高考数学试题分类汇编——概率统计与排列组合二项式定理

高考数学试题分类汇编——概率统计与排列组合二项式定理

概率统计与排列组合二项式定理 安徽理 ‎（12）设，则 .‎ ‎（12)【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.‎ ‎【解析】，，所以 ‎.‎ ‎（20）（本小题满分13分）‎ 工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.‎ ‎（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？‎ ‎（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；‎ ‎（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。‎ ‎（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.‎ ‎ 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是 ‎，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，‎ 并等于 ‎ （II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布 列为 ‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 ‎ ‎ ‎ （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，‎ ‎ ‎ ‎ 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.‎ ‎ 下面证明：对于的任意排列，都有 ‎ ……………………（*）‎ ‎ 事实上，‎ ‎ ‎ ‎ 即（*）成立.‎ ‎ （方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.‎ ‎ （ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.‎ ‎ 序综合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.‎ 安徽文(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ‎（A） (B) (C) (D) ‎ ‎（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.‎ ‎【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.‎ ‎（20）（本小题满分10分）‎ 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：‎ 年份 ‎2002‎ ‎2004‎ ‎2006‎ ‎2008‎ ‎2010‎ 需求量（万吨）‎ ‎236‎ ‎246‎ ‎257‎ ‎276‎ ‎286‎ ‎（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;‎ ‎（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。‎ 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.‎ ‎（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.‎ ‎ 解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：‎ 年份—2006‎ ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ 需求量—257‎ ‎－21‎ ‎－11‎ ‎0‎ ‎19‎ ‎29‎ 对预处理后的数据，容易算得 ‎ ‎ ‎ 由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ‎ ‎ ‎ 即 ①‎ ‎ （II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为 ‎ （万吨）≈300（万吨）.‎ 北京理 ‎12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)‎ ‎【解析】个数为。‎ ‎17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。‎ ‎（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；‎ ‎（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望。‎ ‎（注：方差，其中为，，…，的平均数）‎ ‎（17）（共13分）‎ 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=‎ 同理可得 所以随机变量Y的分布列为：‎ Y ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×‎ ‎=19‎ 北京文 ‎7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 B ‎ A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 ‎16．（本小题共13分）‎ ‎ 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.‎ ‎ （1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；‎ ‎（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.‎ ‎ （注：方差其中为的平均数）‎ ‎（16）（共13分）‎ 解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为 方差为 ‎（Ⅱ）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：‎ ‎ （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），‎ ‎ （A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），‎ ‎ （A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），‎ ‎ （A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），‎ ‎ 用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为‎19”‎这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为 福建理6．（1+2x）3的展开式中，x2的系数等于 B ‎ A．80 B．‎40 ‎ C．20 D．10‎ ‎13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 ‎（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．4‎ a b ‎0．1‎ 且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；‎ ‎（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：‎ ‎ 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4‎ ‎ 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3‎ ‎8 3 4 3 4 4 7 5 6 7‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．‎ ‎ （III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．‎ 注：（1）产品的“性价比”=；‎ ‎ （2）“性价比”大的产品更具可购买性．‎ ‎19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。‎ 解：（I）因为 又由X1的概率分布列得 由 ‎（II）由已知得，样本的频率分布表如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎0．3‎ ‎0．2‎ ‎0．2‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ ‎0．1‎ 所以 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.