人教版九年级数学上册教案：22_2 用函数观点看一元二次方程（1）

人教版九年级数学上册教案：22_2 用函数观点看一元二次方程（1）

1 22.2 用函数的观点看一元二次方程（1） 教学目标： 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式 之间的联系。 2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生 用数学的意识。 3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 重点难点： 重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系， 能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。 难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点． 教学过程： 一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如 拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题， 具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。 二、探索问题 问题 1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖 一根柱子，上面的 A 处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为 0.8m。 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m) 与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 y＝－x2＋2x＋4 5。 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? （最大值） (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落 在水池内? （就是求如图(2)B 点的横坐标） 问题 2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水 面宽 AB＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少?是否会超过 1m? 教学要点 1．教师分析：根据已知条件，要求 ED 的宽，只要求 出 FD 的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求 出 D 点的横坐标。因为点 D 在涵洞所成的抛物线上， 又由已知条件可得到点 D 的纵坐标，所以利用抛物线 2 的函数关系式可以进一步算出点 D 的横坐标。 解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴的垂线为 x 轴，建立 直角坐标系。 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下， 所以可设它的 函数关系式为：y＝ax2 (a＜0) (1) 因为 AB 与 y 轴相交于 C 点，所以 CB＝AB 2 ＝0.8(m)，又 OC＝2.4m，所以点 B 的坐标是(0.8，－2.4)。 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以：a＝－15 4 因此，函数关系式是 y＝－15 4 x2 (2) 因为 OF＝1.5m，设 FD＝x1m(x1＞0)，则点 D 坐标为(x1，－1.5)。因为点 D 的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)， 得 －1.5＝－15 4 x12 x12＝2 5 x1＝± 10 5 x1＝－ 10 5 不符合假设，舍去，所以 x1＝ 10 5 。 ED＝2FD＝2×x1＝2× 10 5 ＝2 5 10≈2 5×3.162≈1.26(m) 所以涵洞 ED 是2 5 10m，会超过 1m。 问题 3：画出函数 y＝x2－x－3/4 的图象，根据图象回答下列问题。 (1)图象与 x 轴交点的坐标是什么； (2)当 x 取何值时，y＝0?这里 x 的取值与方程 x2－x－3 4＝0 有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 教学要点 1．先让学生回顾函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的画法，按列表、描点、连线等 步骤画出函数 y＝x2－x－3 4的图象。 2．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问 题，得到图象与 x 轴交点的坐标分别是(－1 2，0)和 (3 2，0)。 6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流， 达成共识：从“形”的方面看，函数 y＝x2－x－3 4的 3 图象与 x 轴交点的横坐标，即为方程 x2－x－3 4＝0 的解；从“数”的方面 看，当二次函数 y＝x2－x－3 4的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方 程 x2－x－3 4＝0 的解。更一般地，函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点 的横坐标即为方程 ax2＋bx＋c＝0 的解；当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的函 数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax2＋bx＋c＝0 的解，这一结论 反映了二次函数与一元二次方程的关系。 三、试一试 根据问题 3 的图象回答下列问题。 (1)当 x 取何值时，y＜0?当 x 取何值时，y＞0? (当－1 2＜x＜3 2时，y＜0；当 x＜－1 2或 x＞3 2时，y＞0) (2)能否用含有 x 的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有 x 的不 等式采描述(1)中的问题，即 x2－x－3 4＜0 的解集是什么?x2－x－3 4＞0 的解 集是什么?) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达 成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数 y＝ax2＋bJ＋c 在 x 轴上方的图象上 的点的横坐标，即为一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解；在 x 轴下方的 图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的函数值大于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解；当二次 函数 y＝ax2＋bx＋c 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次 不等式 ax2＋bc＋c＜0 的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式 的关系。 四、课堂练习： 练习 1、2。 五、小结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑? 2．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴无交点，试说明，元二 次方程 ax2＋bx＋c＝0 和一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0 的解的情况。 六、作业： 1. 二次函数 y＝x2－3x－18 的图象与 x 轴有两交点，求两交点间的距离。 2．已知函数 y＝x2－x－2。 4 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定：x 取什么值时，①y＝0，②y＞0；③y＜0。 3．学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA。O 恰好在水面中心，布置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 任意平面上的抛物线如 图(5)所示，建立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度 y(m)与水面距离 x(m)之间的函数关系式是 y＝－x2＋5 2x＋3 2，请回答下列问题： (1)花形柱子 OA 的高度； (2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至 于落在池外? 4．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－1 5x2＋3.5 运行，然后准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为 3.05 米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25 米，请问他距 离篮框中心的水平距离是多少? 教后反思：