＝b＝2，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，‎ 故答案为：等腰．‎ ‎8．（2分）（2020•青海）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程　x2﹣6x+6＝0　．‎ ‎【解答】解：根据题意得2×3＝c，‎ ‎1+5＝﹣b，‎ 解得b＝﹣6，c＝6，‎ 所以正确的一元二次方程为x2﹣6x+6＝0．‎ 故答案为x2﹣6x+6＝0．‎ 第25页（共25页）‎ ‎9．（2分）（2020•青海）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为　1或7　cm．‎ ‎【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，‎ ‎∵AB∥CD，OE⊥AB，‎ ‎∴OF⊥CD，‎ ‎∴AE＝BE‎=‎‎1‎‎2‎AB＝4，CF＝DF‎=‎‎1‎‎2‎CD＝3，‎ 在Rt△OAE中，OE‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎4‎‎2‎=‎3，‎ 在Rt△OCF中，OF‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎3‎‎2‎=‎4，‎ 当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE＝4+3＝7；‎ 当点O不在AB与CD之间时，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1；‎ 综上所述，AB与CD之间的距离为1或7cm．‎ 故答案为1或7．‎ ‎10．（2分）（2020•青海）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝　1　．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，‎ 根据勾股定理，得AB＝5，‎ 如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，‎ 第25页（共25页）‎ 连接OD、OE、OF，‎ ‎∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，‎ 可得矩形EOFC，‎ 根据切线长定理，得 CE＝CF，‎ ‎∴矩形EOFC是正方形，‎ ‎∴CE＝CF＝r，‎ ‎∴AF＝AD＝AC﹣FC＝3﹣r，‎ BE＝BD＝BC﹣CE＝4﹣r，‎ ‎∵AD+BD＝AB，‎ ‎∴3﹣r+4﹣r＝5，‎ 解得r＝1．‎ 则△ABC的内切圆半径r＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎11．（2分）（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b‎=‎a+ba-b，如：3⊕2‎=‎3+2‎‎3-2‎=‎‎5‎，那么12⊕4＝　‎2‎　．‎ ‎【解答】解：12⊕4‎=‎12+4‎‎12-4‎=‎‎2‎．‎ 故答案为：‎2‎．‎ ‎12．（4分）（2020•青海）观察下列各式的规律：‎ ‎①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．‎ 请按以上规律写出第4个算式　4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1　．‎ 用含有字母的式子表示第n个算式为　n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1　．‎ ‎【解答】解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．‎ 第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．‎ 故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．‎ 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将正确选项的序号填入下面相应题号的表格内）．‎ ‎13．（3分）（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：‎ ‎①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；‎ 第25页（共25页）‎ ‎②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；‎ ‎③（a3）2＝a5；‎ ‎④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．‎ 其中运算正确的个数为（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【解答】解：①3m2n与5mn2不是同类项，不能合并，计算错误；‎ ‎②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a5b，计算错误；‎ ‎③（a3）2＝a3×2＝a6，计算错误；‎ ‎④（﹣a3）÷（﹣a）＝（﹣a）3﹣1＝a2，计算正确；‎ 故选：D．‎ ‎14．（3分）（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）‎ A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° ‎ C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°‎ ‎【解答】解：分情况讨论：‎ ‎（1）若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；‎ ‎（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．‎ 故选：D．‎ ‎15．（3分）（2020•青海）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（　　）‎ A．π×（‎8‎‎2‎）2x＝π×（‎6‎‎2‎）2×（x﹣5） ‎ 第25页（共25页）‎ B．π×（‎8‎‎2‎）2x＝π×（‎6‎‎2‎）2×（x+5） ‎ C．π×82x＝π×62×（x+5） ‎ D．π×82x＝π×62×5‎ ‎【解答】解：依题意，得：π×（‎8‎‎2‎）2x＝π×（‎6‎‎2‎）2×（x+5）．‎ 故选：B．‎ ‎16．