‎ ‎（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：‎ 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为 据此，乙厂的产品更具可购买性。‎ 福建文4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 B A．6 B．‎8 C．10 D．12‎ ‎7．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点。若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点 Q取自△ABE内部的概率等于 A． B． C． D． C ‎19．（本小题满分12分）‎ 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1、2、3、4、5。现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f a ‎0.2‎ ‎0.45‎ b c ‎（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件；求a、b、c的值。‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件记为x1、x2、x3，等级系数为5的2件记为y1、y2。现从这五件日用品中任取2件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。‎ ‎19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。‎ ‎ 解：（I）由频率分布表得，‎ 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以 等级系数为5的恰有2件，所以，从而 所以 ‎（II）从日用品中任取两件，所有可能的结果为：‎ ‎，‎ 设事件A表示“从日用品中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：‎ 共4个，又基本事件的总数为10，故所求的概率 广东理6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎10.的展开式中，的系数是______ (用数字作答).‎ ‎ ‎ ‎13.某数学老师身高‎176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是‎173cm、‎170cm、和‎182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.‎ ‎ ‎ 父亲的身高(x)‎ ‎173‎ ‎170‎ ‎176‎ 儿子的身高(y)‎ ‎170‎ ‎176‎ ‎182‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：‎ 编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ x ‎169‎ ‎178‎ ‎166‎ ‎175‎ ‎180‎ y ‎75‎ ‎80‎ ‎77‎ ‎70‎ ‎81‎ ‎（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；‎ ‎（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；‎ ‎（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ‎ 广东文7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A ‎ A．20 B．‎15 ‎ C．12 D．10‎ ‎13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：‎ 时间 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率 ‎0．4‎ ‎0．5‎ ‎0．6‎ ‎0．6‎ ‎0．4‎ ‎ 小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．0.5，0.53‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用xn表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩xn ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s;‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 解：（1）,‎ ‎ ，‎ ‎ （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：‎ ‎ {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，‎ ‎ 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：‎ ‎ {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，‎ ‎ 故所求概率为 湖北理5.已知随机变量服从正态分布，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C x y O ‎4‎ ‎2‎ 解析：‎ 如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线对称，所以，并且 则 所以选C.‎ K A1‎ A2‎ ‎7.如图，用三类不同的元件连接成一个系统，正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 解析：至少有一个正常工作的概率为 ‎，‎ 系统正常工作概率为，所以选B.‎ ‎11.在展开式中含的项的系数为 .（结果用数值表示）‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】二项式展开式的通项公式为，令 ‎，含的项的系数为，故填17.‎ ‎12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）‎ ‎【答案】‎ 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B，则A与B是对立事件，因为 ‎，所以，所以填.‎ n=1‎ n=2‎ n=3‎ n=4‎ ‎15.给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共 有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共 有 种.（结果用数值表示）‎ ‎【答案】‎ 解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数 为，由图可知，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由此推断，，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21 种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别填.‎ 湖北文 ‎5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为 B ‎ A．18 B．36‎ ‎ C．54 D．72‎ ‎11. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。20‎ ‎12.的展开式中含的项的系数为__________。（结果用数值表示）17‎ 湖南理 ‎15、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则 ‎（1）；（2）‎ 答案：（1）；（2）‎ 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；‎ ‎（2）由条件概率的计算公式可得 ‎16、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则 ‎（1） （2）‎ 答案：（1）2；（2）‎ 解析：（1）因，故；‎ ‎（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：‎ ‎。‎ 又恰为2进制的最大7位数，所以。‎ ‎18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。‎ 解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。‎ ‎（II）由题意知，的可能取值为2，3.‎ ‎；‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为。