中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义30 概率（学生版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义30 概率（学生版）

专题 30 概率 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 概率的有关概念 概率的概念：某种事件在某一条件下可能发生，也可能不发生，但可以知道它发生的可能性的大小，我们 把刻划（描述）事件发生的可能性的大小的量叫做概率. 事件类型： ①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件. 概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包 含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 【考查题型汇总】 考查题型一 判断事件发生的可能性 1．（2016·福建中考真题）掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是( ) A．每两次必有 1 次正面向上 B．可能有 5 次正面向上 C．必有 5 次正面向上 D．不可能有 10 次正面向上 2．（2012·山东中考真题）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件 3．（2016·湖北中考真题）不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的 6 个球，其中 4 个黑球、2 个 白球，从袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A．摸出的是 3 个白球 B．摸出的是 3 个黑球 C．摸出的是 2 个白球、1 个黑球 D．摸出的是 2 个黑球、1 个白球 4．（2018·湖南中考真题）下列说法正确的是（ ） A．调查舞水河的水质情况，采用抽样调查的方式 B．数据 2.0，﹣2，1，3 的中位数是﹣2 C．可能性是 99%的事件在一次实验中一定会发生 D．从 2000 名学生中随机抽取 100 名学生进行调查，样本容量为 2000 名学生 5．（2012·江西中考真题）从 10 名学生（6 男 4 女，其中小芳为女生）中，抽选 6 人参加“防震知识”竞赛．若 规定男生选 3 人，则“选到小芳”的事件应该是____（选填“必然事件、不可能事件、随机事件”）． 考查题型二 利用概率的定义求事件发生的概率 1．（2019·浙江中考真题）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区 100 名九年级男生，他 们的身高 x （ cm ）统计如下： 组别（ cm ） 160x  160 170x  170 180x  180x  人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ） A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 2．（2019·浙江中考真题）一个布袋里装有 2 个红球、3 个黄球和 5 个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后 任意摸出一个球，是白球．．的概率为（ ） A． 1 2 B． 3 10 C． 1 5 D． 7 10 3．（2019·江苏中考真题）抛掷一枚质地均匀的硬币 2000 次，正面朝上的次数最有可能为（ ） A．500 B．800 C．1000 D．1200 4．（2015·山东中考真题）如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、 正五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ） A．1 B． C． D． 5．（2017·内蒙古中考模拟）如图，随机闭合开关 S1，S2，S3 中的两个，则灯泡发光的概率是（ ） A． 3 4 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 2 考查题型三 几何概型的计算方法 1．（2019·北京中考模拟）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直 角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此 正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为（ ） A． 9 32 B． 5 16 C． 3 8 D． 7 16 2．（2019·山东中考模拟）正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影 部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ） A． 2 2   B． 2 4   C． 2 8   D． 2 16   3．（2018·辽宁中考真题）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这 个点取在阴影部分的概率是（ ） A． 1 5 B． 1 6 C． 1 7 D． 1 8 4．（2019·甘肃中考真题）如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚 小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( ) A． 1 4 B． 1 2 C． 8  D． 4  5．（2019·北京青云店中学中考模拟）如图是 12 个大小相同的小正方形，其中 5 个小正方形已涂上阴影，现 随机丢一粒豆子在这 12 个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（ ） A． 5 6 B． 5 12 C． 5 9 D． 7 12 考查题型四 利用概率的结果还原事件的方法 1．（2018·湖南中考模拟）已知一个布袋里装有 2 个红球，3 个白球和 a 个黄球，这些球除颜色外其余都相 同．若从该布袋里任意摸出 1 个球，是红球的概率为 1 3 ，则 a 等于（ ） A．1 B． 2 C．3 D． 4 2．（2018·吉林中考模拟）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完 全相同．小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在 15%和 45%，则口袋中白色球 的个数很可能是（ ） A．6 B．16 C．18 D．24 3．（2018·河北中考模拟）在围棋盒中有 x 颗白色棋子和 y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白 色棋子的概率是 2 5 ．如果再往盒中放进 6 颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是 1 4 ，则原来盒中有白色棋子 ( ) A．8 颗 B．6 颗 C．4 颗 D．2 颗 4．（2019·内蒙古中考模拟）一个不透明布袋里有 3 个红球，4 个白球和 m 个黄球，这些球除颜色外其余都 相同，若从中随机摸出 1 个球是红球的概率为 1 3 ，则 m 的值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．7 5．（2019·辽宁中考真题）一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均 匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了 100 次球，发现有 70 次摸到红球．请你估计这个口袋中有_____个白球． 知识点二 概率计算  利用列举法求概率 方法一:直接列举法求概率 当一次试验中,可能出现的结果是有限个,并且各种结果发生的可能性相等时，通常采用直接列举法。 方法二:列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常 采用列表法。 方法三：树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用树状图法求概率。  利用频率估计概率 实际上，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.用频率估计概率 ， 虽然不像列举法能确切地计算出随机事件的概率，但由于不受“各种结果出现的可能性相等”的条件限制， 使得可求概率的随机事件的范围扩大. 【考查题型汇总】 考查题型五 利用树状图求事件概率 1．（2019·山东中考真题）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性 大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是( ) A． 2 3 B． 2 9 C． 1 3 D． 1 9 2．（2019·山东中考真题）一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同， 从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（ ） A． 1 5 B． 2 5 C． 3 5 D． 4 5 3．（2019·广西中考真题）小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之 和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ） A． 13 25 B． 12 25 C． 4 25 D． 1 2 4．（2018·辽宁中考模拟）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字 1、2、3、4．随 机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（ ） A． 1 4 B． 1 2 C． 3 4 D． 5 6 5．（2018·河南中考模拟）一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4， 随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于 6 的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 5 C． 1 4 D． 1 3 考查题型六 利用列表法求事件概率 1．（2019·山东中考真题）从﹣1、2、3、﹣6 这四个数中任取两数，分别记为 m 、n ，那么点 ,m n 在函数 6y x  图象的概率是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 8 2．（2019·河南中考模拟）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各 组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A． 1 9 B． 1 6 C． 