高考数学理试题安徽卷

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高考数学理试题安徽卷

‎2015年高考数学(理)试题(安徽卷)‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1、设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )‎ ‎(A)第一象限 (B)第二象限 ‎ ‎(C)第三象限 (D)第四象限 答案:B 解析:由题意,其对应的点坐标为(-1,1),位于第二象限,故选B.‎ 知识点:复数的运算、复数的几何意义.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 复数的运算、复数的几何意义 ‎2、下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A 解析:对于A,定义域为R,并且cos(-x)=cosx,是偶函数并且有无数个零点; 对于B,sin(-x)=-sinx,是奇函数,由无数个零点; 对于C,定义域为(0,+∞),所以是非奇非偶的函数,有一个零点; 对于D,定义域为R,为偶函数,都是没有零点;‎ 知识点:函数的奇偶性、函数零点的概念.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 函数的奇偶性、函数零点的概念 ‎3、设p:1<x<2,q:2x>1 ,则p是q成立的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 ‎ ‎(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案:A 解析:由q:2x>20,解得x>0,易知,p能推出q,但q不能推出p,故p是q成立的充分不必要条件,选A.‎ 知识点:指数运算、充要条件的概念.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 指数运算、充要条件的概念 ‎4、下列双曲线中,焦点在轴上且渐近线方程为y=±2x的是( )‎ ‎ (A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ 答案:C 解析:由题意,选项A、B的焦点在x轴,故排除A、B,C项的渐近线方程为,即y=±2x,故选C.‎ 知识点:双曲线的渐近线.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 双曲线的渐近线.‎ ‎5、已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( )‎ ‎ (A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 ‎ (B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行 ‎ (C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 ‎ (D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面 答案:D 解析:对于A,若α,β垂直于同一平面,则α与β不一定平行,例如墙角的三个平面;故A错误; 对于B,若m,n平行于同一平面,则m与n平行.相交或者异面;故B错误; 对于C,若α,β不平行,则在α内存在无数条与β平行的直线;故C错误; 对于D,若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面;假设两条直线同时垂直同一个平面,则这两条在平行;故D正确; 故选D.‎ 知识点:直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ ‎6、若样本数据的标准差为,则数据的标准差为( )‎ ‎ (A)8 (B)15 (C)16 (D)32‎ 答案:C 解析:设样本数据的标准差为,则=8‎ ‎,即方差DX=64,而数据的方差D(2X-1)=22DX=22×64,所以其标准差为 .故选C.‎ 知识点:样本的方差与标准差的应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 样本的方差与标准差的应用.‎ ‎7、一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )‎ ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 答案:B 解析:根据几何体的三视图,得;该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示:‎ ‎∴该几何体的表面积为 ‎=,故选B.‎ 知识点:由三视图求面积、体积 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 由三视图求面积、体积 ‎8、是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论正确的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 答案:D 解析:由题意,,故 ,故A错误;,所以,又 ,所以,故B、C错误;设B、C中点为D,则,且,所以,故选D.‎ 知识点:平面向量的线性运算、平面向量的数量积.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 平面向量的线性运算、平面向量的数量积.