内蒙古赤峰市2020届高三四月模拟考试理科数学试题附答案

内蒙古赤峰市2020届高三四月模拟考试理科数学试题附答案

理科数学试卷 第 1 页 共 8 页 绝密★启用前 赤峰市高三 4·20 模拟考试试题 理科数学 2020.4 本试卷共 23 题，共 150 分，共 8 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区 域内. 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色字迹的签字笔 书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．已知集合 2{ | +2 3 0}A x x x   ，  1 sin , 0B y y x x    ，则 A B  A. 3,1 B. 0,1 C. 1,2 D. 3,2 2．已知复数 z 满足 0z z  ，且 9z z  ，则 z  A.3 B.3i C. 3i D. 3 3．某个小区住户共 200 户,为调查小区居民的 7 月 份用水量,用分层抽样的方法抽取了50 户进行调 查,得到 本月的用水量(单位:m3)的频率分布直 方图如图所示,则小区内用水量超过15m3 的住户 的户数为 A.140 B.10 C.50 D.60 o 5 10 15 20 25 0.01 0.04 0.05 0.10 用水量 频率/组 理科数学试卷 第 2 页 共 8 页 4．设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，则“ 1 0a  ”是“ 2021 0S  ” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5．设双曲线 C : 2 2 1x ym   的一条渐近线方程为3 2 0x y  ，则 m 的值为 A. 4 9 B. 9 4 C. 3 2 D. 2 3 6．已知 1 22a  ， 1 55b  ， 3log 2c  ，则 a ， b ， c 的大小关系为 A. a b c  B. c b a  C. c a b  D. b a c  7．若实数 x ， y 满足不等式组 0 2 6 3 6 x y x y          ，则 2z x y  的最大值为 A.10 B.8 C. 5 D. 3 8．关于函数 ( ) sin cosf x x x  有下述四个结论： ① ( )f x 是偶函数； ② ( )f x 在区间 ,02     上是单调递增函数； ③ ( )f x 在 R 上的最大值为 2 ； ④ ( )f x 在区间 2 ,2  上有 4 个零点. 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④ 9．设等边 ABC 内接于圆 2 2: 1x y   ，P 是圆  上一点，则 ( )PA PB PC    的最大值是 A. 2 B.1 C. 3 D.2 10．已知椭圆C : 19 2 2 2 2  a y a x ，直线 1l ： 03  mymx 与直线 2l : 03  myx 相 交于点 P ，且 P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为 A. 20 2       ， B. 2 ,12       C. 10, 2      D. 1 ,12      理科数学试卷 第 3 页 共 8 页 11．如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，底面为正三角形，侧棱垂直底面， 4AB  , 1 8AA  . 若 E ，F 分别是棱 1BB ， 1CC 上的点，且 1BE B E ， 1 1 1 4C F CC ，则异面直线 1A E 与 AF 所成角的余弦值为 A. 2 10 B. 26 13 C. 13 13 D. 3 10 12．已知定义在 R 上的可导函数  xf 满足       01 '  xxfxfx ，若   32 exfy  是奇函数，则不等式   02 1  xexxf 的解集是 A.  2, B.  1, C.  ，2 D.  ，1 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．已知非零向量 ,a b   满足 =2b a   ，且 b a a    ，则 a  与b  的夹角为 . 14．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 cba ,, ，若 4cos 5B  ， 12cos 13C  ， 1b  ，则 a  . 15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象 素（防止 OCR），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证 成功后才能使用某项功能。很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络 安 全．在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由 0，1，2，，9 中的 五个数字随机组成。将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验 证码”（例如：如 14532,12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证 码的中间数字是 7 的概率为 . 理科数学试卷 第 4 页 共 8 页 16．