2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8

2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8

8.2 　立体图形的直观图 课标阐释 思维脉络 1 . 掌握斜二测画法的步骤 . ( 数学抽象 ) 2 . 能用斜二测法画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合 ) 的直观图 . ( 逻辑推理、直观想象 ) 激趣诱思 知识点拨 远处的东西画小 , 方形四角的饭桌画成梯形的 , 圆盘画成椭圆形的 , 自古至今如此 . 有在人物画的角落画这种饭桌的 , 也有在一幅画中将左看的形状与右看的形状掺杂着一起画的 , 这种画与其称之为原始的 , 不如说是 “ 朴素的透视画 ” . 激趣诱思 知识点拨 知识点一、水平放置的平面图形的直观图画法 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知在平面直角坐标系中 , 一个平面图形上的一条线段 AB 的实际长度为 4 cm, 若 AB ∥ x 轴 , 则画出直观图后对应 线段 A'B '= 　　 cm , 若 AB ∥ y 轴 , 则画出直观图后对应线段 A'B '= 　　 cm .  答案 : 4 　 2 (2) 判断下列说法是否正确 , 正确的在后面的括号内画“ √ ” , 错误的画“ ×” . ① 相等的角 , 在直观图中仍相等 . ( 　　 ) ② 长度相等的线段 , 在直观图中长度仍相等 . ( 　　 ) ③ 若两条线段平行 , 则在直观图中对应的线段仍平行 . ( 　　 ) ④ 若两条线段垂直 , 则在直观图中对应的线段也互相垂直 . ( 　　 ) 答案 : ①× 　 ② × 　 ③ √ 　 ④ × 激趣诱思 知识点拨 知识点二、空间几何体的直观图画法 画几何体的直观图时 , 与画平面图形的直观图相比 , 只是多画一个与 x 轴 , y 轴都垂直的 z 轴 , 并且使平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变 . 名师点析 画空间几何体的直观图的四个步骤 (1) 画轴 . 通常以高所在直线为 z 轴建系 . (2) 画底面 . 根据平面图形的直观图画法确定底面 . (3) 画侧棱 . 利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确定有关侧棱 . (4) 连线成图 . 画图完成后 , 擦除辅助线 , 看得见的地方用实线 , 被遮挡的部分用虚线 ( 或不画 ), 就得到了几何体的直观图 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 用斜二测画法画长、宽、高分别为 2 cm 、 cm 、 1 cm 的长方体 ABCD-A'B'C'D' 的直观图 . 画法 (1) 画轴 . 如图 , 画 x 轴、 y 轴、 z 轴 , 三轴相交于点 O , 使 ∠ xOy= 45°, ∠ xOz= 90 ° . 激趣诱思 知识点拨 (2) 画底面 . 以点 O 为中点 , 在 x 轴上取线段 MN , 使 MN= 2 cm; 在 y 轴上取线段 PQ , 使 PQ = cm . 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线 , 过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线 , 设它们的交点分别为 A , B , C , D , 四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. (3) 画侧棱 . 过 A , B , C , D 各点分别作 z 轴的平行线 , 并在这些平行线上分别截取 1 cm 长的线段 AA' , BB' , CC' , DD'. (4) 成图 . 顺次连接 A' , B' , C' , D' , 并加以整理 ( 去掉辅助线 , 将被遮挡的部分改为虚线 ), 就得到长方体的直观图 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 画水平放置的平面图形的直观图 例 1 如图 , 画出水平放置的等腰梯形的直观图 . 分析 建系 → 定点 → 连线成图 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 画法 (1) 如图 ① , 取 AB 所在直线为 x 轴 , AB 中点 O 为原点 , 建立平面直角坐标系 , 画对应的坐标系 x'O'y' , 使 ∠ x'O'y'= 45° . (2) 在图 ② 中 , 以点 O' 为中点在 x' 轴上取 A'B'=AB , 在 y' 轴上 取 O'E'= OE , 以 E' 为中点画 C'D' ∥ x' 轴 , 并使 C'D'=CD. (3) 连接 B'C' , D'A' , 并擦去辅助线 x' 轴和 y' 轴 , 所得的四边形 A'B'C'D' 就是水平放置的等腰梯形 ABCD 的直观图 ( 如图 ③ ) . ① ② ③ 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 画水平放置的平面图形的直观图的技巧 (1) 在画水平放置的平面图形的直观图时 , 选取适当的坐标系是关键 , 一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上 , 以便于画点 . (2) 画平面图形的直观图 , 首先画与坐标轴平行的线段 ( 平行性不变 ), 与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点 , 然后连接成线段 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 把本例图形换成右图 , 试画出该图的直观图 . 