2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3
第
2
课时 分段函数
必备知识
·
自主学习
分段函数
(1)
定义：像
y=
这样的函数称为分段函数
.
(2)
本质：函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系
.
(3)
应用：可以用分段函数描述很多生活中的实际问题
.
导思
用什么样的函数描述出租车随着行驶路程增加的计费多少？
【
思考
】
1.
分段函数
y=
是两个函数吗？
提示：
分段函数是一个函数，只不过不同范围上解析式不同
.
2.
分段函数的定义域、值域是怎么规定的？
提示：
定义域为各段范围的并集；值域为各段上值域的并集
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”，错的打“
×”)
(1)
分段函数中各段函数的定义域交集是空集，并集是分段函数的定义域
.
(
)
(2)
函数
y=|x+1|
不是分段函数
. (
)
(3)
分段函数
f(x)=
则
f(-2)=-2. (
)
提示：
(1)√.
由分段函数的定义可知，此说法正确
.
(2)×.
函数
y=|x+1|=
是分段函数
.
(3)×.f(-2)=2×(-2)=-4.
2.
若
f(x)=
则
f[f(-2)]= (
)
A.2 B.3 C.4 D.5
【
解析
】
选
C.
因为
-2<0
，所以
f(-2)=-(-2)=2
，
又因为
2>0
，所以
f[f(-2)]=f(2)=2
2
=4.
3.(
教材二次开发：练习改编
)
某城市出租车起步价为
10
元，最长可租乘
3 km(
含
3 km)
，以后每
1 km
为
1.6
元
(
不足
1 km
，按
1 km
计费
)
，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用
y(
元
)
与行驶的里程
x(km)
之间的函数图象大致为
(
)
【
解析
】
选
C.
由题意，当
0
2
时，设
f(x)=cx+d
，则 解得 所以
f(x)=2x
，
所以
f(x)=
答案：
【
变式探究
】
本例中，若
f(a)=
，求实数
a
的取值的集合
.
【
解析
】
当
a<-1
时，
f(a)=a+2=
，
可得
a=-
；
当
-1≤a≤2
时，
f(a)=a
2
=
，可得
a=±
；
当
a>2
时，
f(a)=2a=
，
可得
a= (
舍去
)
，
综上所述，
a
的取值构成的集合为
角度
2
分段函数图象的应用
【
典例
】
已知
f(x)=-x+3
，
g(x)= x+
，
h(x)=x
2
-4x+3.
(1)
在同一坐标系中画出函数
f(x)
，
g(x)
，
h(x)
的图象
.
(2)∀x∈R
，令
M(x)
表示
f(x)
，
g(x)
，
h(x)
中的最大者，记作
M(x)={f(x)
，
g(x)
，
h(x)}
，请分别利用图象法和解析法表示函数
M(x)
，并求
M(x)
的值域
.
【
思路导引
】
(1)
利用描点法作三个函数在同一坐标系中的图象
.
(2)
根据
M(x)
的图象及定义解题
.
【
解析
】
(1)
由题意可以画出函数
f(x)=-x+3
，
g(x)= x+
，
h(x)=x
2
-4x+3
在
同一坐标系下的图象：
(2)
由图中函数的取值情况，结合函数
M(x)
的定义，可得
M(x)
的图象为：
结合图象得函数
M(x)=
且最小值在
x=1
处取得，
最小值是
2
，故值域为
[2
，
+∞).
【
解题策略
】
1.
关于分段函数的求值
(
范围
)
一是要分段求值或范围，二是求出的值和范围要符合本段的自变量取值范围
.
2.
关于分段函数图象的应用
首先要准确作出函数的图象，再根据图象的关系、条件的要求解题
.
【
题组训练
】
1.
函数
f(x)=x+
的图象是
(
)
【
解析
】
选
C.
由题意得
x≠0
，当
x>0
时，
f(x)=x+ =x+1
；
当
x<0
时，
f(x)=x-1
，
根据一次函数图象可知
C
正确
.
2.
在平面直角坐标系
xOy
中，若直线
y=2a
与函数
y=|x+1|-1
的图象只有一个交
点，则
a
的值为
_______.
【
解析
】
在同一平面直角坐标系内，作出函数
y=2a
与
y=|x+1|-1
的图象，
如图所示
.
由题意，可知
2a=-1
，则
a=- .
答案：
-
【
补偿训练
】
已知函数
f(x)
的图象如图所示，则
f(x)
的解析式是
_______.
【
解析
】
由题图可知，
当
-1≤x<0
时，设
f(x)=ax+b
，将
(-1
，
0)
，
(0
，
1)
代入解析式，得
所以 即
f(x)=x+1.