（3分）（2020•青海）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎17．（3分）（2020•青海）在一张桌子上摆放着一些碟子，从3个方向看到的3种视图如图所示，则这个桌子上的碟子共有（　　）‎ A．4个 B．8个 C．12个 D．17个 ‎【解答】解：易得三摞碟子数从左往右分别为5，4，3，‎ 则这个桌子上共有5+4+3＝12个碟子．‎ 故选：C．‎ 第25页（共25页）‎ ‎18．（3分）（2020•青海）若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y‎=‎bx在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵ab＜0，‎ ‎∴分两种情况：‎ ‎（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数y‎=‎bx图象在第二、四象限，无选项符合．‎ ‎（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数y‎=‎bx图象在第一、三象限，故B选项正确；‎ 故选：B．‎ ‎19．（3分）（2020•青海）如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（　　）‎ A．3.6 B．1.8 C．3 D．6‎ ‎【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，‎ 根据题意得2πr‎=‎‎(360-252)×π×12‎‎180‎，‎ 解得r＝3.6，‎ 即这个圆锥的底面半径是3.6．‎ 故选：A．‎ ‎20．（3分）（2020‎ 第25页（共25页）‎ ‎•青海）将一盛有部分水的圆柱形小水杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为图中的（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．‎ 故选：B．‎ 三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题5分，第23题8分，共18分）．‎ ‎21．（5分）（2020•青海）计算：（‎1‎‎3‎）﹣1+|1‎-‎‎3‎tan45°|+（π﹣3.14）0‎-‎‎3‎‎27‎．‎ ‎【解答】解：原式＝3+|1‎-‎‎3‎|+1﹣3‎ ‎＝3‎‎+‎3‎-1+1-3‎ ‎=‎‎3‎‎．‎ ‎22．（5分）（2020•青海）化简求值：（a-1‎a‎-‎a-2‎a+1‎）‎÷‎‎2a‎2‎-aa‎2‎‎+2a+1‎；其中a2﹣a﹣1＝0．‎ ‎【解答】解：原式‎=‎‎(a+1)(a-1)-a(a-2)‎a(a+1)‎•‎‎(a+1‎‎)‎‎2‎a(2a-1)‎ ‎=‎‎2a-1‎a(a+1)‎‎•‎(a+1‎‎)‎‎2‎a(2a-1)‎ ‎ ‎=‎a+1‎a‎2‎‎，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵a2﹣a﹣1＝0．‎ ‎∴a2＝a+1，‎ ‎∴原式‎=a+1‎a+1‎=‎1．‎ ‎23．（8分）（2020•青海）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．‎ ‎（1）尺规作图：作Rt△ABC的外接圆⊙O；作∠ACB的角平分线交⊙O于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹）‎ ‎（2）若AC＝6，BC＝8，求AD的长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O即为所求；‎ ‎（2）连接BD，‎ ‎∵∠C＝90°．‎ ‎∴AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDA＝90°，‎ ‎∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝45°，‎ ‎∴∠DBA＝∠ACD＝45°，‎ ‎∵AC＝6，BC＝8，‎ ‎∴AB＝10，‎ ‎∴AD＝BD＝AB•sin45°＝10‎×‎2‎‎2‎=‎5‎2‎．‎ 答：AD的长为5‎2‎．‎ 四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题8分，第26题9分，共26分）．‎ 第25页（共25页）‎ ‎24．（9分）（2020•青海）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1米，‎3‎‎≈‎1.732）‎ ‎【解答】解：延长PQ交直线AB于点C，设PC＝x米．‎ 在直角△APC中，∠A＝45°，‎ 则AC＝PC＝x米；‎ ‎∵∠PBC＝60°‎ ‎∴∠BPC＝30°‎ 在直角△BPC中，BC‎=‎‎3‎‎3‎PC‎=‎‎3‎‎3‎x米，‎ ‎∵AB＝AC﹣BC＝60米，‎ 则x‎-‎‎3‎‎3‎x＝60，‎ 解得：x＝90+30‎3‎，‎ 则BC＝（30‎3‎‎+‎30）米．‎ 在Rt△BCQ中，QC‎=‎‎3‎‎3‎BC‎=‎‎3‎‎3‎（30‎3‎‎+‎30）＝（30+10‎3‎）米．‎ ‎∴PQ＝PC﹣QC＝90+30‎3‎‎-‎（30+10‎3‎）＝60+20‎3‎‎≈‎94.6（米）．‎ 答：信号发射塔PQ的高度约是94.6米．‎ ‎25．（8分）（2020•青海）如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接CD．‎ 第25页（共25页）‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线．‎ ‎（2）若AD＝4，直径AB＝12，求线段BC的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠ODA＝∠OAD．‎ ‎∵AD∥CO，‎ ‎∴∠COD＝∠ODA，∠COB＝∠OAD．‎ ‎∴∠COD＝∠COB．‎ ‎∵OD＝OB，OC＝OC，‎ ‎∴△ODC≌△OBC．‎ ‎∴∠ODC＝∠OBC．‎ ‎∵CB是圆O的切线且OB为半径，‎ ‎∴∠CBO＝90°．‎ ‎∴∠CDO＝90°．‎ ‎∴OD⊥CD．‎ 又∵CD经过半径OD的外端点D，‎ ‎∴CD为圆O的切线．‎ ‎（2）解：连接BD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°．‎ 在直角△ADB中，BD‎=AB‎2‎-AD‎2‎=‎1‎2‎‎2‎-‎‎4‎‎2‎=‎8‎2‎，‎ ‎∵∠ADB＝∠OBC＝90°，且∠COB＝∠BAD，‎ ‎∴△ADB∽△OBC．‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴ADOB‎=‎DBBC，即‎4‎‎6‎‎=‎‎8‎‎2‎BC．