画法 (1) 在已知的直角梯形 ABCD 中 , 以底边 AB 所在直线为 x 轴 , 垂直于 AB 的腰 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系 . 如图 ① . (2) 画相应的 x' 轴和 y' 轴 , 使 ∠ x'O'y'= 45°, 在 x' 轴上取 O'B'=AB , 在 y' 轴上取 O'D '= AD , 过 D' 作 x' 轴的平行线 l , 在 l 上沿 x' 轴正方向取点 C' 使得 D'C'=DC. 如图 ② . (3) 连接 B'C' , 所得四边形 O'B'C'D' 就是直角梯形 ABCD 的直观图 . 如图 ③ . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 画空间几何体的直观图 例 2 用斜二测画法画出六棱锥 P-ABCDEF 的直观图 , 其中底面 ABCDEF 为正六边形 , 点 P 在底面的投影是正六边形的中心 O ( 尺寸自定 ) . 分析 画轴 → 画底面 → 画顶点 → 成图 画法 (1) 画出六棱锥 P-ABCDEF 的底面 . 如图 ① 所示 , 在正六边形 ABCDEF 中 , 取 AD 所在的直线为 x 轴 , 对称轴 MN 为 y 轴 , 两轴相交于点 O. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 画相应的 x' 轴、 y' 轴和 z' 轴 , 三轴相交于点 O' , 使 ∠ x'O'y'= 45°, ∠ x'O'z'= 90°; 在图 ② 中 , 以 O' 为中点 , 在 x' 轴上取 A'D'=AD , 在 y' 轴上取 M'N '= MN ; 以点 N' 为中点画 B'C' 平行于 x' 轴 , 且等于 BC ; 再以点 M' 为中点画 E'F' 平行于 x' 轴 , 且等于 EF ; 连接 A'B' , C'D' , D'E' , F'A' , 得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A'B'C'D'E'F'. (3) 画正六棱锥 P-ABCDEF 的顶点 . 在 z' 轴上取点 P' , 使 P'O'=PO. (4) 成图 . 连接 P'A' , P'B' , P'C' , P'D' , P'E' , P'F' , 并进行整理 , 便得到六棱锥 P-ABCDEF 的直观图 P'-A'B'C'D'E'F' , 如图 ③ 所示 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利用斜二测画法画几何体的直观图应遵循的基本原则 (1) 画几何体的直观图在要求不太严格的情况下 , 长度和角度可适当选取 . 为了增强立体感 , 被挡住的部分通常用虚线表示 . (2) 画法规则可简记为 : 两轴夹角为 45°, 竖轴垂直仍不变 , 平行不变 , 长度横竖不变 , 纵折半 . (3) 画空间几何体的直观图 , 要注意选取适当的坐标原点 , 建立坐标系画出坐标轴 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图 , 其中上、下底面边长分别为 2,3, 高为 2 . 画法 (1) 画轴 . 画 x 轴、 y 轴、 z 轴 , 三轴相交于点 O , 使 ∠ xOy= 45°, ∠ xOz= 90° . (2) 画下底面 . 以 O 为中心 , 在 x 轴上取线段 MN , 使 MN= 3, 在 y 轴上取线段 PQ , 使 PQ= 1 . 5 . 分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线 , 过点 P 和点 Q 作 x 轴的平行线 , 设它们的交点分别为 A , B , C , D , 则四边形 ABCD 即为四棱台的下底面 . (3) 画上底面 . 在 z 轴上取一点 O' , 使 OO'= 2, 以 O' 为原点画直线 a 和直线 b , 使直线 a ∥ x 轴 , 直线 b ∥ y 轴 , 在平面 aO'b 内以 O' 为中心画水平放置的边长为 2 的正方形的直观图 A'B'C'D'. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (4) 连线 . 被遮挡的线画成虚线 ( 如图 ① ), 擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图 ( 如图 ② ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直观图的还原与计算问题 例 3 如图 , 梯形 A 1 B 1 C 1 D 1 是一平面图形 ABCD 的直观图 . 若 A 1 D 1 ∥ O'y' , A 1 B 1 ∥ C 1 D 1 , A 1 B 1 = C 1 D 1 = 2, A 1 D 1 =O'D 1 = 1 . 试画出原四边形的形状 , 并求原图形的面积 . 