【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第1讲弧度制与任意角的三角函数学案

【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第1讲弧度制与任意角的三角函数学案

第1讲　弧度制与任意角的三角函数 考试要求　1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化(A级要求)；‎ ‎2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义(B级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.角的概念的推广 ‎(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角.‎ ‎(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.‎ ‎(3)终边相同的角：与角α的终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.‎ ‎2.弧度制的定义和公式 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°＝ rad；②1 rad＝°‎ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 ‎(1)任意角的三角函数的定义 设P(x，y)是角α的终边上任意一点，且|PO|＝r(r>0)，则有sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.‎ ‎(2)三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.即：‎ 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ Ⅱ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ Ⅲ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ Ⅳ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ ‎(3)特殊角的三角函数值 角α α弧度数 sin α cos α tan α ‎0°‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎1‎ ‎0‎ 不存在 ‎120°‎ ‎－ ‎－ ‎135°‎ ‎－ ‎－1‎ ‎150°‎ ‎－ ‎－ ‎180°‎ π ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎270°‎ ‎－1‎ ‎0‎ 不存在 ‎(4)三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知，点 P的坐标为(cos__α，sin__α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x 轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则 tan α＝AT.我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.‎ 三角函数线 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)小于90°的角是锐角.(　　)‎ ‎(2)锐角是第一象限角，反之亦然.(　　)‎ ‎(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　)‎ ‎(4)若α∈，则tan α＞α＞sin α.(　　)‎ ‎(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(　　)‎ 解析　(1)锐角的取值范围是.‎ ‎(2)第一象限角不一定是锐角.‎ ‎(3)顺时针旋转得到的角是负角.‎ ‎(5)终边相同的角不一定相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×‎ ‎2.(教材改编)小明从家步行到学校需要15 min，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________.‎ 解析　利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角，又周角为360°，所以×15＝90°，即分针走过的角度是－90°.‎ 答案　－90°‎ ‎3.(2019·无锡调研)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________.‎ 解析　tan α＝－＝⇒x＝10.‎ 答案　10‎ ‎4.(教材改编)若tan α>0，sin α<0，则α在第________象限.‎ 解析　由tan α>0，得α在第一或第三象限，又sin α<0，得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上，故α在第三象限.‎ 答案　三 ‎5.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为________.‎ 解析　设扇形的半径为R，‎ 则R2α＝2，R2×4＝2，R2＝1，‎ ‎∴R＝1，∴扇形的周长为2R＋α·R＝2＋4＝6.‎ 答案　6‎ 考点一　角的概念及其集合表示 ‎【例1】 (1)终边在直线y＝x上的角的集合是________.‎ ‎(2)(2019·苏州模拟)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角的终边相同的角的个数为________.‎ 解析　(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角为，‎ ‎∴终边在直线y＝x上的角的集合为 ‎{α|α＝＋kπ，k∈Z}.‎ ‎(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴＝＋(k∈Z)，‎ 依题意0≤＋≤2π，k∈Z，∴－≤k≤，‎ ‎∴k＝0，1，2，即在[0，2π]内终边与角的终边相同的角为，，共三个.‎ 答案　(1){α|α＝＋kπ，k∈Z}　(2)3‎ 规律方法　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.‎ ‎(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置.‎ ‎【训练1】 (1)设集合M＝，N＝，则下列结论：‎ ‎①M＝N；②M⊆N；③N⊆M；④M∩N＝∅.‎ 其中正确的是________(填序号).‎ ‎(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是________(填序号).‎ 解析　(1)法一　由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，‎ N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N.