选修1-1课时提升作业十四2-2-2双曲线的简单几何性质第2课时双曲线方程及性质的应用精讲优练课型
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课时提升作业 十四
双曲线方程及性质的应用
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦点,若
· <0,则 y0 的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选 A.因为 F1(- ,0),F2( ,0), - =1,
所以 · =(- -x0,-y0)·( -x0,-y0)= + -3<0,
即 3 -1<0,解得-
2,所以当 l 与双曲线的两交点在左、右两支
上时应该有两条,共三条.
3.(2016·泉州高二检测)若曲线 C 上存在点 M,使 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差
为 8,则称曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是 ( )
A.x+y=5 B.x2+y2=9
C. + =1 D.x2=16y
【解析】选 B.因为 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差为 8,所以 M 的轨迹是以
A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为 - =1(x≥4),A:直线 x+y=5 过点(5,0)满
足题意;B:x2+y2=9 的圆心为(0,0),半径为 3,与 M 的轨迹没有交点,不满足题意;C: + =1
的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入 - =1,可得 y- =1,即 y2-9y+9=0,所以 y=3,满足题
意.
4.(2016·青岛高二检测)过双曲线 - =1(a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线
与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B,C.若 = ,则双曲线的离心率是 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.右顶点为 A(a,0),
则直线方程为 x+y-a=0,
可 求 得 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 坐 标 B ,C , 则
= ,
= .
又 2 = ,所以 2a=b,所以 e= .
【补偿训练】已知 F1, F2 分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴
的直线交双曲线于 A,B 两点.若△ABF2 为直角三角形,则双曲线的离心率为 ( )
A.1+ B.1±
C. D. ±1
【解析】选 A.因为△ABF2 是直角三角形,
所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|, =2c.
所以 b2=2ac,所以 c2-a2=2ac,
所以 e2-2e-1=0.
解得 e=1± .又 e>1,所以 e=1+ .
5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线 E 的中心在原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E
相交于 A,B 两点,且 AB 中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 ( )
A. - =1 B. - =1
C. - =1 D. - =1
【 解 析 】 选 B. 由 已 知 条 件 易 得 直 线 l 的 斜 率 k= =1, 设 双 曲 线 方 程 为
- =1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - =1, - =1, 两 式 相 减 并 结 合
x1+x2=-24,y1+y2=-30 得 = ,从而 =1,又因为 a2+b2=c2=9,故 a2=4,b2=5,所以 E 的方
程为 - =1.
【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元
二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,
构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率 k= .这是解决与中点有关问题的简便而有效
的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)
6.(2016·济南高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双
曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .
【 解 析 】 由 题 意 知 , 椭 圆 的 焦 点 坐 标 是 ( ± ,0), 离 心 率 是 . 故 在 双 曲 线 中
c= ,e= = ,故 a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是 - =1.
答案: - =1
7.已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线交双曲线 C 于 A,B
两点.若 =4 ,则双曲线 C 的离心率为 .
【解析】设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
得(b2-3a2)y2+2 b2cy+3b4=0,
因为 b2-3a2≠0,
所以 y1+y2= ,y1y2= ,
由 =4 得 y1=-4y2,
所以-3y2= ,-4 = ,
所以 y2= ,
代入-4 = ,得
16c2=27a2-9b2,又 b2=c2-a2,
所以 16c2=27a2-9c2+9a2,
所以 36a2=25c2,所以 e2= ,
所以 e= .
答案:
8.已知直线 l:x-y+m=0 与双曲线 x2- =1 交于不同的两点 A,B,若线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5
上,则 m 的值是 .
【解析】由
消去 y 得 x2-2mx-m2-2=0.
Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2).
则 x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,
所以线段 AB 的中点坐标为(m,2m),
又因为点(m,2m)在圆 x2+y2=5 上,
所以 5m2=5,所以 m=±1.
答案:±1
【补偿训练】双曲线 - =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1⊥PF2,则点 P 到 x
轴的距离为 .
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以 a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又 PF1⊥PF2.
所以△PF1F2 为直角三角形.
即 m2+n2=(2c)2=100.
由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36,
所以 2mn=m2+n2-36=64,mn=32.
设点 P 到 x 轴的距离为 d,
= d|F1F2|= |PF1|·|PF2|,
即 d·2c= mn.所以 d= = =3.2,
即点 P 到 x 轴的距离为 3.2.
答案:3.2
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2,经过右焦点 F 且垂直于 l1
的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知| |,| |,| |成等差数列,且 与 同向.
(1)求双曲线的离心率.
(2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.
【解析】(1)设 OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为 - =1.
由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,
得 d= m,tan∠AOF= ,
tan∠AOB=tan2∠AOF= = .
由倍角公式得 = ,
解得 = ,则离心率 e= .
(2)直线 AB 的方程为 y=- (x-c),与双曲线方程 - =1 联立消 y 并将 a=2b,c= b 代入,
化简有 x2- x+21=0.
x1+x2= ,x1·x2= ,
设交点 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则|AB|= |x1-x2|
= =4,
将数值代入,得 4= ,
解得 b=3,故所求的双曲线方程为 - =1.
10.已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点.
(1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值.
