【数学】2019届一轮复习苏教版旋转变换投影变换切变变换学案

【数学】2019届一轮复习苏教版旋转变换投影变换切变变换学案

‎2019届一轮复习苏教版 旋转变换 投影变换 切变变换 学案 ‎1.掌握旋转、投影、切变变换的特点，熟知常用的这三种变换矩阵的特点.‎ ‎2.了解旋转、投影、切变变换的矩阵表示及其几何意义.‎ ‎[基础·初探]‎ ‎1.旋转变换 ‎(1)旋转变换的定义：将一个图形F绕某个定点O旋转角度θ所得图形F′的变换称为旋转变换，其中点O称为旋转中心，角度θ称为旋转角.‎ ‎(2)旋转变换矩阵：当旋转中心为坐标原点O且逆时针旋转θ角时，旋转变换的矩阵为，像这样的矩阵称为旋转变换矩阵.‎ ‎(3)旋转变换的特点：‎ ‎①旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.‎ ‎②旋转中心在旋转过程中保持不变.‎ ‎③图形的旋转由旋转中心和旋转的角度所决定.‎ ‎④绕定点旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换.‎ ‎2.投影变换 ‎(1)定义：将平面图形投影到某条直线(或点)的变换，称为投影变换.‎ ‎(2)投影变换矩阵：像，这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称为投影变换矩阵.‎ ‎(3)投影变换的特点：投影变换是线性变换，是映射，但不是一一映射.‎ ‎3.切变变换 ‎(1)定义：保持图形的面积大小不变而点间距离和线间夹角可以改变，且点沿坐标轴运动的变换叫做切变变换.‎ ‎(2)切变变换矩阵 一般地，在平面直角坐标系xOy内，将任一点P(x，y)沿着x轴(或y 轴)方向平移|ky|(或 |kx|)个单位变成点P′(x′，y′)，(其中k是非零常数)，对应的变换矩阵或(k∈R，k≠0)，称为切变变换矩阵.‎ ‎(3)切变变换的矩阵表示及其几何意义 ‎①矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点P(x，y)沿x轴方向平移|ky|个单位：当ky＞0时，沿x轴正方向移动；当ky＜0时，沿x轴负方向移动；当ky＝0时，位置不变.在此变换作用下，x轴上的点为不动点.‎ ‎②矩阵(k∈R，k≠0)把平面上的点P(x，y)沿y轴方向平移|kx|个单位：当kx＞0时，沿y轴正方向移动；当kx＜0时，沿y轴负方向移动；当kx＝0时，位置不变.在此变换作用下，y轴上的点为不动点.‎ ‎[思考·探究]‎ ‎1.如何理解旋转变换的矩阵表示及其几何意义？‎ ‎【提示】　旋转变换所对应的矩阵表示为 ，这里θ为一个实数，叫做旋转角，旋转中心一般取作原点.当θ＞0时，旋转的方向是逆时针；当θ＜0时，旋转的方向则是顺时针，我们一般只讨论逆时针方向.‎ ‎2.线性变换对单位正方形表示的区域有哪些作用？‎ ‎【提示】　(1)恒等变换，关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换，变换前后正方形区域的形状都未发生改变，只是位置发生了变化.‎ ‎(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动，另一边平移了的平行四边形.‎ ‎(3)投影变换把正方形区域变成了线段.‎ ‎[质疑·手记]‎ 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：‎ 疑问1：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问2：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 疑问3：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解惑：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 旋转变换及其应用 ‎　已知曲线xy＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后会得到什么曲线？曲线方程是什么？‎ ‎【精彩点拨】　根据题设条件找到旋转角θ，求出旋转变换矩阵，从而求出曲线方程，判断曲线类型.‎ ‎【自主解答】　将曲线xy＝1绕坐标原点顺时针旋转90°，相当于逆时针旋转270°，‎ 故旋转变换矩阵为 M＝＝，‎ 设P(x0，y0)为曲线xy＝1上任意一点，在矩阵M作用下对应点为P′(x0′，y0′)则＝＝，‎ 所以 故x0′y0′＝－x0y0＝－1.‎ 因此曲线xy＝1在矩阵M的作用下变成曲线 xy＝－1，如图所示.‎ 求旋转变换下曲线的方程的关键是搞清旋转方向，找准旋转角，求出旋转变换矩阵，进而用代入法(相关点法)求出曲线方程.‎ 若将本例中“旋转90°”变成“旋转45°”情况如何？‎ ‎【解】　由题意得旋转变换矩阵为 M＝＝.‎ 在曲线xy＝1上任取一点P(x，y)，设其在此旋转变换作用下得到点P′(x′，y ‎′)，则 ＝，即 所以 将其代入xy＝1中得：·＝1.‎ 即－＝1，‎ 因此曲线xy＝1，在矩阵的作用下变成曲线－＝1. ‎ 投影变换及其应用 ‎　设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点沿平行于直线y＝x的方向投影到x轴上.试求：‎ ‎(1)点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A′的坐标；‎ ‎(2)这个投影变换对应的变换矩阵. ‎ ‎【导学号：30650016】‎ ‎【精彩点拨】　根据题设条件画出图形，数形结合求解.