人教a版数学【选修1-1】作业：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测（b）（含答案）

人教a版数学【选修1-1】作业：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测（b）（含答案）

第二章 章末检测(B) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．中心在原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此 椭圆的方程是( ) A.x2 81 ＋y2 72 ＝1 B.x2 81 ＋y2 9 ＝1 C.x2 81 ＋y2 45 ＝1 D.x2 81 ＋y2 36 ＝1 2．平面内有定点 A、B 及动点 P，设命题甲是“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙是“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设 a≠0，a∈R，则抛物线 y＝ax2 的焦点坐标为( ) A.（a 2 ，0） B．(0, 1 2a) C. （a 4 ，0） D．(0, 1 4a) 4．已知 M(－2,0)，N(2,0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是 ( ) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝4(x≠±2) 5．已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)有两个顶点在直线 x＋2y＝2 上，则此椭圆的焦点坐标是 ( ) A．(± 3，0) B．(0，± 3) C．(± 5，0) D．(0，± 5) 6．设椭圆x2 m2 ＋ y2 m2－1 ＝1 (m>1)上一点 P 到其左焦点的距离为 3，到右焦点的距离为 1， 则椭圆的离心率为( ) A. 2 2 B.1 2 C. 2－1 2 D.3 4 7．已知双曲线的方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1，点 A，B 在双曲线的右支上，线段 AB 经过双曲线 的右焦点 F2，|AB|＝m，F1 为另一焦点，则△ABF1 的周长为( ) A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m 8．已知抛物线 y2＝4x 上的点 P 到抛物线的准线的距离为 d1，到直线 3x－4y＋9＝0 的 距离为 d2，则 d1＋d2 的最小值是( ) A.12 5 B.6 5 C．2 D. 5 5 9．设点 A 为抛物线 y2＝4x 上一点，点 B(1,0)，且|AB|＝1，则 A 的横坐标的值为( ) A．－2 B．0 C．－2 或 0 D．－2 或 2 10．从抛物线 y2＝8x 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且|PM|＝5，设抛物线 的焦点为 F，则△PFM 的面积为( ) A．5 6 B．6 5 C．10 2 D．5 2 11．若直线 y＝kx－2 与抛物线 y2＝8x 交于 A，B 两个不同的点，且 AB 的中点的横坐标 为 2，则 k 等于( ) A．2 或－1 B．－1 C．2 D．1± 5 12．设 F1、F2 分别是双曲线x2 5 －y2 4 ＝1 的左右焦点。若 P 点在双曲线上，且PF1 → ·PF2 → ＝0， |PF1 → ＋PF2 → |等于( ) A．3 B．6 C．1 D．2 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 ____________． 14．已知抛物线 C，y2＝2Px（P>0），过焦点 F 且斜率为 k（k>0）的直线与 C 相交于 A、 B 两点，若AF→ ＝3FB→，则 k＝________. 15．已知抛物线 y2＝2Px（P>0），过点 M（p，0）的直线与抛物线于 A、B 两点，OA→ ·OB→ ＝________. 16．已知过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|＝2，则|BF| ＝________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)求与椭圆x2 9 ＋y2 4 ＝1 有公共焦点，并且离心率为 5 2 的双曲线方程． 18．(12 分)已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x2 4 ＋y2＝1 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点，求 弦 AB 的长． 19.(12 分)已知两个定点 A(－1,0)、B(2,0)，求使∠MBA＝2∠MAB 的点 M 的轨迹方程． 20.（12 分）已知点 A（0，－2），B（0，4），动点 P（x，y）满足PA→·PB→＝y2－8. （1）求动点 P 的轨迹方程； (2)设(1)中所求轨迹与直线 y＝x＋2 交于 C、D 两点．求证：OC⊥OD(O 为原点)． 21.(12 分)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)过点 A(1，－2)． (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程． (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直 线 OA 与 l 的距离等于 5 5 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 22．(12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y＝1 4x2 的焦点，离心率为2 5 5 . (1)求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M，若MA→ ＝ mFA→，MB→ ＝nFB→，求 m＋n 的值． 第二章 圆锥曲线与方程(B) 答案 1．A [2a＝18，∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c＝1 3 ×2a＝6，∴a＝9，c＝3， b2＝a2－c2＝72， 故椭圆的方程为x2 81 ＋y2 72 ＝1.] 2．B [点 P 在线段 AB 上时|PA|＋|PB|是定值，但点 P 轨迹不是椭圆，反之成立，故选 B.] 3．D 4．D [P 在以 MN 为直径的圆上．] 5．A 6．B [2a＝3＋1＝4.∴a＝2， 又∵c＝ m2－m2－1＝1， ∴离心率 e＝c a ＝1 2.] 7．B [∵A，B 在双曲线的右支上，∴|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|＋|AF1| －(|BF2|＋|AF2|)＝4a，|BF1|＋|AF1|＝4a＋m，∴△ABF1 的周长为 4a＋m＋m＝4a＋2m.] 8．A [如图所示过点 F 作 FM 垂直于直线 3x－4y＋9＝0，当 P 点为直线 FM 与抛物线的交 点时，d1＋d2 最小值为|3＋9| 5 ＝12 5 .] 9．B [由题意 B 为抛物线的焦点．令 A 的横坐标为 x0，则|AB|＝x0＋1＝1，∴x0＝0.] 