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，且有 BD⊥CD，AB＝BD＝2，CD＝1，则此鳖臑的外接球 O （A、B、C、D 均在球 O 表面上)的直径为 ；过 BD 的平面截球 O 所得 截面面积的最小值为 . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答，第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17．（12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AB AD ， =45ADC  ， / /AD BC ， 2 2AD AB  ， ADP 为等边三角形，平面 PAD  底面 ABCD ， E 为 AD 的中点. （1）求证：平面 PBC  平面 PCE ； （2）点 F 在线段 CD 上，且 3= 2 CF FD ， 求平面 PAD 与平面 PBF 所成的锐二面角的余弦值. 18．（12 分） 已知数列 na 和 nb 满足： 1 12, 1a b   ， 1 12n n na a b   ， 1 12n n nb b a   ， , 2n N n   （1）求证：数列 n na b 为等比数列； （2）求数列 1 3n n na a        的前 n 项和 nS . 理科数学试卷 第 5 页 共 8 页 19.（12 分） 为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典， 用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集 中，在某高中学校随机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为 3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7:5，女生中喜欢阅读中国古 典文学和不喜欢的比例是 5:3. （1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与 性别有关系? 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 不喜欢阅读中国古典文学 总计 （2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的的学生进行中国古典文 学阅读交流.实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人 作为代表，这 7 个代表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学.现从 这 7 名代表中任选 3 名男生代表和 2 名女生代表参加座谈会,记 为参加会议的 5 人中喜欢古典文学的人数,求 的分布列及数学期望  E  . 附表及公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ， n a b c d    . 2 0( )P K k 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 理科数学试卷 第 6 页 共 8 页 20.（12 分） 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点   0, 0F c c  关于直线l ： 02  yx 的对 称点为 M ,且 23FM .若点 P 为C 的准线上的任意一点，过点 P 作C 的两条切 线 PBPA, ,其中 BA, 为切点. （1）求抛物线C 的方程； （2）求证：直线 AB 恒过定点,并求 PAB 面积的最小值. 21．（12 分） 已知函数   xxf ln . （1）设     2x xfxg  ，求函数  xg 的单调区间，并证明函数  xg 有唯一零点； （2）若函数    1 xafexh x 在区间 (1,1 )ae 上不单调，证明： 1 1 1 aa a   . 理科数学试卷 第 7 页 共 8 页 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做 的第一题计分. 做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22.（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 2x a t y t      （t 为参数），以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 12 3 sin    . （1）若 2a   ，求曲线C 与l 的交点坐标； （2）过曲线C 上任意一点 P 作与l 夹角为 45o 的直线，交l 于点 A ，且 PA 的最大值 为 10 ，求 a 的值. 理科数学试卷 第 8 页 共 8 页 23.（10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 ( ) 1 2f x x x    . （1）解不等式 1)( xf ； （2）记函数 )(xf 的最大值为 s ，若 ( , , 0)a b c s a b c    ， 证明： 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc   . 理科数学答案 第 1 页 共 1 页 赤峰市高三 4·20 模拟考试试题 理科数学参考答案 2020.4 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1.B ； 2. D； 3.D ； 4.C； 5. A； 6.B； 7.D； 8.C ； 9.D ； 10.A； 11.B ； 12.A． