中考数学专题复习练习：解直角三角形应用举例

中考数学专题复习练习：解直角三角形应用举例

‎【例】 某灯塔B在观测点A的北30°的方向，船M在灯塔正东方向，且在观测点A的北60°东的方向距A30海里，求若船M在上午11点10分出发，下午1点40分时驶抵灯塔B处，求船的速度（精确到0.1海里）.‎ 分析 只需延长MB，归结为解直角三角形问题来加以解决.‎ 解：延长MB和正北的方向线相交于C，得.在中，有，所以 又，在中，，所以 ‎.‎ 于是，有 ‎.‎ 据题意，船M行驶到B只用时2.5小时，所以，船的速度为 ‎（海里/时）‎ 答：这艘船的速度是6.9海里/时.‎ 说明 由于南北方向线和东西方向线互相垂直.所以航海问题大都能归结为解直角三角形问题；本例由于所给的已知角都是特殊角，所以也可用平面几何图形的性质和勾股定理来解.如设（海里），证 于是，根据勾股定理，有 由于，所以得 ‎.‎ 下同.‎ ‎【例】 某水坝的断面是梯形，上宽（米），底角，坡BC的坡比 ‎，坝高为20米，求坝底的宽（精确到0.1米）.‎ 分析 分别解.‎ 解：在中，有 ‎；‎ 在中，有 ‎∴ ‎ 又，，所以 ‎（米）‎ 答：坝底宽约为41.5米.‎ ‎【例3】 在距山坡脚B100米的测点A测山顶上高压输电铁塔顶端M的仰角为，测底端N的仰角为，求铁塔的高（精确到0.1米，如图）.‎ 分析 和都是直角三角形，且.‎ 解：在中，有 ‎，‎ 在中，有 所以，铁塔的高度为 ‎（米）‎ 说明 应当注意，不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角，也不是俯角.‎ ‎【例】 某直升飞机在我迫击炮阵地M上方测得敌军雷达站P的俯角为15°，在向点P的迎面沿仰角30°的方向飞行，升高100米后再测点P的俯角为30°，分别求原飞行高度和点M到点P的水平距离（）.‎ 分析 据题意，画出图形.如图，仰角，俯角（m）.‎ 解可得AG的长.由于和都没有已知的边长所以都不能独立解出，所以应列方程组求解.‎ 解：在中，，所以 ‎，‎ 设，于是分别在和中，有 消去y，整理，得 把代入②，得 ‎，‎ 于是，有 答：我直升机的原飞行高度为米，炮兵阵地M到P的距离为（）米.‎ 说明 在解题时，首先要准确画图，理解题意，确定可解的直角三角形.如果没有直接可解的三角形，不能用一元方程求解，则应考虑到方程组求解.‎ 典型例题五 例 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角.求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）.‎ 分析：分别在两个直角三角形和中，利用正弦函数的定义，求出和。‎ 解 在中，在中，‎ 说明：本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握。‎ 典型例题六 例 为响应哈尔滨市人民政府“形象胜于生命”的号召，在甲建筑物上从A点到E点挂一长为30m的宣传条幅（如图），在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°，测得条幅度端E点的俯角为30°，求底部不能直接到达的甲、乙两建筑物之间的水平距离BC（答案可带根号）.‎ 分析 解决测量问题：一方面要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术词；另一方面要分清谁是测量者与被测量者.‎ 本考题可过点D作,垂足为F，这时仰角从而有 这便是甲、乙两建筑物之间的水平距离.（解答略）。‎ 典型例题七 例 一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？‎ 分析 要考虑渔船从B处继续向东航行，有没有触礁的危险，关键的一点看BD是否通过以岛C为圆心，10海里长为半径的危险区域内.‎ 可先过C作AB的垂线CD，交AB的延长线于点D，如图所示，然后考察CD的长与半径10海里哪一个大.‎ 事实上，依题意，可算出AB＝10，若设BD＝x，在中，以CD为等量关系建立方程：‎ 解得 这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域.‎ 说明：本题考查解直角三角形的应用，解题关键是作垂线构造直角三角形，易错点是弄不清题意造成错解.‎ 典型例题八 例 (石家庄市,2000) 如图，一条土埂的横断面是等腰梯形ABCD，AB、DC的坡度为1 ：1.4，上底AD的宽为29.3dm，现在土埂的中间挖出一条横断面MGHN仍为等腰梯形的渠道（图中（三）），并把挖出来的土真在土埂两旁（如图中（一）（二）全等的两部分EAMF和PNDQ），加高、加宽渠道，且渠的坡度也是1：1.4，要求渠道下底面宽GH为4dm，挖成后渠道的两侧上沿宽EF和PQ均为3..35dm，渠道的总深度为5dm.‎ 请你设计：在动工时，开始下挖的M点和N点应在土埂上底AD的什么位置？从上底应向下挖的深度为多少dm？‎ ‎（可以用：）‎ 解 依题意：梯形FGHP的面积＝梯形PNDQ的面积，设下挖深度为xdm，则 说明：本题考查坡度的应用，解题关键是依题意列出方程. 易错点是弄不清题意，列错或列不出方程.‎ 典型例题九 例 如图，一勘测人员从点出发，沿坡角为的坡面以5千米/时的速度行至点，用了12分钟，然后沿坡角为的坡面以3千米/时的速度到达山顶点，用了10分钟.求山高（即的长度）及、两点的水平距离（即的长度）（精确到0.01千米）.