‎ ‎∴BC＝12‎2‎．‎ ‎26．（9分）（2020•青海）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：‎ ‎（1）该校八年级共有　500　名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　108°　．‎ ‎（2）请将图1中的条形统计图补充完整．‎ ‎（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？‎ ‎（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．‎ ‎【解答】解：（1）该校八年级共有学生人数为200÷40%＝500（名）；“优秀”所占圆心角的度数为360°‎×‎150‎‎500‎=‎108°；‎ 故答案为：500，108°；‎ ‎（2）“一般”的人数为500﹣150﹣200﹣50＝100（名），补全条形统计图如图1：‎ 第25页（共25页）‎ ‎（3）15000‎×‎50‎‎500‎=‎1500（名），‎ 即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；‎ ‎（4）画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，‎ ‎∴必有甲同学参加的概率为‎6‎‎12‎‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 五、（本大题共两小题，第27题10分，第28题12分，共22分）‎ ‎27．（10分）（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．‎ 特例感知：‎ ‎（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．‎ 猜想论证：‎ ‎（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．‎ 第25页（共25页）‎ 联系拓展：‎ ‎（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，‎ ‎∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠CAG，AB＝AC，‎ ‎∴△FAB≌△GAC（AAS），‎ ‎∴FB＝CG．‎ ‎（2）解：结论：CG＝DE+DF．‎ 理由：如图2中，连接AD．‎ ‎∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，‎ ‎∴‎1‎‎2‎•AB•CG‎=‎‎1‎‎2‎•AB•DE‎+‎‎1‎‎2‎•AC•DF，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴CG＝DE+DF．‎ ‎（3）解：结论不变：CG＝DE+DF．‎ 理由：如图3中，连接AD．‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，‎ ‎∴‎1‎‎2‎•AB•CG‎=‎‎1‎‎2‎•AB•DE‎+‎‎1‎‎2‎•AC•DF，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴CG＝DE+DF．‎ ‎28．（12分）（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y‎=-‎1‎‎2‎x‎2‎+‎bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）‎ ‎（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）‎ ‎【解答】解：（1）把B（3，0）和D（﹣2，‎-‎‎5‎‎2‎）代入抛物线的解析式得，‎ ‎-‎9‎‎2‎+3b+c=0‎‎-2-2b+c=-‎‎5‎‎2‎‎，‎ 解得，b=1‎c=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎‎3‎‎2‎；‎ ‎（2）令x＝0，得y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴C(0，‎3‎‎2‎)‎，‎ 令y＝0，得y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎3‎‎2‎=‎0，‎ 解得，x＝﹣1，或x＝3，‎ ‎∴A（﹣1，0），‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎3‎‎2‎=-‎1‎‎2‎(x-1‎)‎‎2‎+2‎，‎ ‎∴M（1，2），‎ ‎∴S四边形ABMC＝S△AOC+S△COM+S△MOB ‎=‎1‎‎2‎OA⋅OC+‎1‎‎2‎OC⋅xM+‎1‎‎2‎OB⋅‎yM‎ ‎ ‎=‎1‎‎2‎×1×‎3‎‎2‎+‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎×1+‎1‎‎2‎×3×2=‎‎9‎‎2‎‎；‎ ‎（3）设Q（0，n），‎ ‎①当AB为平行四边形的边时，有AB∥PQ，AB＝PQ，‎ a）．Q点在P点左边时，则Q（﹣4，n），‎ 把Q（﹣4，n）代入y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎‎3‎‎2‎，得 n‎=-‎‎21‎‎2‎，‎ ‎∴P（﹣4，‎-‎‎21‎‎2‎）；‎ ‎②Q点在P点右边时，则Q（4，n），‎ 把Q（4，n）代入y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎‎3‎‎2‎，得 n‎=-‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴P（4，‎-‎‎5‎‎2‎）；‎ ‎③当AB为平行四边形的对角线时，如图2，AB与PQ交于点E，‎ 则E（1，0），‎ ‎∵PE＝QE，‎ ‎∴P（2，﹣n），‎ 把P（2，﹣n）代入y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+x+‎‎3‎‎2‎，得 第25页（共25页）‎ ‎﹣n‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴n‎=-‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴P（2，‎3‎‎2‎）．‎ 综上，满足条件的P点坐标为：（﹣4，‎-‎‎21‎‎2‎）或（4，‎-‎‎5‎‎2‎）或（2，‎3‎‎2‎）．‎ 第25页（共25页）‎