1 3 D． 2 3 3．（2019·海南中考模拟）从﹣2，﹣1，2 这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是（ ） A． 2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 4．（2018·内蒙古中考模拟）如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别 标有数字-1，0，1，2.若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线 上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为（ ） A． B． C． D． 5．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺 演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A． B． C． D． 考查题型七 利用频率估计事件概率的方法 1．（2018·农安县靠山初级中学中考模拟）一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中 有 9 个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸 球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，那么估计盒子中小球的个数 n 为（ ） A．20 B．24 C．28 D．30 2．（2018·内蒙古中考模拟）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有 30 个，黑球有 n 个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球， 经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在 0.4 附近，则 n 的值约为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．（2015·湖北中考模拟）用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为 0.5，是指（ ） A．连续掷 2 次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 1 次 B．连续抛掷 100 次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各 50 次 C．抛掷 2n 次硬币，恰好有 n 次“正面朝上” D．抛掷 n 次，当 n 越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于 0.5 4．（2018·湖北中考模拟）盒子中有白色乒乓球 8 个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数， 某同学进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复 360 次，摸出白色乒乓球 90 次，则 黄色乒乓球的个数估计为( ) A．90 个 B．24 个 C．70 个 D．32 个 5．（2015·江苏中考模拟）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如 图 的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．袋子中有 1 个红球和 2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是 6 考查题型八 利用概率解决平均收益问题 1．（2018·湖南中考模拟）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如下图），并规定：购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿、黄、白区域，那么 顾客就可以分别得到 80 元、30 元、10 元、0 元的购物券，凭购物券仍然可以在商场购物；如果顾客不愿意 转转盘，那么可以直接获得购物券 10 元． （1）每转动一次转盘所获购物券金额的平均数是多少？ （2）若在此商场购买 100 元的货物，那么你将选择哪种方式获得购物券？ （3）小明在家里也做了一个同样的转盘做实验，转 10 次后共获得购物券 96 元，他说还是不转转盘直接领 取购物券合算，你同意小明的说法吗？请说明理由． 2．（2017·山东中考模拟）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为 20 份)， 并规定：顾客每购买 200 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、 黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 200 元、100 元、50 元的购物券，凭购物券可以在该商场继续 购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 30 元． (1)求转动一次转盘获得购物券的概率； (2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？ 3．（2018·山东中考模拟）在“五•一”劳动节期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如 图，转盘被平均分成 20 份），并规定：顾客每购物满 200 元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停 止后，指针正好对准标有数字的区域（未标数字的视为 0），则顾客就可以分别获得该区域相应数字的返金 券，凭返金券可以在该商场继续购物．若顾客不愿意转转盘，则每购物满 200 元可享受九五折优惠． （1）写出转动一次转盘获得返金券的概率； （2）转转盘和直接享受九五折优惠，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由． 考查题型九 判断游戏是否公平 1．（2017·浙江中考模拟）小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别 2m 和 3m 的同心圆（如图）， 蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判． （1）你认为游戏公平吗？为什么？ （2）游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算某一不规则图形的面积呢”．请 你设计方案，解决这一问题．（要求补充完整图形，说明设计步骤、原理，写出估算公式） 2．（2017·湖南中考模拟）杨华与季红用 5 张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图 1 所示，背面完全一 样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张．规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨 华得 1 分；当两张硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，季红得 1 分（如图 2）．问题：游戏规则对双方公 平吗？请说明理由；若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？ 考查题型十 利用概率解决实际问题 1．（2019·江西中考模拟）我市长途客运站每天 6:30 7:30 开往某县的三辆班车，票价相同，但车的舒适 程度不同．小张和小王因事需在这一时段乘车去该县，但不知道三辆车开来的顺序．两人采用不同的乘车 方案：小张无论如何决定乘坐开来的第一辆车，而小王则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车， 而是仔细观察车的舒适状况．若第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；若第二辆车不如第一辆 车，他就上第三辆车．若按这三辆车的舒适程度分为优、中、差三等，请你思考并回答下列问题： （1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种可能？ （2）请列表分析哪种方案乘坐优等车的可能性大？为什么？ 2．（2019·山东中考模拟）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物 100 元以上可以 获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的 交线时，当作指向右边的扇形）．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 m 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 m n （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70 （1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_______；（结果保留小数点后一位） （2）铅笔每只 0.5 元，饮料每瓶 3 元，经统计该商场每天约有 4000 名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每 天需要支出的奖品费用； （3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在 3000 元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的 圆心角应调整为______度． 3．（2018·四川中考模拟）现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者需交赞助费 5 元，活动 规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成 6 个相等的扇形，参与者转动这两个转盘， 转盘停止后，指针各自指向一个数字，（若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止）， 若指针最后所指的数字之和为 12，则获得一等奖，奖金 20 元；数字之和为 9，则获得二等奖，奖金 10 元； 数字之和为 7，则获得三等奖，奖金为 5 元；其余均不得奖；此次活动所集到的赞助费除支付获奖人员的奖 金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活； （1）分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若此次活动有 2000 人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生？