‎ 法二　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；‎ 而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.‎ ‎(2)当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；‎ 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样.‎ 答案　(1)②　(2)③‎ 考点二　弧度制及其应用 ‎【例2】 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.‎ ‎(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；‎ ‎(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数.‎ 解　(1)S＝lr＝αr2＝×π×4＝π.‎ ‎(2)由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，‎ S＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，‎ 当r＝5时，S的最大值为25.‎ 当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝＝2(rad).‎ 即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.‎ 规律方法　应用弧度制解决问题的方法 ‎(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.‎ ‎(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.‎ ‎(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.‎ ‎【训练2】 扇形AOB的周长为8 cm.‎ ‎(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；‎ ‎(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.‎ 解　设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，‎ ‎(1)由题意可得解得或 ‎∴α＝＝或6.‎ ‎(2)∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤·＝×＝4(当且仅当l＝2r，即α＝＝2时，S扇取最大值4).‎ ‎∴扇形面积取得最大值时，圆心角α＝2.‎ 又由解得 ‎∴弦长AB＝2rsin＝2×2sin ＝4sin 1.‎ 即扇形面积取得最大值时弦长AB＝4sin 1.‎ 考点三　任意角的三角函数定义及应用 角度1　三角函数定义 ‎【例3－1】 (1)(2019·泰州中学检测)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________.‎ ‎(2)若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，则cos θ的值为________.‎ 解析　(1)由题意得cos α＝＝－⇒‎ m＝.‎ ‎(2)由题意知r＝，‎ ‎∴sin θ＝＝m，‎ ‎∵m≠0，∴m＝±，∴r＝＝2，‎ ‎∴cos θ＝＝.‎ 答案　(1)　(2)－ 角度2　三角函数符号规律的应用 ‎【例3－2】 (1)给出下列各函数值：‎ ‎①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；‎ ‎③tan(－10)；④.‎ 其中符号为负的是________(填序号).‎ ‎(2)若sin α·tan α<0，且<0，则角α是第________象限角.‎ 解析　(1)sin(－1 000°)＝sin 80°>0；‎ cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；‎ tan(－10)＝tan(3π－10)<0；‎ ＝>0.‎ ‎(2)由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角.综上，α为第三象限角.‎ 答案　(1)③　(2)三 角度3　三角函数线的应用 ‎【例3－3】 (1)满足cos α≤－的角α的集合为________；‎ ‎(2)(2019·盐城模拟)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________.‎ 解析　(1)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.‎ ‎(2)∵3－4sin2x>0，‎ ‎∴sin2x<，‎ ‎∴－0，∴cos x>.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，‎ ‎∴x∈(k∈Z).‎ 答案　(1)三　(2)－ ‎(3) 考点四　三角函数定义与三角恒等变换的综合 ‎【例4】 如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记A(x1，y1)，B(x2，y2).‎ ‎(1)若x1＝，求x2；‎ ‎(2)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D.记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，若S1＝S2，求角α的值.‎ 解　(1)由三角函数定义得x1＝cos α，x2＝cos，‎ 因为α∈，cos α＝，所以sin α＝＝＝.‎ 所以x2＝cos＝cos α－sin α＝.‎ ‎(2)依题意得y1＝sin α，y2＝sin.‎ 所以S1＝x1y1＝cos αsin α＝sin 2α，‎ S2＝|x2|y2＝sin ‎＝－sin.‎ 依题意得sin 2α＝－sin＝－sin 2αcos －cos 2αsin ，‎ 整理得tan 2α＝－.‎ 因为<α<，所以<2α<π，‎ 所以2α＝，故α＝.‎ 规律方法　这类以角的终边上的点的坐标为背景的综合题，通常应考虑应用三角函数的定义将问题转化为三角函数问题，灵活运用三角恒等变换解决问题.‎ ‎【训练4】 (2019·南京高三学情调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B，若点A的横坐标是，点B的纵坐标是.‎ ‎(1)求cos(α－β)的值；‎ ‎(2)求α＋β的值.‎ 解　(1)由任意角的三角函数的定义得cos α＝，结合α为锐角，得sin α＝＝.同理得sin β＝，结合β为钝角，得cos β＝－＝－.‎ 则cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.‎ ‎(2)因为α∈，β∈，‎ 所以α＋β∈，‎ 由(1)得sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝，‎ 结合α＋β∈，可得α＋β＝.‎ 一、必做题 ‎1.