(=0.2588,,,)‎ 解：过点作于.‎ ‎.‎ 在和，‎ ‎=‎ ‎=（千米）；‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎≈1.44(千米).‎ 答：山高约为0.43千米,山脚到山顶的水平距离约为1.44千米.‎ 典型例题十 例 如图，客轮沿折线——从出发经再到匀速航行，货轮从的中点出发沿直线匀速航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折线——上的某点处.已知海里，，客轮速度是货轮速度的2倍.‎ ‎（1）选择：两船相遇之处在（ ）.‎ ‎（）线段上 （）线段上 ‎（C）可以在线段上，也可以在线段上 ‎（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？（结果保留根号）（2002年南京市中考试题）‎ 解：（1）.‎ ‎（2）设货轮从出发到两船相遇共航行了海里.‎ 过作，垂足为，连结.则.‎ ‎ 在等腰直角三角形中，‎ ‎，是中点，‎ ‎∴ .‎ 在中，，‎ ‎∴ ‎ 解之，得.‎ ‎ 200+，‎ ‎∴ .‎ 答：货轮从出发到两船相遇共航行了（）海里.‎ 典型例题十一 例 (辽宁省试题,2002) 如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，5分钟后，在D处测得着火点B的俯角是15°，求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：）‎ 解：由解可知 过D作于H 在Rt中，‎ ‎ ‎ 在Rt中，‎ ‎ ∴ （米）‎ 答：热气球升空点A与着火点B的距离为米。‎ 典型例题十二 例 (吉林省试题, 2002) 如图，一勘测人员从B点出发，沿坡角为15°的坡面以5千米/时的速度行至D点，用了12分钟，然后沿坡角为20°的坡面以3千米/时的速度到达山顶A点，用了10分钟，求山高（即AC的长度）及A、B两点的水平距离（即BC的长度）（精确到0.01千米）。‎ ‎（，，，）‎ 解：过D点作于F。‎ 在、中，‎ ‎ ‎ ‎ （千米）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （千米）‎ 答：山高约为0.43米，山脚B到山顶的水平距离约为1.44千米。‎ 说明：解答过程“”写成“＝”及答中不写“约”字均不扣分。‎ 填空题 ‎1．如图，在坡角为30°的山顶C上有一座电视塔，在山脚A处测得电视塔顶部B的仰角为45°，斜坡AC的长为400m，则电视塔BC的高为_______m.‎ ‎2．如图，在离铁塔150m的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪器高AD＝1.5m，则铁塔离BC＝________m（结果精确到0.1m）.‎ ‎3．如图，在山顶P测得正东A、B两船的俯角分别是30°和60°，且两船相距200m，则山高PQ＝______________m（结果保留准确值）.‎ ‎4．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两幢楼的高，‎ ‎，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角，测得乙楼底部D的俯角，已知甲楼高AB＝24m，则乙楼高CD＝__________m.‎ ‎5．如图，一铁路路基地的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB＝___________m.‎ ‎6．如图，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需________m（精确到1m）.‎ ‎7．如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30°，向旗杆前进10m，到达D，在D处测得A的仰角为45°，则旗杆的高为_________.‎ ‎8．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼，当国升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_________米（用含根号的式子表示）.‎ 答案：‎ ‎1． 2．88.1 3． 4．32 5．34 6．5.5 7． 8．.‎ 选择题 ‎1．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m， 则树高h的范围是（ ）（取）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．某人沿着倾斜角为的斜坡前进了㎝，那么他上升的高度是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎4．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15m的C处（）测得，则A、B间的距离应为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．如图，在离地面高度5m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（ ）‎ A．10m B． C． D．‎ ‎6．