中考数学专题复习练习：二次函数中的三角形问题

中考数学专题复习练习：二次函数中的三角形问题

二次函数中的三角形 一．与三角形面积 例1：如图，已知在同一坐标系中，直线与y轴交于点P，抛物线与x轴交于两点。C是抛物线的顶点。‎ ‎（1）求二次函数的最小值（用含k的代数式表示）；‎ ‎（2）若点A在点B的左侧，且。‎ ‎①当k取何值时，直线通过点B；‎ ‎②是否存在实数k，使？如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。‎ 例2：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若，直线经过点A，与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式；‎ ‎（3）若A点在B点左边，在第一象限内，（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使直线PA平分的面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 例3．已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)。‎ ‎(1)写出A、B、C、D及AD的中点E的坐标；‎ ‎(2)求以E为顶点、对称轴平行于y轴，并且经过点B、C的抛物线的解析式；‎ ‎(3)求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；‎ ‎(4)△PEB的面积S△PEB与△PBC的面积S△PBC具有怎样的关系？证明你的结论。‎ A B C D O E x y ‎(第25题图)‎ 例4.如图1，已知直线与抛物线交于两点．‎ ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）求线段的垂直平分线的解析式；‎ ‎（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．‎ P A 图2‎ 图1‎ 二．与三角形形状 例5. 如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．‎ ‎（1）求抛物线的对称轴；‎ ‎（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；‎ ‎（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．‎ A C B y x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ 例6.如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．‎ ‎（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．‎ ‎（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．‎ ‎（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．‎ ‎（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．‎ 图①‎ ‎1‎ ‎1‎ 图②‎ ‎1‎ ‎1‎ 图③‎ ‎1‎ ‎1‎ 例7. 已知：如图，抛物线经过、、三点．‎ ‎（1）求抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），请求出△CBE的面积S的值；‎ ‎（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并写出点的坐标；‎ x y C B A E ‎–1‎ ‎1‎ O ‎（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．‎ 例8.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．‎ ‎(1)求点B的坐标；‎ A ‎(第25题图)‎ O x B ‎1‎ ‎-1‎ y ‎1‎ ‎(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？‎ 若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，‎ 那么△PAB是否有最大面积？‎ 若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；‎ 若没有，请说明理由．‎ ‎(注意：本题中的结果均保留根号)‎ 三．二次函数与三角形相似 例9：已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，‎ ‎（1）求出A、C两点的坐标；‎ ‎（2）在x轴上找出点B，使∽，若抛物线过A、B、C三点，求出此抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A、B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C、A运动，连结PQ，使，是否存在m的值，使以A、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有m的值；若不存在，请说明理由。‎ 例10.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于两点．‎ ‎（1）求线段的长．‎ ‎（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎（3）如图8，线段的垂直平分线分别交轴、轴于两点，垂足为点，分别求出的长，并验证等式是否成立．