‎ ‎9、函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )‎ ‎ (A)a>0,b>0,c<0 (B)a<0,b>0,c>0‎ ‎ (C)a<0,b>0,c<0 (D)a<0,b<0,c<0‎ 答案:C 解析:函数在P处无意义,由图象看P在y轴右边,所以-c>0,得c<0, f(0)= >0,∴b>0,由f(x)=0得ax+b=0,即x=-,即函数的零点x=->0,∴a<0,综上a<0,b>0,c<0,故选:C 知识点:函数的图象与应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 函数的图象与应用 ‎10、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ均为正的常数)的最小正周期为π,当时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是( )‎ ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ 答案:A 解析:依题意得,函数f(x)的周期为π,因为ω>0,所以,又因为当 时,函数f(x)取得最小值,所以,可解得:,所以,‎ 所以,,‎ ‎;又因为,而f(x)=Asinx在区间是单调递减的,所以f(2)<f(-2)<f(0),故选A.‎ 知识点:三角函数的图象与应用、函数值的大小比较.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 三角函数的图象与应用、函数值的大小比较 二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)‎ ‎11、的展开式中x5的系数是 .(用数字填写答案)‎ 答案:35‎ 解析:由题意,令21-4r=5,得r=4,则x5的系数是 .‎ 知识点:二项式定理的展开式应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 二项式定理的展开式应用 ‎12、在极坐标中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是 .‎ 答案:6‎ 解析:圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ,∴x2+y2=8y,化为x2+(y-4)2‎ ‎=16. 直线θ=(ρ∈R)化为,所以圆心C(0,4)到直线的距离 ‎ 所以圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值=d+r=2+4=6.故答案为:6.‎ 知识点:极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、圆上的点到直线的距离.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 极坐标方程与平面直角坐标方程的转化、圆上的点到直线的距离.‎ ‎13、执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为 .‎ 答案:4.‎ 解析:模拟执行程序框图,可得:a=1,n=1; 满足条件|a-1.414|>0.005,a=,n=2; 满足条件|a-1.414|>0.005,a=,n=3; 满足条件|a-1.414|>0.005,a=,n=4;‎ ‎ 不满足条件|a-1.414|=0.00267>0.005,退出循环,输出n的值为4. 故答案为:4.‎ 知识点:程序框图的应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 程序框图的应用.‎ ‎14、已知数列是递增的等比数列,,则数列的前n项和等于 .‎ 答案: ‎ 解析:由题意, ,解得a1=1,a4=8或者a1=8,a4=1,而数列是递增的等比数列,所以a1=1,a4=8,即 ,所以q=2,因而数列的前n项和.‎ 知识点:等比数列的性质、等比数列的前n项和公式.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 等比数列的性质、等比数列的前n项和公式.‎ ‎15、设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号)‎ ‎①a=-3,b=-3.②a=-3,b=2.③a=-3,b>2.‎ ‎④a=0,b=2.⑤a=1,b=2.‎ 答案:①③④⑤‎ 解析:设f(x)=x3+ax+b,=3x2+a, ①a=-3,b=-3时,令=3x2-3=0,解得x=±1,x=1时f(1)=-5,‎ f(-1)=-1; 并且x>1或者x<-1时>0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)都是增函数,所以函数图象与x轴只有一个交点,故x3+ax+b=0仅有一个实根;如图:‎ ‎②a=-3,b=2时,令=3x2-3=0,解得x=±1,x=1时f(1)=0,f(-1)=4;如图:‎ ‎③a=-3,b>2时,函数f(x)=x3-3x+b,f(1)=-2+b>0,函数图象形状如图②,所以方程x3+ax+b=0只有一个根; ④a=0,b=2时,函数f(x)=x3+2,=3x2≥0恒成立,故原函数在R上是增函数;故方程方程x3+ax+b=0只有一个根; ⑤a=1,b=2时,函数f(x)=x3+x+2,=3x2+1>0恒成立,故原函数在R上是增函数;故方程方程x3+ax+b=0只有一个根; 综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤‎ ‎. 故答案为:①③④⑤.‎ 知识点:函数零点与方程的根之间的关系、函数的单调性及其极值.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 函数零点与方程的根之间的关系、函数的单调性及其极值.‎ 三、解答题 ‎16、(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.‎ 答案: ‎ 解析:∵ ,∴在△ABC中,由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠BAC=90.∴BC=3 ;‎ ‎∵在△ABC中,由正弦定理可得:,∴,‎ ‎∴;∵过点D作AB的垂线DE,垂足为E,由AD=BD得:cos∠DAE=cosB,∴Rt△ADE中,.‎ 知识点:正弦定理、余弦定理的应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 正弦定理、余弦定理的应用.‎ ‎17、(本小题满分12分)‎ 已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.