‎ ‎【自主解答】　 (1)如图所示，点A(3，2)在这个投影变换作用下得到的点A′的坐标为(1，0).‎ ‎(2)设点(x，y)是平面直角坐标系xOy内的任意一点，则它在这个投影变换作用下得到的点为(x－y，0)，即→，‎ 从而可知所求的变换矩阵为.‎ ‎1.矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到x轴上，即(x，y)―→(x，0)；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于x轴方向投影到直线y＝x上，即(x，y)―→(x，x)；矩阵确定的投影变换，将坐标平面上的所有点垂直投影到y轴上，即(x，y)―→(0，y).‎ ‎2.求解该类问题常用数形结合思想求解.‎ ‎(1)矩阵，，，对应的变换的几何意义是什么？‎ ‎(2)矩阵，对应的变换的几何意义是什么？‎ ‎【解】　(1)对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到x轴上.‎ 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行于直线x＋y＝0的方向投影到x轴上.‎ 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于x轴的方向投影到直线y＝x上.‎ 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于y轴的方向投影到y轴上.‎ ‎(2)对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线x＋y＝0的方向投影到直线x＋y＝0上.‎ 对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直于直线y＝x的方向投影到直线y＝x上.‎ 切变变换及其应用 ‎　如图222所示，已知矩形ABCD，试求在矩阵对应的变换作用下的图形，并指出矩形区域ABCD在变换过程中的不变线段. ‎ ‎【导学号：30650017】‎ 图222‎ ‎【精彩点拨】　由于本变换对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况，从而得解.‎ ‎【自主解答】　因为矩阵对应的是线性变换，只需研究矩形的端点的变换情况即可，而 ＝，＝，‎ ＝，＝.‎ 从而矩形ABCD在矩阵作用下变成了平行四边形A′B′C′D′.这里A′(－2，－1)、B′(4，1)、C′(1，1)、D′(－5，－1)，即原图形上任意一点(x，y)沿x轴方向平移|3y|个单位，而纵坐标不变.如图所示，线段EF为该切变变换下的不变线段.‎ 矩阵(k∈R，k≠0)确定的变换为沿x轴方向平移|ky|个单位的切变变换；而(k∈R，k≠0).确定的变换为沿y轴方向平移|kx|个单位的切变变换，不要将二者混淆.‎ 如图223(1)、(2)所示，已知正方形ABCD在变换T作用下变成平行四边形A′B′C′D′，试求变换T对应的矩阵M.‎ 图223‎ ‎【解】　由图知，A(0，0)变换为A′(0，0)，B(1，0)变换为B′(1，1)，C(1，1)变换为C′(1，2)，D(0，1)变换为D′(0，1)，从而可知变换T是沿y轴正方向平移1个单位的切变变换，在此变换下，y轴上的点为不动点，故可得M＝. ‎ ‎[真题链接赏析]‎ ‎　(教材第34页习题2.2第8题)已知曲线xy＝1，将它绕坐标原点顺时针旋转90°后，会得到什么曲线？曲线方程是什么？‎ ‎　已知椭圆Γ：x2＋＝1，试求该曲线绕逆时针方向旋转90°后所得到的曲线，画出示意图.‎ ‎【命题意图】　本题主要考查旋转变换，同时考查了函数方程思想及运算求解能力.‎ ‎【解】　设椭圆与坐标轴的交点分别为A(－1，0)，B，C(1，0)，D(如图).‎ 因为绕原点逆时针旋转90°的变换所对应的矩阵为 M＝＝.‎ 这样＝，‎ ＝，‎ ＝，‎ ＝.‎ 点A，B，C，D在旋转变换M的作用下分别变为点A′(0，－1)、B′、C′(0，1)、D′，从而椭圆曲线Γ：x2＋＝1在逆时针旋转90°后所成的曲线为椭圆曲线Γ′：＋y2＝1.‎ ‎1.旋转中心为坐标原点且逆时针旋转的旋转变换的变换矩阵为________. ‎ ‎【导学号：30650018】‎ ‎【解析】　矩阵为 ‎＝.‎ ‎【答案】　 ‎2.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，矩阵对应的投影变换把椭圆变成________.‎ ‎【解析】　设椭圆上任意一点P(x，y)在投影变换下对应点P′(x′，y′)，‎ 则＝＝，‎ ‎∴椭圆＋＝1中，－b≤y≤b，‎ ‎∴投影后的曲线方程为x＝0(－b≤y≤b)，为一条线段.‎ ‎【答案】　线段 ‎3.直线y＝3x在矩阵对应的变换作用下所得的几何图形的方程为________.‎ ‎【解析】　设直线y＝3x上任意一点为P(x，y)，在线性变换下的像为P′(x′，y′)，‎ 则＝＝，‎ 即 ‎∴代入y＝3x，得x′＝3y′，即y′＝x′，‎ ‎∴变换后的图形为直线y＝x.‎ ‎【答案】　y＝x ‎4.在矩阵对应的变换作用下，点(2，1)将会变为________，这是一种________变换. ‎ ‎【导学号：30650019】‎ ‎【解析】　由＝可知点(2，1)在矩阵对应的变换作用下，变为点(4，1)，从而可知该变换为切变变换.‎ ‎【答案】　点(4，1)　切变 我还有这些不足：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 我的课下提升方案：‎ ‎(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