‎ 湖南文5．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由 附表：‎ ‎0．050‎ ‎0．010‎ ‎0．001‎ ‎3．841‎ ‎6．635‎ ‎10．828‎ 参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B． 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ A． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B． 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ 答案：A 解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选A.‎ ‎10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 ．‎ 答案：40或60（只填一个也正确）‎ 解析：有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：‎ ‎，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。‎ ‎16、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，‎ ‎（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；‎ ‎（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。‎ 答案：（1），（2）16‎ 解析：（1）由题可知，而时，则，故只须，故。‎ ‎（2）由题可知，则，而时，即，即，，由乘法原理可知，不同的函数的个数为。‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．‎ ‎（I）完成如下的频率分布表：‎ ‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（II）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份的降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．‎ 解：（I）在所给数据中，降雨量为‎110毫米的有3个，为‎160毫米的有7个，为 ‎200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎（II）‎ 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为．‎ 江苏 ‎5.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______‎ 答案：‎ 解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种. 其中符合条件的有2种,所以概率为.也可以由得到.‎ 本题主要考查随机事件与概率,古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率.容易题.‎ ‎6.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差.‎ 答案：.‎ 解析：五个数的平均数是7,方差为 还可以先把这组数都减去6再求方差，.‎ 本题主要考查总体分布的估计,总体特征数的估计,平均数方差的计算，考查数据处理能力,容易题.‎ 附加：23．（本小题满分10分）‎ 设整数，是平面直角坐标系中的点，其中，．‎ ‎（1）记为满足的点的个数，求；‎ ‎（2）记为满足是整数的点的个数，求．‎ 解：（1）点P的坐标满足条件：‎ ‎ （2）设为正整数，记为满足题设条件以及的点P的个数，只要讨论的情形，由知 ‎ 设 ‎ 所以 ‎ 将代入上式，化简得 ‎ 所以 江西理6. 变量与相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量 与相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），表示变量与之间的线性相关系数，表示变量与之间的线性相关系数，则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，‎ ‎∴‎ ‎∴，选C ‎12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机的往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为饮料，另外4杯为饮料.公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令表示此人选对饮料的杯数.假设此人对和两种饮料没有鉴别能力.‎ ‎（1）求的分布列；‎ ‎（2）求此员工月工资的期望.‎ ‎【解析】（1）的所有可能取值为：0, 1, 2, 3, 4‎ 即 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎（2）令表示新录用员工的月工资，则的所有可能取值为2100,2800,3500‎ 的分布列为：‎ ‎2100‎ ‎2800‎ ‎3500‎ 所以新录用员工月工资的期望为2280元.‎ 江西文7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即 抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D ‎8.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：‎ 父亲身高x（cm）‎ ‎174‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎176‎ ‎178‎ 儿子身高y（cm）‎ ‎175‎ ‎175‎ ‎176‎ ‎177‎ ‎177‎ 则y对x的线性回归方程为 A.y = x-1 B.y = x+‎1 C.y = 88+ D.y = 176‎ C 线性回归方程，，‎ ‎16.(本小题满分12分）‎ 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5 ‎ 杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工 一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3 ‎ 杯选对2杯，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．‎ （1） 求此人被评为优秀的概率；‎ （2） 求此人被评为良好及以上的概率．‎ 解：（1）员工选择的所有种类为，而3杯均选中共有种，故概率为.‎ ‎ （2）员工选择的所有种类为，良好以上有两种可能：3杯均选中共有种；‎ ‎ ‚：3杯选中2杯共有种。故概率为.‎ ‎ 解析：本题考查的主要知识是排列组合与概率知识的结合，简单题。‎ 辽宁理5．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和 为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）= B ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎ （I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎ （II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ ‎19．解：‎ ‎ （I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且 即X的分布列为 ‎ ………………4分 X的数学期望为 ‎ ………………6分 ‎ （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．‎ ‎（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；‎ ‎（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：‎ 品种甲 ‎403‎ ‎397‎ ‎390‎ ‎404‎ ‎388‎ ‎400‎ ‎412‎ ‎406‎ 品种乙 ‎419‎ ‎403‎ ‎412‎ ‎418‎ ‎408‎ ‎423‎ ‎400‎ ‎413‎ 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ 附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．‎ ‎19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，‎ 令事件A=“第一大块地都种品种甲”.