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13． 3  ； 14. 56 39 ； 15. 5 36 ； 16． 3， . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. (12 分) （1）证明： PAD 为等边三角形， E 为 AD 的中点， PE AD∴ 平面 PAD 底面 ABCD，平面 PAD 底面 =ABCD AD ， PE ∴ 底面 ， BC 平面 ， PE BC∴ …………3 分 由又题意可知 ABCE 为正方形， CE BC 又 PE EC E ， BC  平面 PCE ………………………5 分 平面 PBC ， 平面 PBC 平面 PCE ………………………6 分 （2）解：如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,0), (0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0)E A B C (0,1,0), (0,0, 3DP） ，由已知 3 5CF CD   ，得 23( , ,0)55F ……………7 分 23(1, 1, 3), ( , , 3)55PB PF       设平面 PBF 的法向量为 ( , , )n x y z  ，则 理科数学答案 第 2 页 共 2 页 30 23 3055 n PB x y z n PF x y z                令 3z  ，则 24 9,55xy， 24 9 355n   ，， …………………………………………………………9 分 又（1）知平面 PAD 的法向量可取为 (1,0,0)m   ………………………10 分  22 2 24 4 1835cos , 6124 9 355 mn                 …………………11 分 平面 与平面 PBF 所成的锐二面角的余弦值为 4 183 61 . …………12 分 18. (12 分) 解：（1） 1 1 1 1 1 1(2 ) (2 ) 3( )n n n n n n n na b a b b a a b            ………………3 分 ,2n N n   ， 11 =3nn nn ab ab   所以数列 nnab 是以3为首项，以 为公比的等比数列 ……………6 分 （2）由（1）知， =3n nnab ， 1 1 1 1 1 1(2 ) (2 )n n n n n n n na b a b b a a b             nnab为常数列，且 111nna b a b    …………………………8 分 2 3 1n na   ， 31 2 n na  11 +1 3 4 3 1 1=2(3 1)(3 1) 3 1 3 1 nn n n n n nnaa         ……………………10 分 理科数学答案 第 3 页 共 3 页 1 1 1 1 1 1 12 4 10 10 28 3 1 3 1n nnS                          11 1 1 1 22=4 3 1 2 3 1nn    ……………………………………12 分 19. (12 分) 解：（1） 男生 女生 总计 喜欢阅读中国古典文学 42 30 72 不喜欢阅读中国古典文学 30 18 48 总计 72 48 120 …………………………………………………………3 分 2 2 72 48 120 7 (42 18 30 30) =0.208 3.2 48 841K     所以，没有 95%的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系……6 分 （2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为 m ，女生中喜欢古典文学的人数 为 n ，则 =mn  .且 =2 3 4 ，，……………………………………………………7 分     1 2 1 1 2 2 2 1 32 43 1=2 1, 1 ;3 C C C CP P m n CC            2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 3 2 4 3 4 3 1=3 2, 1 1, 2 ;2 C C C C C C CP P m n P m n C C C C              2 1 2 2 2 2 32 43 1=4 2, 2 6 C C CP P m n CC      ……………………………………………………10 分 所以 的分布列为：  2 3 4 P 1 3 1 2 1 6 则   1 1 1 17=2 +3 +4 = .3 2 6 6E     …………………………………12 分 理科数学答案 第 4 页 共 4 页 20.(12 分) 解：（1）依题意 0232 22 cd ，解得 1c  （负根舍去） 抛物线C 的方程为 2 4xy ……………………………………5 分 （2）设点 11( , )A x y , 22( , )B x y ， )1,( tP ，由 2 4xy , 即 21 4yx, 得 y  1 2 x ………………………………………6 分 ∴抛物线C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 )(2 1 1 1 xxxyy  ， 即 2 11 1 2 1 2 xyxxy  ……………………………………7 分 ∵ 2 11 4 1 xy  ， ∴ 1 1 2 yxxy  ，∵点 在切线 PA 上, 1 1 21 ytx  ①，同理， 2 2 21 ytx  ② ……………………………8 分 综合①、②得，点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 的坐标都满足方程 ytx  21 . 