指数函数及其性质学案
§2.1 指数函数
2.1.2指数函数及其性质
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax (a>0，且a≠1)叫做指数函数．
理解指数函数的定义，需注意的几个问题：
(1)因为a>0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.
(2)规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，
如果a<0，比如y＝(－4)x，这时对于x＝，x＝，…，在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
(3)指数函数解析式的特征：ax的系数是1，a为常量，x为自变量，有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如y＝ax＋1 (a>0，a≠1)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，例如y＝a－x (a>0，a≠1)，因为这可等价化归为y＝x .
2．y＝ax (a>0，a≠1)的图象
图象
0
1
性质
定义域
(－∞，＋∞)
值域
(0，＋∞)
过定点
a>0且a≠1，无论a取何值恒过点(0,1)
各区间取值
当x>0时，01
当x>0时，y>1
当x<0时，0ag(x) (a>0，a≠1)不等式中变量x的取值范围(即比较指数大小)．其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式f(x)>g(x)或f(x)0，
故此函数的值域为(0,1]．
点评 本题中的函数都不是指数函数，但都与指数函数有关．根据指数函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)，结合前一章求函数定义域和值域的方法，可以求解一些简单函数的定义域和值域．在求解中要注意正确运用指数函数的单调性．在求值域问题时，既要考虑指数函数的单调性，还应注意指数函数的值域为(0，＋∞)．
题型二 指数函数的图象
如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．a0，且a≠1)．
解 (1)y＝x在上是减函数，
又－0.1>－0.2，故－0.1<－0.2.
(2)＝－，由y＝x的单调性可得，
－>－，即>－.
(3)由0.8－2>1而－<1，可知0.8－2>－.
(4)当a>1时，aa.
点评 当两个幂函数底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值，此时可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小，而第(2)小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂，可构造指数函数来比较大小．因此，在利用指数函数的性质比较大小时，要注意以下几点：
(1)同底数幂比较大小，可直接根据指数函数的单调性比较；
(2)同指数幂比较大小，可利用作商和指数函数的性质判定商大于1还是小于1，从而得出结论；
(3)既不同底也不同指数幂比较大小，可找中间媒介(通常是1或0)，或用作差法，作商法来比较大小．
题型四 综合应用
已知函数f(x)＝·x3.
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)求证：f(x)>0.
(1)解 由2x－1≠0，得x≠0，
所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(2)解 f(－x)＝·(－x)3
＝－·x3＝·x3＝f(x)，
又因为函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，所以f(x)为偶函数．
(3)证明 当x∈(0，＋∞)时，2x>1，
即2x－1>0，又>0，x3>0，
所以f(x)＝·x3>0，
由于f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，
知当x∈(－∞，0)时，f(x)>0也成立，
故对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(x)>0.
点评
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指数函数是一种具体的初等函数，常与第一章学习的函数单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可，本例在第(3)问中，巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解．
求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．
错解 设3x＝t，则9x＝t2，
∴y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，
∴ymin＝－3，从而y＝9x＋2·3x－2的值域为[－3，＋∞)．
错因分析 若y＝－3，则9x＋2·3x＝－1，显然不成立．错因在于没有注意t＝3x>0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围．
正解 设3x＝t (t>0)，则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3，
∵当t＝0时，y＝－2，
∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．
1．指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一，常在与其他知识的交汇处考查．
2．本节内容在高考中几乎每年都涉及，多以选择题或填空题的形式出现．
1．(山东高考)已知集合M＝{－1,1}，N＝，则M∩N等于( )
A．{－1,1} B．{－1} C．{0} D．{－1,0}
解析 N＝＝{x|－12 B．a<2
C．0y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
答案 D
解析 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，
y3＝－1.5＝21.5.
因为函数y＝2x在实数集上是增函数，
且1.8>1.5>1.44，所以y1>y3>y2.
6．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为( )
答案 C
解析 由00，且a≠1)．
解 当a>1时，原不等式可变为x＋5<4x－1.解得x>2；
当04x－1.解得x<2.
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故当a>1时，原不等式的解集为(2，＋∞)；
当00，函数f(x)＝＋是定义域为实数集R的偶函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(1)解 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(x)＝f(－x)，即＋＝＋，
即3x＋＝0，
＝0，又根据题意，
可得－a＝0，又a>0，所以a＝1.
(2)证明 由(1)知f(x)＝3x＋，
设任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x10，所以3x1＋x2>1，
则1－＝>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
2．指数函数的图象和性质
a>1
00时，y>1；
当x>0时，01
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
一、指数函数定义的应用
例1 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值．
分析 由题目可获取以下主要信息：①函数解析式中ax的系数为a2－3a＋3；②此函数为指数函数．解答本题只需紧扣指数函数的定义．
解 由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
可得，解得，
∴a＝2.