‎ 图7‎ 图8‎ 图9‎ ‎（4）如图9，在中，，，垂足为，设，，．，试说明：．‎ 例11.在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．‎ ‎（1）求直线CB的解析式；‎ ‎（2）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上，与x ‎ 轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；‎ ‎（3）试判断点C是否在抛物线上？‎ ‎（4） 在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与 ‎△AOC相似？直接写出两组这样的点．‎ ‎． ‎ 图12‎ 例12.如图12，以边长为的正方形的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线经过点且与直线只有一个公共点．‎ ‎（1）求直线的解析式．（3分）‎ ‎（2）求抛物线的解析式．（3分）‎ ‎（3）若点为（2）中抛物线上一点，过点作轴于点，问是否存在这样的点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（5分）‎ 例13.如图，矩形是矩形（边在轴正半轴上，边在轴正半轴上）绕点逆时针旋转得到的，点在轴的正半轴上，点的坐标为．‎ ‎（1）如果二次函数（）的图象经过，两点且图象顶点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）在（1）中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请求出点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由；‎ 答案：‎ 例1：解：（1）。‎ ‎（2）①解得当时，直线过B；‎ ‎②过C作于D，则，把代入直线，得，∴，。∴，∴。‎ 若，即，∴，即 解得，∴取，∴当时，‎ 此时所求的抛物线的解析式为：‎ 从以上解答中可以看出三角形面积相等作为已知条件的作用是利用三角形的面积公式，再利用同底等高的性质推出线段相等，仅此而已。‎ 例2. 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）如图，假设在第一象限内，抛物线上存在点P，使直线PA平分的面积，则直线PA必过DC的中点M。‎ ‎，∴。令，则，解得。在B的左侧，∴A坐标是（2，0）。设直线PA的解析式为 则解得。‎ ‎∴直线AM的解析式为。方程组的解为。‎ ‎∴点P的坐标为（2，0）（即A点）或。这两点均不在第一象限。∴第一象限内，抛物线上不存在点P，使PA平分的面积。‎ 本题第（3）小题是存在型问题，是结论开放题，应先假设存在，然后在假设的前提下，通过计算说明在第一象限内不存在符合要求的点（求出的点不在第一象限），有一定的难度，主要是这种题型学生不熟悉。‎ 例3.‎ 例4.[解] （1）解：依题意得解之得 ‎ ‎ ‎（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）‎ 图1‎ D M A C B 第26题 Ｅ ‎ 由（1）可知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 过作轴，为垂足 ‎ 由，得：，‎ ‎ 同理： ‎ ‎ 设的解析式为 ‎ ‎ ‎ 的垂直平分线的解析式为：．‎ ‎（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．‎ P A 图2‎ H G B ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 抛物线与直线只有一个交点，‎ ‎ ，‎ ‎ 在直线中，‎ ‎ 设到的距离为，‎ ‎ ‎ ‎ 到的距离等于到的距离．‎ 例5.解：（1）抛物线的对称轴 ‎（2） ‎ 把点坐标代入中，解得 A C B x ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ Ｑ Ｎ Ｍ Ｋ y ‎（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．‎ 设抛物线对称轴与轴交于，与交于．‎ 过点作轴于，易得，，，‎ ① 以为腰且顶角为角的有1个：．‎ 在中，‎ ‎②以为腰且顶角为角的有1个：．‎ 在中，‎ ‎③以为底，顶角为角的有1个，即．‎ 画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．‎ 过点作垂直轴，垂足为，显然．‎ ‎．‎ ‎ 于是 例6.解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，，．‎ ‎（2）设抛物线的函数表达式为， ‎ 点，在抛物线上，‎ 图②‎ 解得 抛物线的函数表达式为．‎ ‎（3），‎ 点的坐标为．‎ 过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，‎ 则，，，，，．‎ ‎．‎ ‎． ‎ 延长交轴于点，设直线的函数表达式为，‎ 点，在直线上，‎ 解得 直线的函数表达式为．‎ 点的坐标为．‎ 设点坐标为，分两种情况：‎ 若点位于点的上方，则．‎ 连结．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，解得．‎ 点的坐标为．‎ 若点位于点的下方，则．‎ 图③‎ 同理可得，．‎ 点的坐标为．‎ ‎（4）作图痕迹如图③所示．‎ 由图③可知，点共有3个可能的位置．‎ 例7.解：（1）∵抛物线经过点、，‎ ‎∴．‎ 又∵抛物线经过点，‎ ‎∴，．‎ ‎∴抛物线的解析式为．