‎ ‎ (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 ‎(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望)‎ 答案:(Ⅰ) ;(Ⅱ)350.‎ 解析:(Ⅰ)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,则 ‎ ‎(Ⅱ)X的可能取值为:200,300,400,‎ ‎,,‎ ‎。‎ X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P X的分布列为:‎ EX=200×+300×+400×=350.‎ 知识点:概率、随机变量的分布列与期望.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 概率、随机变量的分布列与期望.‎ ‎18、(本小题满分12分)‎ 设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标 ‎(Ⅰ)求数列{xn}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,证明: ‎ 答案:(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明过程见解析.‎ 解析:(Ⅰ)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1) 令y=0,解得切线与x轴的交点的横坐标为;‎ ‎(Ⅱ)证明:由题设和(Ⅰ)中计算结果可知:,当n=1时, ;‎ 当n≥2时, ,‎ 所以;‎ 综上所述,可得对任意的n∈N*,均有.‎ 知识点:曲线的切线方程、数列的通项公式、放缩法证明不等式.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 曲线的切线方程、数列的通项公式、放缩法证明不等式.‎ ‎19、(本小题满分13分)‎ 如图所示,在多面体A1B1D1DCBA,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD,均为正方形,E为B1D1的中点,A1,D,E的平面交CD1于F.‎ ‎ (Ⅰ)证明:EF∥B1C ‎ (Ⅱ)求二面角E-A1D-B1余弦值.‎ 答案:(Ⅰ)证明过程见解析;(Ⅱ) ‎ 解析:(Ⅰ)证明:∵B1C=A1D且A1B1=CD,∴四边形A1B1CD为平行四边形,∴B1C∥A1D;又∵B1C平面A1EFD,∴B1C∥平面A1EFD, 又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF,∴EF∥B1C; (Ⅱ)以A为坐标原点,以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz如图,设边长为2,‎ ‎ ∵AD1⊥平面A1B1CD,∴为平面A1B1CD的一个法向量,设平面A1EFD的一个法向量为,‎ 又∵,,∴ ,‎ 取y=1,,所以,所以二面角E-A1D-B1余弦值为。‎ 知识点:线面平行的判定定理与性质定理、二面角的求解. ‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 线面平行的判定定理与性质定理、二面角的求解.‎ ‎20、(本小题满分13分)‎ 设椭圆E的方程为 ,点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b) ,点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.‎ ‎ (I)求E的离心率e;‎ ‎(II)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ,求E的方程.‎ 答案:(I) ;(II).‎ 解析:(I)由题设条件知,点M的坐标为 ,又 ,从而,进而得,故.‎ ‎(II)由题设条件和(I)的计算结果可得,直线AB的方程为 ,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且 ,从而有 ‎ 解得b=3,所以 ,故椭圆E的方程为.‎ 知识点:椭圆的离心率、椭圆的标准方程、点点关于直线对称的应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 椭圆的离心率、椭圆的标准方程、点点关于直线对称的应用.‎ ‎21、(本小题满分13分)‎ 设函数f(x)=x2-ax+b.‎ ‎ (Ⅰ)讨论函数f(sinx)在 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值;‎ ‎ (Ⅱ)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值D;‎ ‎ (Ⅲ)在(Ⅱ)中,取a0=b0=0,求满足D≤1时的最大值.‎ 答案:(Ⅰ)极小值为;(Ⅱ)D=|a-a0|+|b-b0|; (Ⅲ)1.‎ 解析:(Ⅰ)设t=sinx,在x∈‎ 递增, 即有f(t)=t2-at+b(-1<t<1),=2t-a, ①当a≥2时,≤0,f(t)递减,即f(sinx)递减; 当a≤-2时,≥0,f(t)递增,即f(sinx)递增. 即有a≥2或a≤-2时,不存在极值. ②当-2<a<2时,-1<t<,<0,f(sinx)递减; <t<1,>0,f(sinx)递增.f(sinx)有极小值f()=;‎ ‎(Ⅱ)时,|f(sinx)-f0(sinx)|=|(a-a0)sinx+b-b0|≤|a-a0|+|b-b0| 当(a-a0)(b-b0)≥0时,取x=,等号成立; 当(a-a0)(b-b0)≤0时,取x=-,等号成立. 由此可知,|f(sinx)-f0(sinx)|在上的最大值为D=|a-a0|+|b-b0|. (Ⅲ)D≤1即为|a|+|b|≤1,此时0≤a2≤1,-1≤b≤1,从而 z=≤1,取a=0,b=1,则|a|+|b|≤1,并且z==1. 由此可知,z=满足条件D≤1的最大值为1.‎ 知识点:函数的单调性、极值与最值、绝对值不等式的应用.‎ 关键字:高考真题 金考卷 新高考5年真题汇编 2015年安徽卷 理科试题 函数的单调性、极值与最值、绝对值不等式的应用
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