点评 判断一个函数是否为指数函数：
(1)切入点：利用指数函数的定义来判断；
(2)关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x.
变式迁移1 指出下列函数哪些是指数函数？
(1)y＝4x； (2)y＝x4；
(3)y＝－4x; (4)y＝(－4)x；
(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；
(8)y＝(2a－1)x (a>且a≠1)；(9)y＝4－x；(10)y＝42x.
解 (1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数．其中(9)y＝4－x＝x，(10)y＝42x＝(42)x＝16x符合指数函数的定义．而(2)中底数x不是常数，而4不是变数；(3)是－1与指数函数4x的乘积；(4)中底数－4<0，所以不是指数函数；(6)中指数不是自变量x，而是x的函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义．
二、求定义域、值域(最值)
例2 求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝2； (2)y＝－|x|.
解 (1)由x－4≠0，得x≠4.
∴定义域为{x|x∈R且x≠4}．
∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)定义域为R.
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∵|x|≥0，∴y＝－|x|的值域为{y|y≥1}．
点评 求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式，解不等式或不等式组可得定义域．求值域要根据定义域，根据函数的单调性，解答本题可利用换元思想化成指数函数．
变式迁移2 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝3；
(2)y＝ .
解 (1)定义域为[2，＋∞)，
∵≥0，∴y＝3≥1，∴值域为[1，＋∞)．
(2)∵1－x≥0，∴x≤1，即x≥0，
∴函数y＝ 的定义域为[0，＋∞)．
令t＝x，∴01，
所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)1.250.2＝0.8－0.2，
∵0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.8－0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质得
1．70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1.
∴1.70.3>0.93.1.
(4)利用指数函数的单调性知4.54.1>4.53.6，
又∵4.53.6>0,3.73.6>0，∴＝3.6，
∵>1,3.6>1，∴3.6>1，
从而4.53.6>3.73.6，∴4.54.1>3.73.6.
点评 两数比较大小问题，一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问题．对于1.70.3与0.93.1，不能直接看成某一个指数函数的两个值，所以(3)题无法用(1)、(2)两题的方法来进行比较．可在这两个数值之间找到中间量1，使这两个数值分别与数值1进行比较，进而比较出1.70.3与0.93.1的大小．(4)题直接比较有困难，可找中间变量4.53.6.
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变式迁移3 比较，2，3，的大小．
解 将，2，3，分成如下三类：
(1)负数3；
(2)大于0小于1的数；
(3)大于1的数，2.
∵<4，而4＝2，
∴3<<<2.
例4 函数f(x)＝ax (a>0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
分析 解答本题可结合函数单调性，对a进行分类讨论求值．
解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，
最大值为a2，最小值为a.
∴a2－a＝，即a＝或a＝0(舍去).
(2)若00，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值．
解 ∵f(x)＝ax在[1,2]上是单调函数，
∴f(x)在1或2时取得最值．
∴a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3，∵a>0，∴a＝2.
1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．
2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小
(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．
(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．
(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．
3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．
一、选择题
1．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为( )
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A．a<2 B．a>2
C．－10且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)ax
答案 C
解析 ∵y＝(|a|＋2)－x＝x，|a|＋2≥2，
∴0<≤，符合指数函数定义．
3．值域为(0，＋∞)的函数是( )
A．y＝5 B．y＝1－x
C．y＝ D．y＝
答案 B
解析 ∵B中定义域为R,1－x∈R，∴y＝1－x>0.
4．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 B
解析 c<0，b＝53>3,1a>c.
5．函数y＝2－x的图象为( )
答案 A
二、填空题
6．指数函数y＝f(x)的图象经过(π，e)，则f(－π)＝____.
答案
解析 设f(x)＝ax，则aπ＝e，
∴f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝.
7．函数y＝的定义域是____________．
答案 (－∞，2]
解析 由4－2x≥0，得2x≤4，x≤2.
8．若a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则a，b，c的大小关系是______________．
答案 c>a>b
解析 ∵y＝0.8x单调递减，∴1>a>b，
又∵c>1，∴c>a>b.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax2＋3x－4，g(x)＝ax2＋2x－2 (a>0，a≠1)，若f(x)>g(x)，试确定x
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的范围．
解 由f(x)>g(x)得ax2＋3x－4>ax2＋2x－2.
当a>1时，x2＋3x－4>x2＋2x－2，∴x>2；
当01时，x的范围是(2，＋∞)；
当0
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