当
0≤x≤1
时，设
f(x)=kx
，将
(1
，
-1)
代入，得
k=-1
，即
f(x)=-x.
综上，
f(x)=
答案：
f(x)=
类型三 分段函数在实际问题中的应用
(
数学建模
)
【
典例
】
1.(2020·
南京高一检测
)
在股票买卖过程中，经常用到两种曲线：一种是即时价格曲线
y=f(x)
，另一种是平均价格曲线
y=g(x).
例如，
f(2)=3
是指开始买卖
2
小时的即时价格为
3
元；
g(2)=3
是指开始买卖
2
小时内的平均价格为
3
元
.
下图给出的四个图象中，实线表示
y=f(x)
，虚线表示
y=g(x)
，其中可能正确的是
(
)
2.
某地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费
y(
元
)
关于用电量
x(
度
)
的函数图象是一条折线
(
如图所示
)
，根据图象解下列问题：
(1)
求
y
关于
x
的函数解析式
.
(2)
利用函数解析式，说明电力公司采取的收费标准
.
(3)
若该用户某月用电
62
度，则应交费多少元？若该用户某月交费
105
元，则该用户该月用了多少度电？
【
解题导引
】
1.
根据即时价格和平均价格的变化趋势判断
.
2.
先分段求出解析式，再利用解析式解题
.
【
解析
】
1.
选
A.
开始时平均价格与即时价格一致，排除
C
，
D
，即时价格减少时，平均价格不可能增大，排除
B.
2.(1)
当
0≤x≤100
时，设函数解析式为
y=kx.
将
x=100
，
y=65
代入，得
k=0.65
，所以
y=0.65x.
当
x>100
时，设函数解析式为
y=ax+b.
将
x=100
，
y=65
和
x=130
，
y=89
代入，
得 解得
所以
y=0.8x-15.
综上可得
y=
(2)
由
(1)
知电力公司采取的收费标准为用户月用电量不超过
100
度时，每度电
0.65
元；超过
100
度时，超出的部分，每度电
0.80
元
.
(3)
当
x=62
时，
y=62×0.65=40.3(
元
)
；
当
y=105
时，因为
0.65×100=65<105
，故
x>100
，
所以
105=0.8x-15
，解得
x=150.
即若用户月用电
62
度时，则用户应交费
40.3
元；若用户月交费
105
元，则该用户该月用了
150
度电
.
【
解题策略
】
分段函数应用问题的两个关注点
(1)
应用情境
日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数
.
(2)
注意问题
求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理
.
【
跟踪训练
】
中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系
.
如图所示的折线图是
2018
年和
2019
年的中国仓储指数走势情况
.
根据该折线图，下列结论中不正确的是
(
)
A.2019
年
1
月至
4
月的仓储指数比
2018
年同期波动性更大
B.
这两年的最大仓储指数都出现在
4
月份
C.2019
年全年仓储指数平均值明显低于
2018
年
D.2019
年各月仓储指数的中位数与
2018
年各月仓储指数中位数差异明显
【
解析
】
选
D.
通过图象可看出，选项
A
，
B
，
C
的结论都正确，而选项
D
的结论错误
.
课堂检测
·
素养达标
1.
一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是
(
)
【
解析
】
选
B.
根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除
A
，
D
；然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除
C.
2.
已知函数
f(x)=
则
f(2)=(
)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【
解析
】
选
A.f(2)=f(2-1)=f(1)=1-2=-1.
3.(
教材二次开发：例题改编
)
国家规定个人稿费纳税办法：不超过
800
元的不纳税；超过
800
元而不超过
4 000
元的按超过
800
元部分的
14%
纳税；超过
4 000
元的按全部稿酬的
11.2%
纳税
.
已知某人出版一本书，共纳税
420
元，则这个人应得稿费
(
扣税前
)
为
(
)
A.2 800
元
B.3 000
元
C.3 800
元
D.3 818
元
【
解析
】
选
C.
设纳税额为
y
元，稿费
(
扣税前
)
为
x
元，
由题意，知纳税额
y
元与稿费
(
扣税前
)x
元之间的函数解析式为
y=
由于此人纳税
420
元，所以当
8004 000
时，
0.112x=420
，解得
x=3 750(
舍去
)
，
故这个人应得稿费
(
扣税前
)
为
3 800
元
.
4.
已知函数
f(x)=
若
f(x)=3
，则
x=_______.
【
解析
】
依题意，若
x≤0
，则
x+2=3
，解得
x=1
，
不合题意，舍去；
若
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