‎ 从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；‎ ‎（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.‎ 而事件A包含1个基本事件：（1，2）.‎ 所以 ………………6分 ‎ （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.‎ 全国Ⅰ理 ‎ ‎（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ A ‎（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ‎（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40‎ D ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）．求X的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．‎ ‎（19）解 ‎（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间 的频率分别为0.04，,054,0.42，因此 ‎ P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,‎ 即X的分布列为 X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68‎ 全国Ⅰ文 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：‎ A配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎8‎ ‎20‎ ‎42‎ ‎22‎ ‎8‎ B配方的频数分布表 指标值分组 ‎[90，94）‎ ‎[94，98）‎ ‎[98，102）‎ ‎[102，106）‎ ‎[106，110]‎ 频数 ‎4‎ ‎12‎ ‎42‎ ‎32‎ ‎10‎ ‎（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；‎ ‎（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为 估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．‎ ‎（19）解 ‎（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．‎ 由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42‎ ‎（Ⅱ）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.‎ 用B配方生产的产品平均一件的利润为 ‎（元）‎ 山东理 ‎7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ ‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ‎(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】由表可计算,,因为点 在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.‎ ‎14. 若展开式的常数项为60，则常数的值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】因为,所以r=2, 常数项为60,解得.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。‎ ‎（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为 ‎=0.55.‎ ‎（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则 ‎=0.1;‎ ‎++=0.35;‎ ‎=0.4;‎ ‎=0.15.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.35‎ ‎0.4‎ ‎0.15‎ 数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0. 15=1.6.‎ 山东文 ‎8．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ‎ A．63．6万元 B．65．5万元 C．67．7万元 D．72．0万元 B ‎（13）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 . 16‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.‎ ‎（Ⅰ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.‎ ‎18．解：（I）甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；‎ 乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：‎ ‎（A，D）（A，E），（A，F），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F）共9种。‎ 从中选出两名教师性别相同的结果有：（A，D），（B，D），（C，E），（C，F）共4种，‎ 选出的两名教师性别相同的概率为 ‎ （II）从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：‎ ‎（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），‎ ‎（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种，‎ 从中选出两名教师来自同一学校的结果有：‎ ‎（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（D，F），（E，F）共6种，‎ 选出的两名教师来自同一学校的概率为 陕西理4．（R）展开式中的常数项是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C）15 （D）20‎ ‎【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.‎ ‎【解】选C ，‎ 令，则，所以，故选C．‎ ‎9．设，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ）‎ ‎（A）和的相关系数为直线的斜率 ‎（B）和的相关系数在0到1之间 ‎（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 ‎（D）直线过点 ‎【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．‎ ‎【解】选D 选项 具体分析 结论 A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 不正确 B 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在到0之间时，两个变量负相关 不正确 C 两侧的样本点的个数分布与的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确 D 回归直线一定过样本点中心；由回归直线方程的计算公式可知直线必过点 正确 ‎10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．‎ ‎【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有（种），所以．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过 ‎ 两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段 内的频率如下表：‎ 时间（分钟）‎ ‎1020‎ ‎2030‎ ‎3040‎ ‎4050‎ ‎5060‎ 的频率 的频率 ‎0‎ 现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．‎ ‎（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？‎ ‎（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .‎ ‎【分析】（1）会用频率估计概率，然后把问题转化为互斥事件的概率；（2）首先确定X的取值，然后确定有关概率，注意运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望．