‎ ‎（2）∵E点在抛物线上，‎ ‎∴m = 42–4×6+5 = -3．‎ ‎∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， –3），‎ ‎∴ 解得k = -2，b = 5． ‎ 设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，‎ 当y=0时，-2x+5=0，解得x=．‎ ‎∴D点的坐标为（，0）． ‎ ‎∴S=S△BDC + S△BDE ‎=‎ ‎=10．‎ ‎（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，‎ ‎∴点为所求满足条件的点．‎ ‎（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．‎ 理由如下：‎ ‎∵，‎ ‎∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线交于点、、、、、、、，除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点．‎ 例8．解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：‎ OB＝OA=2，∠BOD＝60°‎ 在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠OBD＝30°‎ ‎ ∴OD＝1，DB＝‎ ‎ ∴点B的坐标是（1，）‎ ‎（2）设所求抛物线的解析式为，由已知可得：‎ ‎ 解得：‎ ‎∴所求抛物线解析式为 ‎ ‎（备注：a、b的值各得1分）‎ ‎（3）存在 由 配方后得：‎ ‎∴抛物线的对称轴为 ‎ ‎（也可用顶点坐标公式求出）‎ ‎∵点C在对称轴上，△BOC的周长＝OB+BC+CO；‎ ‎∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，‎ ‎∵点O与点A关于直线对称，有CO=CA ‎△BOC的周长＝OB+BC+CO＝OB+BC+CA ‎∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小。‎ 设直线AB的解析式为，则有：‎ 解得：‎ ‎∴直线AB的解析式为 当时，‎ ‎∴所求点C的坐标为（－1，）‎ ‎（4）设P（），则 ①‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q， PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，则PQ=，PG=，由题意可得：‎ ‎ ‎ ‎＝‎ ‎=‎ ‎＝ ②‎ ‎ 将①代入②，化简得： ‎ ‎＝‎ ‎∴当时，△PAB得面积有最大值，最大面积为。‎ 此时 ‎∴点P的坐标为 例9. 解：（1）。‎ ‎（2）过C点作，交x轴于点B，显然，点B为所求，设∽，∴。‎ ‎∴，∴，设，把C点坐标（0，－12）代入上式，得。‎ ‎∴。‎ ‎（3）分两种情况讨论：①；②。（解略）。结论是：存在或时，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似。‎ 从以上两题可以看出与三角形相似有关的二次函数综合题一般都是三角形相似作为求二次函数的条件来解。‎ 例10. 解：（1） ∴A（-4，-2），B（6，3） ‎ 分别过A、B两点作轴，轴，垂足分别为E、F ‎∴AB=OA+OB ‎ ‎（2）设扇形的半径为，则弧长为，扇形的面积为 ‎ 则 ‎∵‎ ‎∴当时，函数有最大值 ‎ ‎（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E ‎∵CD垂直平分AB，点M为垂足 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴△AEO∽△CMO ‎∴ ∴ ∴‎ 同理可得 ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（4）等式成立．理由如下：‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 例11. 解:（1）方法一：‎ 连结，则．‎ ‎∵ ，∴ OC=．‎ 又 Rt△AOC∽Rt△COB，∴ ． ‎ ‎∴ OB=6． ‎ ‎∴ 点坐标为，点坐标为．‎ ‎　　设直线的解析式为y=kx+b，‎ 可求得直线的解析式为．‎ ‎　　方法二：‎ 连结，则．‎ ‎∵ ，∴ ∠ACO=30 o，∠CAO=60 o． ‎ ‎∴ ∠CBA=30 o． ∴ AB=‎2AC=8． ‎ ‎∴ OB=AB-AO=6． ‎ 以下同证法一．‎ （1） 由题意得，与轴的交点分别为、，抛物线的对称轴过点为直线．‎ ‎∵ 抛物线的顶点在直线上，‎ ‎∴ 抛物线顶点坐标为． ‎ ‎　　设抛物线解析式为，‎ C1‎ ‎∵ 抛物线过点，‎ ‎∴ ，解得．‎ ‎∴ 抛物线的解析式为，‎ 即．‎ ‎（3）点在抛物线上．因为抛物线与轴的交点坐标为，如图．‎ ‎(4) 存在，这三点分别是E、C、F与E、C1、F，C1的坐标为（4，）．‎ 即△ECF∽△AOC、△EC‎1F∽△AOC，如图 例12. 解：（1）直线AB的解析式为：‎ ‎（2）抛物线的解析式为：‎ ‎（3）存在这样的点P，使△PMC∽△ADC，P点的坐标为（0，-1）；（2，1）；‎ ‎（，）；（，）。理由略。‎ 例13.解：（1）连结，‎ 则，‎ ‎，　‎ 解得，，‎ 所求二次函数的解析式为 ‎（2）设存在满足题设条件的点 连结，，，过作轴于 则 ‎，，‎ ‎， 即 在二次函数的图象上 解得或 在对称轴的右支上 ‎ ‎ ‎ 即是所求的点，连结，显然为等腰直角三角形．‎ 为满足条件的点 满足条件的点是或 ‎，‎ 或 ‎（3）设与的交点为 显然 在中 ‎，即 解得，‎ 设边所在直线的解析式为 则 解得，‎ 所求直线解析式为 ‎