【数学】2018届一轮复习北师大版导数的应用——单调与极值学案

【数学】2018届一轮复习北师大版导数的应用——单调与极值学案

第七节 导数的应用——单调与极值 一 考查热点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间；求函数的极大值、极小值；求函数的最大值、最小值；结合单调与最值求参数的范围．‎ 二 要点小结：‎ ‎(1)利用导数研究函数单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时， 需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ ‎(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．‎ ‎(3)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．[ :学| | ]‎ ‎(4)求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．‎ ‎(5)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．‎ 三 典例分析 例1 . (2015安徽)已知函数 （1） 求的定义域，并讨论的单调性；‎ （2） 若，求在内的极值。‎ 例2.（2015新课标2）已知函数f（x）=ln x +a（1- x）‎ （I） 讨论f（x）的单调性；‎ （II） 当f（x）有最大值，且最大值大于‎2a-2时，求a的取值范围.‎ 四 真题演练 ‎1.（2014安徽） 设函数，其中 （1） 讨论在其定义域上的单调性；‎ （2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.‎ ‎2. （2014大纲）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).‎ ‎（1）讨论函数f(x)的单调性；‎ ‎（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围.[ :学 ]‎ ‎3.（2014江西） 已知函数，其中.‎ ‎ （1）当时，求的单调递增区间;‎ ‎ （2）若在区间上的最小值为8，求的值.‎ ‎4.（2014重庆） 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于 ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求函数的单调区间和极值。‎ ‎5.（2014山东）设函数 ，其中为常数.‎ ‎（Ｉ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数的单调性.‎ ‎6．（2014湖北）为圆周率，为自然对数的底数. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数.‎ ‎7.（2015重庆）已知函数（）在x=处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)确定的值，‎ ‎(Ⅱ)若，讨论的单调性.‎ ‎8.(2016山东)设 ‎(Ⅰ)令，求的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)已知)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ 第七节 例题1： 解：（1）由题意知，所求的定义域为。‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以当x<-r或x>r时，<0，当-r0，‎ 因此，的单调递减区间为，；的单调递增区间为（-r,r）。‎ ‎（2）由（1）的解答可知=0，在（0，r）上单调递增，在（r,+）上单调递减。因此，x=r是的极大值点，所以在（0，+）内的极大值为。‎ 例题2：（Ⅰ）f（x）的定义域为 若则所以单调递增。‎ 若，则当时，当时，所以在单调递增，在单调递减。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，无最大值；当时，在取得最大值，最大值为。‎ 因此 等价于 令，则在单调递增，‎ 于是，当时；当时，，因此，的取值范围是 演练：1. 解：（Ⅰ）的定义域为，‎ ‎ 令得 所以 当或时；当时 故在和内单调递减，在内单调递增。‎ ‎（Ⅱ）∵，∴‎ ‎（1）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增∴在和处分别取得最小值和最大值。‎ ‎（2）当时，，由（Ⅰ）知在上单调递增，在上单调递减 ‎∴在处取得最大值，又 ‎∴当时在处取得最小值， 当时在和处同时取得最小值，当时，在取得最小值。‎ ‎2. 解：（1），的判别式△=36（1-a）.‎ ‎（i）若a≥1，则，且当且仅当a=1，x=-1，故此时f（x）在R上是增函数.‎ ‎（ii）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：，‎ 若00，x>0时, ，所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）是增函数.‎ 若a<0时，f（x）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，解得.综上，a的取值范围是.‎ ‎3. 解：当时，由，得或，由得或，故函数f（x）的单调递增区间为和 ‎（2）因为 ‎，a<0，由 得或，当时，单调递增，时，单调递减，当时，单调递增，易知=（2x+a）2，且 当时，即-2a<0时，在上的最小值为，由=4+‎4a+a2=8，得a=均不符合题意 当时，即，在上的最小值为不符合题意 当时，即，在上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而由得或(舍去)，当时，在上单调递减，在上的最小值为符合题意。综上有，a=-10‎ ‎4. （Ⅰ）对求导得，由在点处切线垂直于直线知解得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则 令，解得或.因不在的定义域内，故舍去.‎ 当时，故在内为减函数；当时，故在内为增函数；由此知函数在时取得极小值.‎ ‎5. （I）由题意知时，，此时，‎ 可得，又，所以曲线在处的切线方程为.‎ ‎（II）函数的定义域为，，‎ 当时，，函数在上单调递增，当时，令，由于，‎ ① 当时，，，函数在上单调递减，‎ ② 当时，，，函数在上单调递减，‎ ③ 当时，，设是函数的两个零点，‎ 则，，‎ 由 ，‎ 所以时，，函数单调递减，‎ 时，，函数单调递增，‎ 时，，函数单调递减，‎ ‎6. （Ⅰ）函数的定义域为．因为，所以． ‎ ‎ 当，即时，函数单调递增；‎ ‎ 当，即时，函数单调递减．‎ ‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，，即，．‎ 于是根据函数，，在定义域上单调递增，可得 ‎，．故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中． 由及（Ⅰ）的结论，得，即．‎ 由，得，所以；由，得，所以．‎ 综上，6个数中的最大数是，最小数是． ‎ ‎7. 解：（Ⅰ）对求导得，因为在处取得极值，所以，即,解得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，,‎ ‎ 故 令，解得.当时，,故为减函数；‎ 当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；‎ 综上知在 内为减函数，内为增函数. ‎ ‎8. (Ⅰ)由 ‎ 可得，‎ 则，当时， 时，，函数单调递增；当时， 时，，函数单调递增， 时， ，函数单调递减.所以当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.‎ ‎①当时，，单调递减.所以当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以在x=1处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，‎ 可得当当时，，时，，所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，所以在x=1处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在 内单调递减，‎ 所以当时，， 单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即 ，当时，，单调递增,‎ 当时，，单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.综上可知，实数a的取值范围为.‎