‎ ‎【解】（1）表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“甲选择路径时，50分钟内赶到火车站”，，．‎ 用频率估计相应的概率，则有：‎ ‎，；‎ ‎∵，∴甲应选择路径；‎ ‎，；‎ ‎∵，∴乙应选择路径．‎ ‎（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知，，又事件A，B相互独立，的取值是0，1，2，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴X的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.04‎ ‎0.42‎ ‎0.54‎ ‎∴．‎ 陕西文9．设··· ，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（ ）‎ ‎(A) 直线过点 ‎ ‎（B）和的相关系数为直线的斜率 ‎（C）和的相关系数在0到1之间 ‎（D）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同 ‎【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断．‎ ‎【解】选A 选项 具体分析 结论 A 回归直线一定过样本点中心；由回归直线方程的计算公式可知直线必过点 正确 B 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 不正确 C 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在到0之间时，两个变量负相关 不正确 D 两侧的样本点的个数分布与的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确 ‎20.（本小题满分13分）‎ 如图，A地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：‎ 所用时间（分钟）‎ ‎1020‎ ‎2030‎ ‎3040‎ ‎4050‎ ‎5060‎ 选择的人数 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎12‎ 选择的人数 ‎0‎ ‎4‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎4‎ ‎（1）试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；‎ ‎（2 ）分别求通过路径和所用时间落在上表中各时间段内的 频率；‎ ‎（3）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站， ‎ 为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择 各自的路径．‎ ‎【分析】（1）读懂数表，确定不能赶到火车站的人数所在的区间，用相应的频率作为所求概率的估计值；（2）根据频率的计算公式计算；（3）计算选择不同的路径，在允许的时间内赶往火车站的概率，通过比较概率的大小确定选择的最佳路径．‎ ‎【解】（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，‎ 用频率估计相应的概率为0.44.‎ ‎（2 ）选择的有60人，选择的有40人，‎ 故由调查结果得频率为：‎ 所用时间（分钟）‎ ‎1020‎ ‎2030‎ ‎3040‎ ‎4050‎ ‎5060‎ 选择的人数 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 选择的人数 ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎（3）用，分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站；用，分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站．‎ 由（2）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1) P(A2)，‎ 甲应选择路径；‎ P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，P（B2）＞P（B1），‎ ‎∴ 乙应选择路径L2.‎ 上海理 ‎9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎？‎ ‎！‎ ‎？‎ 请小牛同学计算的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案= . ‎ ‎12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）. ‎ 上海文 ‎10、课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 ‎ ‎ 四川理 ‎ 1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18‎ ‎[27.5，31.5) ‎1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3‎ 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 解析：数据落在[31.5，43.5)的频数为22，频率为，选B．‎ ‎18．（本小题共l2分）‎ 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ 本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）依题意得，甲、乙在三小时及以上且不超过四小时还车的概率分别为、．‎ 记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A，则．‎ 答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．‎ ‎（Ⅱ）可能的取值有0,2,4,6,8．‎ ‎；；；‎ ‎；．‎ 甲、乙两人所付的租车费用之和的分布列 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ 所以．‎ 四川文 ‎2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：‎ ‎[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18‎ ‎[27.5，31.5) ‎1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3‎ 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：B 解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占，选B．‎ ‎13．的展开式中的系数是_________．（用数字作答）‎ 答案：84‎ 解析：∵的展开式中的系数是．‎ ‎17．（本小题共l2分）‎ 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．‎ ‎（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．‎ 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．‎ 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则 ‎，．‎ 答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．‎ ‎（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则 ‎．‎ 答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为 天津理 ‎10．如图，用四种不同的颜色给图中的六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有（　　　）．‎ ‎　　Ａ．种　　　Ｂ．种　　　Ｃ．种　　　Ｄ．种 ‎【解】解法1．首先考虑除外，相邻两端点不同色的情形：此时 有种涂法，与相邻的点有种涂法，有种涂法，有种涂法，‎ 此时，有种涂法，有种涂法，因此共有 ‎　　　　（种）．‎ 但是，这是有可能同色，且当同色，不同色时，同色．此时的涂法有同色的有种，对于点，点共有种，由对称性只有种涂法．‎ 所以共有（种）．‎ 因此，符合题目要求的涂法有（种）．故选Ｂ．‎ 解法2．分两种情形讨论：点同色和点不同色，涂法数如下表：‎ ‎　　合　　　　计 点同色 ‎　　‎ 点不同色 因此，符合题目要求的涂法有（种）．故选Ｂ．‎ 解法3．先对涂色，有（种）．‎ 固定其中一种涂法，设四种不同的颜色为颜色①，②，③，④．且设涂颜色①，涂颜色②，涂颜色③．