即直线 :AB 12  xty 恒过抛物线焦点 (0,1)F ……………………9 分 当 0t 时，此时 )1,0( P ,可知： ABPF  当 0t ，此时直线 PF 直线的斜率为 2 PFk t ，得 ……………10 分 于是 ABPFS PAB  2 1 ，而 4)11()0( 222  ttPF 把直线 代入 2 4xy 中消去 x 得 22(2 ) 1 0y t y    …………11 分 2 21 42 tyyAB  ，即： 2 3 222 )4(2 14)4(2 1 tttS  理科数学答案 第 5 页 共 5 页 当 0t  时， PABS 最小，且最小值为 4…………………………………………12 分 21.（12 分） 解（1）∵函数  xg 的定义域为  ，0 ，由   0ln21 3 '  x xxg ，解得  ex ,0 为 增区间；由   0ln21 3 '  x xxg 解得   ，ex 为减区间……………2 分 下面证明函数只有一个零点：   02 1,01 2      eegeeg ，所以函数在区间  e，0 内有零点，    0,  xgx ，函数在区间  ，e 上没有零点， 故函数只有一个零点 …………………………………………………5 分 （2） 证明：函数      1ln1  xaexafexh xx ，则     1,1 1 1 '   xx aex x aexh x x ……………………………6 分 当 0a 时，   0' xh ，不符合题意；当 0a 时，令 axexm x  )1()( ， 1x ， 则   0 xxexm ，所以 )(xm 在 ,1 上单调增函数，而 0)1( m ，又  xh 区间 (1,1 )ae 上不单调，所以存在 0 (1,1 )axe ，使得  xh' 在 上有一 个零点 0x ，即   00 ' xh ，所以 0)( 0 xm ……………………………8 分 0)()1( 0 11      xmaeaeeem aeea a a a ，即 1 aaeea  两边取自然对数，得1 aa e lna   ，即1 ae lna a   ， 要证 11 1 aaa ，不妨考虑证 1111 ae lnaaa     ……………………10 分 先证明： 1( 0)xe x x   ，令 ( ) 1xn x e x   ，则 ( ) 1 0xn x e    ∴ ()nx 在 (0 )， 上单调递增，即 ( ) (0) 0n x n，∴ 1( 0)xe x x   ① 在①中令 xa ，∴ 1 1 11 11 aa ae a ee a a       ……………………11 分 理科数学答案 第 6 页 共 6 页 令 1lnx a ∴ 1ln 1ln 1ae a，即 1 1 1ln 1 1 ln aa a a     即 111 ln1 aeaaa     ， 11 1 aaa ． ……………………………12 分 22.（10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 解：（1） 2 2 2 2 2 12 , 3 sin 12.3 sin       由 cos sin x y      得 223 4 12,xy  曲线C 的直角坐标方程为 22 143 xy. 当 2a  时，直线l 的普通方程为 2 2 0xy   ……………………………3 分 由 22 2 2 0 143 xy xy     解得 2 0 x y    或 1 3 2 x y   . 从而 与 的交点坐标为  32,0 , 1, 2  .……………………………………5 分 （2）由题意知直线 的普通方程为 20x y a   ， 的参数方程为 2cos 3 sin x y     （ 为参数） 故 上任意一点  2cos , 3 sinP 到 的距离为 4sin2cos 2 3sin 6 55 aa d  ………………………………8 分 则 2 4sin 62sin 45 5 adPA d    . 当 0a  时， PA 的最大值为 24 10 5 a  ，所以 1a  ； 理科数学答案 第 7 页 共 7 页 当 0a  时， PA 的最大值为 24 10 5 a  ，所以 1a  . 综上所述， 1a  或 …………………………………………………………10 分 23.（10 分）选修 4－5：不等式选讲 （1）解： 3, 1 ( ) 2 1, 1 2 3, 2 x f x x x x           ………………………………………………………3 分 当 1x  时， 31恒成立，所 ； 当 12x   时， 2 1 1x即 1x  ，所 11x   ； 当 2x  时，31 显然不成立，所以不合题意； 综上所述，不等式的解集为 ( ,1] ………………………………………………5 分 （2）证明：由(1)知 max( ) 3f x s，于是 3abc   由基本不等式可得 2 2 2 2 2 4 2 222a b b c a b c ab c   （当且仅当 ac 时取等号） 2 2 2 2 2 2 4 222b c c a a b c abc   （当且仅当ba 时取等号） 2 2 2 2 4 2 2 222c a a b a b c a bc   （当且仅当cb 时取等号）………………8 分 上述三式相加可得 2 2 2 2 2 22( ) 2 ( )a b b c c a abc a b c     （当且仅当 abc时取等号） 3abc   ， 2 2 2 2 2 2 3a b b c c a abc    ，故得证………………………10 分