给出下列四个命题：‎ ‎①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.‎ 其中正确的命题的个数为________.‎ 解析　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确.‎ 答案　3‎ ‎2.已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cos α＝－，则m＝________.‎ 解析　∵角α的终边经过点P(m，－3)，‎ ‎∴r＝.‎ 又cos α＝－，‎ ‎∴cos α＝＝－，∴m＝－4.‎ 答案　－4‎ ‎3.下列判断正确的是________(填序号).‎ ‎①sin 300°>0；②cos(－305°)<0；③tan(－π)>0；‎ ‎④sin 10<0.‎ 解析　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；‎ ‎－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；‎ ‎－π＝－8π＋π，则－π是第二象限角；‎ 因为3π<10<π，所以10是第三象限角.‎ 故sin 300°<0，cos(－305°)>0，tan<0，sin 10<0，‎ ‎④正确.‎ 答案　④‎ ‎4.已知角α的终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α＝________.‎ 解析　因为r＝＝2，由任意三角函数的定义，得 sin α＝＝－cos 2.‎ 答案　－cos 2‎ ‎5.“x＝2kπ＋，k∈Z”是“sin x＝”成立的________条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”).‎ 解析　当x＝2kπ＋，k∈Z时，可得sin x＝；反之，当sin x＝时，可得x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z，故“x＝2kπ＋，k∈Z”是“sin x＝”成立的充分不必要条件.‎ 答案　充分不必要 ‎6.已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.‎ 解析　∵点P(tan α，cos α)在第三象限，∴tan α<0，cos α<0，∴角α的终边在第二象限.‎ 答案　二 ‎7.(2018·镇江一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，)，且cos α＝x，则tan α＝________.‎ 解析　∵P(x，)，∴y＝.‎ 又cos α＝x＝，∴r＝2，‎ ‎∴x2＋()2＝(2)2，解得x＝±.‎ 由α是第二象限的角，得x＝－，‎ ‎∴tan α＝＝＝－.‎ 答案　－ ‎8.若角θ的终边与角的终边相同，则在[0，2π)内终边与角的终边相同的角的集合为________(用列举法表示).‎ 解析　由题意θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋kπ(k∈Z).‎ 由0≤<2π，即0≤＋kπ<2π知－≤k<，k∈Z.‎ ‎∴k＝0，1.故在[0，2π)内终边与角的终边相同的角的集合为.‎ 答案　 ‎9.(2018·南通、扬州等六市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知角α，β的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点A(1，2)，B(5，1)，则tan(α－β)的值为________.‎ 解析　由三角函数的定义可知tan α＝＝2，tan β＝，故tan(α－β)＝＝＝.‎ 答案　 ‎10.已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ.‎ 解　∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，‎ ‎∴tan θ＝－，又tan θ＝－x，‎ ‎∴x2＝1，即x＝±1.‎ 当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，‎ 因此sin θ＋cos θ＝0；‎ 当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，‎ 因此sin θ＋cos θ＝－.‎ 故sin θ＋cos θ的值为0或－.‎ ‎11.已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R.‎ ‎(1)若α＝90°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；‎ ‎(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？‎ 解　(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，‎ S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).‎ ‎(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，‎ ‎∴R＝，‎ ‎∴S扇＝α·R2＝α· ‎＝·＝·≤.‎ 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值.‎ 二、选做题 ‎12.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2，1)时，点P的坐标为________.‎ 解析　如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C 作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，‎ 所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－，所以PB＝sin(2－)＝‎ ‎－cos 2，CB＝cos(2－)＝sin 2，‎ 所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cos 2，‎ 所以点P的坐标为(2－sin 2，1－cos 2).‎ 答案　(2－sin 2，1－cos 2)‎ ‎13.(2019·南通高三第一次调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝.‎ ‎(1)求cos β的值；‎ ‎(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标.‎ 解　(1)在△AOB中，由余弦定理得，‎ cos∠AOB＝＝＝.‎ 所以cos β＝.‎ ‎(2)因为cos β＝，β∈，‎ 所以sin β＝＝＝.‎ 因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得 cos α＝，‎ 因为α为锐角，所以sin α＝＝＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，‎ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.‎ 所以点B的坐标为.‎