(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y= x对称?若存在,请求出a的值;若不存在,
请说明理由.
【解析】(1)由 消去 y 得,
(3-a2)x2-2ax-2=0. ①
依题意
即- 0,b>0)左右两支分别交于 M,N
两点,F 是双曲线 C 的右焦点,O 是坐标原点,若| |=| |,则双曲线的离心率等于
( )
A. + B. +1
C. +1 D.2
【解析】选 B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,
所以△MFN 为直角三角形,且∠MFN=90°,
取左焦点为 F0,连结 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0 为平行四边形.
又因为∠MFN=90°,所以四边形 NFMF0 为矩形,
所以|MN|=|F0F|=2c,
又因为直线 MN 的倾斜角为 60°,即∠NOF=60°,
所以∠NMF=30°,
所以|NF|=|MF0|=c,|MF|= c,
由双曲线定义知|MF|-|MF0|= c-c=2a,
所以 e= = +1.
【补偿训练】过双曲线 M:x2- =1(b>0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l.若 l 与双曲线 M 的
两条渐近线分别相交于点 B,C,且 B 是 AC 的中点,则双曲线 M 的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 D.由题意可知 A(-1,0),故直线 l 的方程为 y=x+1.两条渐近线方程为 y=±bx,由
已知联立 得 B ,同理可得 C ,又 B 是 AC 的中点,
故 2× =0+ ,解得 b=3.故 c= = .
所以 e= = .
2.(2016· 黄 冈高 二 检测 ) 已 知平 面 上两 点 M(-5,0) 和 N(5,0), 若 直线 上 存在 点 P 使
|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是 ( )
①y=x+1; ②y=2; ③y= x; ④y=2x+1.
A.①③ B.③④ C.②③ D.①②
【 解 析 】 选 D. 因 为 |PM|-|PN|=6, 所 以 点 P 在 以 M,N 为 焦 点 的 双 曲 线 的 右 支 上 , 即
- =1(x>0).
对于①,联立 消 y 得 7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,所以
y=x+1 是“单曲型直线”.对于②,联立 消 y 得 x2= ,所以 y=2 是“单曲型
直线”.
对于③,联立 整理得 0=1,不成立,所以 y= x 不是“单曲型直线”.
对于④,联立 消 y 得 20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,所以
y=2x+1 不是“单曲型直线”.
二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)
3.(2016·福州高二检测)设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 且与双曲线的
一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点 B,则△AFB 的面积为 .
【解题指南】由双曲线的方程可得 a,b 的值,进而可得 c 的值,得到 A,F 两点的坐标.因此可
得 BF 的方程为 y=± (x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点 B 的坐标,即可算出△AFB
的面积.
【解析】根据题意,得 a2=9,b2=16,
所以 c= =5,且 A(3,0),F(5,0).
因为双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x.
所以直线 BF 的方程为 y=± (x-5).
①若直线 BF 的方程为 y= (x-5),
与渐近线 y=- x 交于点 B ,
此时 S△AFB= |AF|·|yB|= ×2× = ;
②若直线 BF 的方程为 y=- (x-5),与渐近线 y= x 交于点 B .
此时 S△AFB= |AF|·|yB|= ×2× = .
因此,△AFB 的面积为 .
答案:
4.(2016·浙江高考)设双曲线 x2- =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且△
F1PF2 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
【解析】由已知 a=1,b= ,c=2,则 e= =2,设 P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设
P 在右支上,则 1|F1F2|2 即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得 x> ,
所以 0,b>0).如图,B 是右顶点,F 是右焦点,
点 A 在 x 轴正半轴上,且满足| |,| |,| |成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三
象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P.
(1)求证: · = · .
(2)若 l 与双曲线 C 的左右两支分别相交于点 E,D,求双曲线离心率 e 的取值范围.
【解析】(1)双曲线的渐近线为 y=± x,F(c,0),
所以直线 l 的斜率为- ,
所以直线 l:y=- (x-c).
由 得 P ,
因为| |,| |,| |成等比数列,
所以 xA·c=a2,所以 xA= ,
A , = , = ,
=
所以 · =- , · =- ,
则 · = · .
(2)由 得,
x2+2 cx- =0,
x1x2= ,
因为点 E,D 分别在左右两支上,所以 <0,所以 b2>a2,所以 e2>2,所以 e> .
6.(2016·哈尔滨高二检测)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率 e= ,过点 A(0,-b)和
B(a,0)的直线与原点的距离是 .
(1)求双曲线的方程及渐近线方程.
(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,
求 k 的值.
【解析】(1)直线 AB 的方程为 + =1,即 bx-ay-ab=0.又原点 O 到直线 AB 的距离 =
⇒ab= c,
由 得
所求双曲线方程为 -y2=1,
渐近线方程为 y=± x.
(2)由(1)可知 A(0,-1),设 C(x1,y1),D(x2,y2),
由|AC|=|AD|得:
所以 3+3 +(y1+1)2=3+3 +(y2+1)2,
整理得:(y1-y2)=0,
因为 k≠0,所以 y1≠y2,所以 y1+y2=- ,
又由 ⇒
(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0 ,
所以 y1+y2= =- ,得 k2=7,
由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0⇒00).
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