如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏15°方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（ ）‎ A．海里 B．海里 C．7海里 D．14海里 答案：‎ ‎1．B 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 解答题 ‎1．如图，一座厂房的屋架的形状为三角形，倾角A为25°，跨度AB为15米，求中柱CD和上弦AC的长（精确到0.01米）.‎ ‎2．如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1米）.‎ ‎3．如图，已知Rt中，，D为AC上一点，，求AD的长.‎ ‎4．如图，已知中，，求BC的边和的面积（提示：作BC边上的高AD）.‎ ‎5．敌机在高出地面255米的上空飞行，此时从地面的高射炮上测得它的仰角为25°，求高射炮和敌机的距离（精确到1米）.‎ ‎6．有两个建筑AB和CD，都垂直于地面，它们的垂足B，D分别落在一条水平线上，且米，从其中一个较低的建筑物的顶点C测得它到另一个建筑物顶点A的仰角是，到其底部B的俯角是，求这两个建筑的高（精确到1米）.‎ ‎7．某日上午8时半，在灯塔A的东南68.6海里的B处有一只船向正西方向航行，上午11时到达该灯塔的正南C处，求这只船航行的速度（精确到0.1海里/小时）.‎ ‎8．如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度，基面AD宽2m，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽.‎ ‎9．如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD，斜坡BC的坡度为i＝2 ：3，路基高AE为3m，底CD宽12m，求路基顶AB的宽.‎ ‎10．如图，拉水坝的黄断面为梯形ABCD，背水坡的坡比，已知背水坡的长AB＝20m，求背水坡的坡角及拦水坝的高度.‎ ‎11．如图，曲靖市人民在南盘江治理改造过程中，需对一段截面是等腰梯形的河道进行上口扩宽改造，使河道两边的坡度由原来的1：0.5变为1：1，已知河道深7米，河道长90m，试求完成这一工程需挖土多少？（坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度）‎ ‎12．如图，学校测量组在池塘边的A点处测得,再在距离A点10m的C点没得,根据这些数据，你能算出A、B两点间的距离吗？请写出解答过程（精确到0.1m，）‎ ‎13．如图，一只船以每小时16海里的速度自东向西航行，上午8点到达塔P的北偏东30°的A处，10点钟到达灯塔的正北方B处，求这时船到灯塔的距离.‎ ‎14．如图，某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰好在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离（结果不取近似值）‎ ‎15．如图，数学老师指导学生测量旗杆AB的高度，可以在地面上与AB垂直的直线上选取C、D两点，在C处测得旗杆顶的仰角，沿CB方向向前走6米到达D处，又测得旗杆顶的仰角,求出旗杆的高AB（不取近似值，旗杆底座与测倾器高度相同）.‎ ‎16．某型号飞机的机翼形状如图所示，AB//CD，根据图中数据计算AC、BC和CD的长度（精确到0.1米，）‎ ‎17．如图，一起重机的机身高21m，吊杆AB长36m，吊杆与水平线的夹角可从30°升到80°，求起重机起吊的最大高度（吊钩本身的长度和所挂重物的高度忽略不计）和当起重机位置不变时使用的最大水平距离（精确到0.1米，.）‎ ‎18．如图，河对岸有高层建筑物AB，为测量其高度，在C御，由点D用测量仪测得顶端A的仰角为30°；向高层建筑物前进50m，到达处，由点测得顶端A的仰角为45°，已知测量仪器，求高层建筑物AB的高（取1.732）.‎ ‎19．已知：如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A 的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？‎ ‎20．在河滩上修一条高为2m的防洪堤是横断面如图所示的梯形ABCD，其中AD//BC,迎水坡AB的坡比是1：0.8，背水坡CD的坡角，如果梯形上底宽AD＝30m.‎ 求：（1）下底宽BC；‎ ‎（2）如果这条防洪堤长100m，修这条防洪堤需要多少土石方？（结果不取近似值）‎ ‎21．如图，是某一公路路基的设计简图，等腰梯形ABCD表示它的横断面，原计划设计的坡角为，坡长AD＝6.5m，现考虑到在短期内车流量会增加，需增加路面宽度，故改变设计方案，将图中一、二两块分别补到上部三、四的位置，使横断面EFGH仍新设计后，路面宽将增加多少？（可选用）‎ 答案:‎ ‎1—2．略.3．.4．5．603米.6．45米，12米.7．（海里/小时）.‎ ‎8．(m).9．AB=3m 10．坡角30°，坝高10m 11．过B作于G2205（） 12． 13．海里 14． 15． 16．AC=7.1,BD＝5.8，CD≈3.4 17． 56.5m，31.2m 18．69.5 19．不会 20．（1）4.6＋ （2）7600＋2000 21．路面增宽2m.‎