10．A 11．C [由 y＝kx－2 y2＝8x 消去 y 得， k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故Δ＝[－4(k＋2)]2－4k2×4＝64(1＋k)>0， 解得 k>－1，由 x1＋x2＝4k＋2 k2 ＝4， 解得 k＝－1 或 k＝2，又 k>－1，故 k＝2.] 12．B [因为PF1 → ·PF2 → ＝0，所以PF1 → ⊥PF2 → ， 则 |PF1 → |2＋|PF2 → |2＝|F1F2|2＝4c2＝36， 故|PF1 → ＋PF2 → |2＝|PF1 → |2＋2PF1 → ·PF2 → ＋|PF2 → |2＝36，所以|PF1 → ＋PF2 → |＝6.故选 B.] 13. 2 2 或 2－1 解析 设椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，半焦距为 c，当以两锐角顶点为焦点时， 因为三角形为等腰直角三角形，故有 b＝c，此时可求得离心率 e＝c a ＝ c b2＋c2 ＝ c 2c ＝ 2 2 ； 同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时， 设直角边长为 m，故有 2c＝m,2a＝(1＋ 2)m， 所以，离心率 e＝c a ＝2c 2a ＝ m 1＋ 2m ＝ 2－1. 14. 3 解析 设直线 l 为抛物线的准线，过 A，B 分别作 AA1，BB1 垂直于 l，A1，B1 为垂足， 过 B 作 BE 垂直于 AA1 与 E，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，由AF→＝3FB→，∴cos∠BAE＝|AE| |AB| ＝1 2 ， ∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝ 3. 即 k＝ 3. 15．－p2 16．2 解析 设点 A，B 的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有焦点 F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2， x1＝1，直线 AF 的方程是 x＝1，故|BF|＝|AF|＝2. 17．解 由椭圆方程为x2 9 ＋y2 4 ＝1，知长半轴长 a1＝3，短半轴长 b1＝2，焦距的一半 c1＝ a21－b21＝ 5， ∴焦点是 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)，因此双曲线的焦点也是 F1(－ 5，0)，F2( 5，0)， 设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质， 得 c＝ 5 c2＝a2＋b2 c a ＝ 5 2 ，解得 a＝2 b＝1 ， 故所求双曲线的方程为x2 4 －y2＝1. 18．解 设 A、B 的坐标分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)． 由椭圆的方程知 a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F( 3，0)． 直线 l 的方程为 y＝x－ 3. ① 将①代入x2 4 ＋y2＝1，化简整理得 5x2－8 3x＋8＝0， ∴x1＋x2＝8 3 5 ，x1x2＝8 5 ， ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋1 8 3 5 2－4×8 5 ＝8 5. 19．解 设动点 M 的坐标为(x，y)． 设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β， ∴tan α＝tan 2β，则 tan α＝ 2tan β 1－tan2β . ① (1)如图(1)，当点 M 在 x 轴上方时，tan β＝ y x＋1 ，tan α＝ y 2－x ， 将其代入①式并整理得 3x2－y2＝3 (x>0，y>0)； (2)如图(2)，当点 M 在 x 轴的下方时， tan β＝ －y x＋1 ，tan α＝ －y 2－x ， 将其代入①式并整理得 3x2－y2＝3 (x>0，y<0)； (3)当点 M 在 x 轴上时，若满足α＝2β，M 点只能在线段 AB 上运动(端点 A、B 除外)， 只能有α＝β＝0. 综上所述，可知点 M 的轨迹方程为 3x2－y2＝3(右支)或 y＝0 (－10， 设 C、D 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则有 x1＋x2＝2，x1x2＝－4. 而 y1＝x1＋2，y2＝x2＋2， ∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4， ∴kOC·kOD＝y1 x1 ·y2 x2 ＝y1y2 x1x2 ＝－1， ∴OC⊥OD. 21．解 (1)将(1，－2)代入 y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以 p＝2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2＝4x， 其准线方程为 x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线 l， 其方程为 y＝－2x＋t. 由 y＝－2x＋t， y2＝4x 得 y2＋2y－2t＝0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－1 2. 另一方面，由直线 OA 到 l 的距离 d＝ 5 5 可得 |t| 5 ＝ 1 5 ，解得 t＝±1. 因为－1∉[－1 2 ，＋∞)，1∈[－1 2 ，＋∞)， 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0. 22．解 (1)设椭圆 C 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)． 抛物线方程可化为 x2＝4y，其焦点为(0,1)， 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1)，即 b＝1. 由 e＝c a ＝ a2－b2 a2 ＝2 5 5 . 得 a2＝5，所以椭圆 C 的标准方程为x2 5 ＋y2＝1. (2)易求出椭圆 C 的右焦点 F(2,0)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)，代入方程x2 5 ＋y2＝1， 得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. ∴x1＋x2＝ 20k2 1＋5k2 ，x1x2＝20k2－5 1＋5k2 . 又 MA→ ＝(x1，y1－y0)，MB→ ＝(x2，y2－y0)， FA→＝(x1－2，y1)，FB→＝(x2－2，y2)． ∵ MA→ ＝mFA→＝m， MB→ ＝nFB→， ∴m＝ x1 x1－2 ，n＝ x2 x2－2 ， ∴m＋n＝ 2x1x2－2x1＋x2 4－2x1＋x2＋x1x2 ， 又 2x1x2－2(x1＋x2)＝40k2－10－40k2 1＋5k2 ＝－ 10 1＋5k2 ， 4－2(x1＋x2)＋x1x2 ＝4－ 40k2 1＋5k2 ＋20k2－5 1＋5k2 ＝ －1 1＋5k2 ， ∴m＋n＝10.