‎ 则根据题意的涂法可用下表枚举：‎ ‎②‎ ‎②‎ ‎②‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎③‎ ‎③‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎④‎ ‎④‎ ‎③‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎④‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎①‎ ‎③‎ ‎③‎ ‎①‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎①‎ ‎④‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎④‎ ‎②‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎②‎ 以上共种，‎ 因此符合题目要求的涂法有（种）．故选Ｂ．‎ 解法4．分两种情形讨论：‎ ‎（1）全部使用四种不同的颜色．‎ 第一步：对涂色，只能用三种颜色，有（种），‎ 第二步：从三点中选一点涂第四种颜色，有种，再对另两点涂色有种涂法，共有种涂法，‎ 所以全部使用四种不同的颜色的涂法有（种）；‎ ‎(2) 只使用三种颜色．‎ 第一步：对涂色，有（种），‎ 第二步：对三点涂色，由于只用三种颜色，则点有种涂法，此时和只有种涂法．‎ 所以只使用三种颜色的涂法有（种）．‎ 由（1），(2) 符合题目要求的涂法有种）．故选Ｂ．‎ ‎　　解法5．为研究问题方便,不妨把平面图形变换成三棱柱,如右图所示,‎ ‎ 染色规则: 在三棱柱的六个顶点中,相同颜色的顶点可连接同一颜色的线段,依题意,三棱柱的九条棱都不能染色.‎ ‎ 下面分情况进行讨论: ‎ ‎(1) 当六个顶点只用三种颜色涂色时,相同颜色 顶点的连线为三棱柱侧面上的对角线,如图 ‎(甲)或(乙),图中字母的角码表示颜色编号,‎ 则不同的涂色方法共有:(种)；‎ ‎ (2) 当六个顶点用四种颜色涂色时,又可分为 ‎ 在(1)的条件下,用第四种颜色替换掉六个 顶点中的一个或两个:‎ ‎①用第四种颜色替换掉六个顶点中的一个,‎ ‎ 如图(丙),此时相当于在(1)的条件下,去掉 ‎ 一条侧面上的对角线,有种方法,因此,‎ ‎ 不同的涂色方法共有:(种)；‎ ‎ ②用第四种颜色替换掉六个顶点中两个,显然被替换掉的两个顶点的颜色编号 不能相同,否则与(1)重复,被替换掉的两个顶点也不能在同一底面上或同一侧 棱上,因此被替换掉的两个顶点与被保留的两个同颜色顶点在同一侧面上,如 图(丁), 此时相当于在(1)的条件下,保留一个侧面上的对角线,考虑到重复情 况,不同的涂色方法共有:(种).‎ ‎ 综上所述,不同的涂色方法共有: (种).故选B.‎ ‎11．甲、乙两人在天中每天加工的零件的个数用茎叶图表 ‎ 示如下图．中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边 ‎ 的数字零件个数的个位数，则这天中甲、乙两人日加工 零件的平均数分别为　　　　和　　　　．‎ ‎【解】，．‎ 设甲的平均数为，乙的平均数为，则 ‎．‎ ‎．‎ 则这天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和 ‎18．（本小题满分分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．‎ ‎（Ⅰ）假设这名射手射击次，求恰有次击中的概率．‎ ‎（Ⅱ）假设这名射手射击次，求有次连续击中目标，另外次未击中目标的概率．‎ ‎（Ⅲ）假设这名射手射击次，每次射击，击中目标得分，未击中目标得分，在次射击中，若有次连续击中，而另外次未击中，则额外加分；若次全击中，则额外加分．记为射手射击次后的总得分数，求的分布列．‎ ‎【解】（Ⅰ）设为射手在次射击中击中目标的次数，则．‎ 在次射击中恰有次击中的概率为 ‎　　　．‎ ‎（Ⅱ）设“第次击中目标”为事件，“射手在次射击中有次连续击中目标，另外次未击中目标”为事件．则 ‎　　．‎ ‎（Ⅲ）由题意，的所有可能取值为．‎ 三次均未中）；‎ 仅击中次）‎ ‎；‎ 击中次但未连续击中）；‎ 有次连续击中）‎ ‎；‎ 次连续击中）．‎ 或 ‎．‎ 所以的分布列为 ‎　　‎ ‎　　‎ 天津文 ‎18．（本小题满分分）有编号为的个零件，测量其直径（单位：），得到下面数据：‎ 编号 直径 其中直径在区间内的零件为一等品．‎ ‎（Ⅰ）从上述个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率．‎ ‎（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取个．‎ ‎(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；‎ ‎(ⅱ)求这个零件直径相等的概率 ‎【解】（Ⅰ）由所给的数据可知，一等品的零件共有个．‎ 设“从个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则．‎ 所以从个零件中，随机抽取一个零件为一等品的概率为．‎ ‎（Ⅱ）(ⅰ)一等品零件的编号为．‎ 从这个一等品零件种随机抽取个，所有可能的抽取结果有　‎ ‎　　　，，，，，‎ ‎　　　，，，，，‎ ‎　　　，，，，．‎ 共种．‎ ‎(ⅱ) 记“从一等品零件中，随机抽取个直径相等”为事件，则事件的所有可能结果有 ‎　　，，，，，‎ 共种．所以．‎ 因此从一等品零件中，随机抽取个直径相等的概率为．‎ 浙江理9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率 B ‎ A． B． C． D ‎13．设二项式（x-）6（a>0）的展开式中X的系数为A,常数项为B，若B=‎4A，则a的值是 。2‎ ‎15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量X的数学期望 ‎ ‎ 浙江文（8）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ D ‎（13）某小学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图推测3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 ‎_____________________600‎ 重庆理（4）的展开式中与的系数相等，则=‎ ‎（A）6 （B）7 （C）8 （D）9‎ B ‎（13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率 为__________‎ ‎(17) (本小题满分13分)（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）‎ 某市公租房的房源位于A,B,C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。求该市的任4位申请人中：‎ ‎（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；‎ ‎（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望。‎ ‎17．（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题.‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）ξ的所有可能值为1，2，3.又 综上知，ξ有分布列 ξ ‎ 1 2 3‎ P ‎ ‎ 从而有 重庆文4．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）‎ ‎125 120 122 105 130 114 116 95 120 134‎ 则样本数据落在内的频率为 C A．0.2 B．‎0.3 ‎C．0.4 D．0.5‎ ‎11．的展开式中的系数是 240‎ ‎17．（本小题满分13分，（I）小问6分，（II）小问7分）‎ 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：‎ ‎ （I）没有人申请A片区房源的概率；‎ ‎ （II）每个片区的房源都有人申请的概率。‎ ‎17．（本题13分）‎ 解：这是等可能性事件的概率计算问题。‎ ‎ （I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。‎ 记“没有人申请A片区房源”为事件A，则 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.‎ 记“申请A片区房源”为事件A，则 由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为 ‎ （II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 种.‎ 记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有 ‎ ‎