【数学】2019届一轮复习北师大版辨析函数与方程的根的情况学案

【数学】2019届一轮复习北师大版辨析函数与方程的根的情况学案

一．方法综述 确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法 ‎ ‎(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0 完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．‎ ‎(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．‎ ‎(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．‎ 二．解题策略 类型一 求方程解的个数 例1、(2013·高考安徽卷)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是(　　)‎ A．3　　　　　　 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解题秘籍】方程的解的个数问题可转化为求函数图象的交点的个数.‎ ‎【举一反三】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的解的个数是(　　)‎ A．0 B．2 C．4 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】画出周期函数f(x)和y＝log3|x|的图象，如图所示，方程f(x)＝log3|x|的解的个数为4. ‎ 热点题型二 已知方程的根求参数 例2.【2017广西柳州市模拟】设定义域为的函数若关于的方程有7个不同的实数解，则（ ）‎ A．6 B．4或6 C．6或2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【举一反三】【2018广西南宁市摸底】设是定义在上的偶函数，且时，当时， ，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为对于任意的，都有， ‎ 所以，所以函数是一个周期函数，且，‎ 又因为当时， ，且函数是定义在R上的偶函数，‎ 若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，‎ 则函数与在区间上有四个不同的交点，如下图所示 ‎ ‎ 又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是，故选D. ‎ 三．强化训练 ‎1．【2018湖北省襄阳市调研】已知函数，若a、b、c互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则 的取值范围是（ ）‎ A. (1， 2 017) B. (1，2 018) C. [2，2 018] D. (2，2 018)‎ ‎【答案】D[ 学 ]‎ ‎ ‎ ‎2.【2018湖北省稳派教育联考】已知定义在R上的函数满足，若关于的方程恰有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. (1，2) D. (2，3)‎ ‎【答案】B ‎ 3.【2018内蒙古呼和浩特市调研】已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意设， 则， ‎ 所以 在（上递减，在（上递增， 且 ， 在一个坐标系中画出两个函数图象如图 ‎ 因为存在唯一的正整数 ，使得即， 所以由图得，则 ，即 ‎ 解得，所以的取值范围是.故选C. ‎ ‎4.【2017河北唐山市摸底】设是方程的解，则所在的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎5.【2017湖北百所重点校高三联考】设函数，若对任意，都存在，使得，则实数的最大值为（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设可得关于方程有解,由于当时,,‎ 所以有解,即有解,所以,也即,‎ 故实数的最大值为,故应选A. ‎ ‎6.【2017年第二次全国大联考（山东卷）】已知函数且，若在内有且仅有两个不同的根，则实数的取值范围是(　　)‎ A. B. [ ]‎ C.　 D.　‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7.【2017江西九江地区联考】若函数（，且）的值域是，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎ ‎8.【2017河北衡水中学一调】已知存在，使得，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出函数的图象，如图所示，‎ 因为存在当时，，所以，‎ 因为在上的最小值为在上的最小值为，‎ 所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 令（），所以为开口向上，对称轴为上抛物线，‎ 所以在区间上递增，‎ 所以当时，，当时，，即的取值范围是 ‎，‎ 故选A．‎ ‎9.已知函数，则关于的方程的实根个数不可能为（ ） ‎ A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 ‎【答案】A 所以有四个根，‎ 当时，方程有一个负根，三个正根，所以有七个根，‎ 当时，方程有三个正根，一个小于的负根，所以有八个根，‎ 当时，方程有两个正根，一个小于的负根，所以有六个根，‎ 当时，方程有一个正根一个小于的负根，所以有四个根，‎ 所以根的个数可能为，，，，，，故选A.‎ ‎ ‎ ‎10.【2018江西南昌摸底】已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎11.【2018河南漯河三模】已知函数，若，且，则 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】不妨设 ， 则令 ， 则 或 ； 故 ‎ 故 ‎．‎ ‎12.【2018安徽阜阳一中二模】已知 ，若关于的方程 恰好有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