新课标版高考数学复习题库考点8 三角恒等变换

新课标版高考数学复习题库考点8 三角恒等变换

‎ ‎ 考点8 三角恒等变换 ‎ ‎1.（2010·福建高考文科·Ｔ2）计算的结果等于（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考查余弦的倍角公式的逆用，即降幂公式，并进行三角函数的化简求值.‎ ‎【思路点拨】直接套用倍角公式的逆用公式，即降幂公式即可.‎ ‎【规范解答】选B.. ‎ ‎【方法技巧】对于三角公式的学习，要注意灵活掌握其变形公式，才能进行灵活的恒等变换.如倍角公式：，的逆用公式为“降幂公式”，即为，，在三角函数的恒等变形中，降幂公式起着重要的作用.‎ ‎2.（2010·福建高考理科·Ｔ1）计算的结果等于（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考查学生对于三角函数两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆.‎ ‎【思路点拨】 由正弦两角差公式可得.‎ ‎【规范解答】选A..‎ ‎3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T9）若，是第三象限的角，则( )‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ ‎【命题立意】本题主要考查了三角函数的恒等变换公式及同角三角函数的基本关系式.‎ ‎【思路点拨】根据余弦值求出正弦值，然后化简表达式进行求解.‎ ‎【规范解答】选Ａ.由，是第三象限的角，可得，‎ ‎，故选Ａ.‎ ‎4.（2010·浙江高考理科·Ｔ11）函数的最小正周期是__________ .‎ ‎【命题立意】本题考查三角函数、三角变换，关键是熟练掌握三角函数式变换的相关技巧.‎ ‎【思路点拨】把先统一角，再利用化一公式化成正弦型函数.‎ ‎【规范解答】‎ ‎，.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】‎ ‎（1）三角函数式化简时常用的技巧有：统一角、降幂扩角、化一公式等.‎ ‎（2）求三角函数式的最小正周期时，一般先把函数化为的正弦型函数，再求周期.‎ ‎5.（2010 ·海南宁夏高考·理科T16）在中，D为边BC上一点，BD=DC,=120°，AD=2，若的面积为，则= .‎ ‎【命题立意】本题主要考查了余弦定理及其推论的综合应用.‎ ‎【思路点拨】利用三角形中的余弦定理极其推论，列出边与角满足的关系式求解.‎ ‎【规范解答】设，则，由的面积为可知 ‎，可得，由余弦定理可知 ‎，所以.‎ ‎，所以.‎ 由，及，‎ 可求得 ‎【答案】60°‎ ‎【方法技巧】找出三角形中隐含的角的关系，利用余弦定理或正弦定理找边与角的关系，列出等式求解. ‎ ‎6.（2010·天津高考理科·Ｔ17）已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.‎ ‎（Ⅱ）若，求的值.‎ ‎【命题立意】本题主要考查正余弦的二倍角公式、两角和的正弦公式、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式等基础知识，考查考生基本运算能力. ‎ ‎【思路点拨】化成一个角的三角函数的形式，变角.‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）由，得 ‎,‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ‎，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,又因为，所以,‎ 由，得,从而,‎ 所以.‎ ‎7.（2010·山东高考文科·Ｔ17）已知函数（）的最小正周期为，‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值.‎ ‎【命题立意】本题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求值的能力，考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】（1）先利用二倍角公式将化简，再根据周期求出的值.（2）先根据的图象与图象的关系，求出的解析式，再根据的范围求的最小值.‎ ‎【规范解答】（1）因为,所以 ‎，‎ 由于，依题意得，所以.‎ ‎（2）由（1）知,所以.‎ 当时，, 所以.‎ 因此,故在区间上的最小值为1.‎ ‎8.（2010·山东高考理科·Ｔ17）已知函数，其图象过点（,）．‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值．‎ ‎【命题立意】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用，图象变换以及三角函数的最值问题，考查了考生的分析问题与解决问题的能力和运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】(1)根据图象过点（,）,代入化简可求值，同时应注意 ‎ 的取值范围.‎ ‎(2)利用(1)的结果，将的解析式进行化简，再利用图象变换求出的 解析式，最后根据的范围求出最值.‎ ‎【规范解答】（1）因为已知函数图象过点（,），所以有 ‎，‎ 即有=，又，‎ 所以，解得.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以 ‎==，‎ 所以=，因为x[0, ]，所以，‎ 所以当时，取最大值；当时，取最小值. ‎