分析 解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作图 , 先确定点 , 再连线画出原图 , 然后进行计算 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 画法 如图 , 建立平面直角坐标系 xOy , 在 x 轴上截取 OD=O'D 1 = 1, OC=O'C 1 = 2 . 在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA= 2 D 1 A 1 = 2 . 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB=A 1 B 1 = 2 . 连接 BC , 即得到了原图形 ( 如图 ) . 由作法可知 , 原四边形 ABCD 是直角梯形 , 上、下底长度分别为 AB= 2, CD= 3, 直角腰长度为 AD= 2 . 故面积 为 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 直观图的还原技巧 (1) 由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程 : 一是在直观图中建立坐标系 x'O'y' , 使 ∠ x'O'y'= 45°, 对应地建立直角坐标系 xOy ; 二是平行 x' 轴的线段长度不变 , 平行 y' 轴的线段扩大为原来的 2 倍 ; 三是对于相邻两边不与 x' , y' 轴平行的顶点可通过作 x' 轴、 y' 轴的平行线变换确定其在 xOy 中的位置 . 还原时 , 要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量 , 计算时要结合两个坐标轴确定数据 . (2) 原图形的面积 S 原 与直观图的面积 S 直观 有如下关系 : 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图 , 在直观图中 , 四边形 O'A'B'C' 为菱形且边长为 2 cm, 则在 xOy 坐标中原四边形 OABC 为 　　　　　 ( 填形状 ), 面积为 　　　　　 cm 2 .  解析 : 由题意 , 结合斜二测画法可知 , 四边形 OABC 为矩形 , 且 OA= 2 cm, OC= 4 cm, 所以四边形 OABC 的面积 S= 2 × 4 = 8(cm 2 ) . 答案 : 矩形 　 8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 水平放置的平面图形的直观图画法 典例 如图所示 , 在平面直角坐标系中 , 已知 O (0,0), A (1,3), B (3,1), C (4,6), D (2,5) . 试用斜二测画法画出四边形 ABCD 的直观图 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 画法 (1) 先画 x' 轴和 y' 轴 , 使 ∠ x'O'y'= 45°, 如图 ① . (2 ) 在原图中作 AE ⊥ x 轴 , 垂足为 E (1,0 ) . (3) 在 x' 轴上截取 O'E'=OE , 作 A'E' ∥ y' 轴 , 截取 E'A'= 1 . 5 . (4) 同理确定点 B' , C' , D' , 其中 B'G'= 0 . 5, C'H'= 3, D'F'= 2 . 5 . (5) 连线成图 ( 去掉辅助线 ), 如图 ② , 即为四边形 ABCD 的直观图 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛利用斜二测画法画直观图时应注意 (1) 在已知图形中 x 轴 , y 轴的选取 , 应尽可能多地使图形的点落在坐标轴上 , 有的点不满足时应作辅助线 , 与 x 轴 , y 轴垂直的线段是最常用的辅助线 . (2) 垂直于 x 轴 , y 轴的线段在坐标系 x'O'y' 下的长度变化切勿混淆 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 如图 , 已知等腰三角形 ABC , 则下图所示的四个图形中 , 可能是 △ ABC 的直观图的是 ( 　　 ) A . ①② B . ②③ C . ②④ D . ③ ④ 解析 : 当 ∠ x'O'y'= 135° 时 , 其直观图是 ③ ; 当 ∠ x'O'y'= 45° 时 , 其直观图是 ④ . 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图 , 得到的直观图是一个边长为 1 的正方形 ( 如图 ), 则原图形的形状是 ( 　　 ) 解析 : 因为直观图中正方形的对角线 为 , 所以在平面图形中平行四边形的高为 2 , 只有 A 项满足条件 , 故 A 正确 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . (2020 天津一中检测 ) 已知正三角形 ABC 的边长为 a , 那么 △ ABC 的平面直观图 △ A'B'C' 的面积为 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 如 图为一个水平放置的矩形 ABCO , 在直角坐标系 xOy 中 , 点 B 的坐标为 (4,2), 则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中 , 顶点 B' 到 x' 轴的距离为 　　　　　 .