- 2021-04-16 发布 |
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文档介绍
中考数学专题复习练习:二次根式教材分析
第二十一章《二次根式》教材分析 二次根式 一、知识网络归纳: 最简二次根式 概 念 *同类二次根式 *有理化因式 性 质 二次根式 加减法:合并同类二次根式 乘法: 混合运算 运 算 除法: 应用 二、本章地位与作用 承上启下的作用,与前面学过的实数、整式两章有非常紧密的联系,二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充;二次根式的概念、性质、化简与运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的基础. 三、中考考试要求及本章内容在近年中考中所占分值: 基 本 要 求 略 高 要 求 二次根式及其性质 了解二次根式的概念,会确定二次根式有意义的条件 会利用二次根式的性质进行化简;能根据二次根式的性质对代数式做简单变形,在特定条件下确定字母的值 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加减乘除运算法则 会进行二次根式的化简,会进行二次根式的混合运算(不要求分母有理化) 四、关注几个问题 1.(1)教材中有代数式的概念,但没有同类二次根式的概念和分母有理化的概念; (2)教材中去掉了对的化简; (3)教材中去掉了复杂的混合运算; (4)教材中没有二次根式比大小的问题. 2.教学难度的降低 教材中删去了复杂的混合运算和的化简,从而降低了教学难度,将难点放在正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。 五、教学建议 (一)加强与实际的联系,突出二次根式的数学本质 例1.①在交通事故的处理中,交通警察往往用公式来判断该车是否超速,其中 表示车速(单位km/s),表示刹车后车轮划过的距离(单位:),表示摩擦系数;某日,在一段限速60km/s的公路上,发生了一起两车追尾的事故,警察赶到后,经过测量,得出其中一辆车的,,请问该车超速了吗?(,该车超速) ②某人用一架不等臂天平称一块铁的质量,把铁块放在天平左盘时,称得它的质 量为300克;把铁块放在天平右盘时,称得它的质量为90 克,利用所学知识,求这块铁的实际质量.(约520克) ③我们人体含有多少脂肪才算适当?据科学研究表明,可以利用身体的体重(,单位:千克)和身高(,单位:米)来计算身体脂耪水平,也称为身体质量指数(BMI).计算公式是BMI=,而且男性的BMI指数范围是24~27,如果一位男生体重是70千克,身体脂肪属于正常,那么请你估计他的身高大约在哪个范围内?(精确到0.01米)() ④有一块如图所示的大理石板,请你把它切成三块,然后拼成一个 正方形的桌面. ⑤如图,将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm 和10cm的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长 度是 cm. (二)加强知识间的纵向联系,充分理解概念与性质 1.关于二次根式的概念,要注意以下几点: (1)从形式上看,二次根式是以根号“”表示的代数式,这里的开方运算是最后一步运算.如等不是二次根式,而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算; (2)当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时,虽然最后运算不是开方而是乘法,但为了方便起见,我们把它看作一个整体仍叫做二次根式,而前面与其相乘的有理数或有理式就叫做二次根式的系数; (3)二次根式的被开方数,可以是某个确定的非负实数,也可以是某个代数式表示的数,但其中所含字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数; (4)象“”等虽然可以进行开方运算,但它们仍属于二次根式。 2.二次根式的主要性质: (1); (2); (3); (4) 积的算术平方根的性质:; (5) 商的算术平方根的性质:;(6)若,则. 3.注意与的逆用. 4.注意本章知识与已学过知识的综合. 例2.在实数范围内分解因式: (1) (2) (3) o (4) (5) (6) 例3.右图是直线:(、是常数)的图象, 化简: 例4.如果把表示成,,表示成, 求:的值. 例5.如图,数轴上A、B两点表示的数分别为1和,点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数是( ) A. B. C. D. (三)注意对教材中的小贴士的处理: 1. 最简二次根式的概念中,学生对于“开得尽方的因数或因式”不容易理解, 教材在 p.11及p.13两次出现同一个小贴士解释开得尽方的因数或因式:可以开方后移到根 号外的因数或因式. 2. 小贴士中有对于运算结果有明确的规定:教材p.13: “在二次根式的运算中,最后结果一般要求分母中不含二次根式”. 3. 对于二次根式的运算, 教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算的联系: 教材p.17: “在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立”; 教材p.20: “在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用”. (四)加强运算能力,培养学生的观察能力、灵活的运算能力及估算能力 1.二次根式的乘除运算:二次根式相乘除,把被开方数相乘除,根指数不变. (1)加大学生的探索空间,由特殊到一般,理解二次根式乘除运算法则的合理性; (2)根据教学内容逐步明确运算结果的要求,不断归纳运算结果应满足的两个要求: ①应为最简二次根式(包括两个条件)或有理式; ②分母中不含根号. (3)注意让学生知道每一步运算的算理; (4)注意公式的推广: . 2.二次根式的加减运算:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式 进行合并. (1)用实例引入,体现研究二次根式 (2)可补充同类二次根式的概念. (3)二次根式的加减运算需要先化为最简二次根式,再类比整式加减运算中的合并同类 项,明确二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式. 3.二次根式的混合运算 (1) 明确整式的运算顺序、运算法则、公式和运算律在二次根式的运算中同样适用, 教学中要注意本章内容与“整式”中相关内容的联系,使学生的学习形成正迁移.在讲述实例时与整式的相关运算类比: 例6.先将化简,然后自选一个合适的值代入求值. 例7.如果,那么=_____. 例8.(08,宁波)若实数满足,则的值是 . (2)控制运算的难度. 4. 掌控学生易错的环节,及时分析错因,不断巩固提高. 例.下列根式化简是否正确?如果不正确,请你把正确的答案写下来: (1) (2) (3) (4) ※5.分母有理化:将分母中的根号化去,分数值不变,叫做分母有理化. (1)常用的二次根式的有理化因式: ①与互为有理化因式; ②与、与互为有理化因式; ③与、与互为有理化因式. (2) 在进行分母有理化时,应先将二次根式尽量化简;在找有理化因式时,找分母最简有理化因式;计算或化简的结果应化为最简形式。 6.教会学生运算的技巧. 例9. 计算:① ; ② ; ③ . 例10. 化简: 例11.化简 7.精讲多练,为后续学习打基础,二次根式的加、减、乘、除运算是后续学习解直角三角形、一元二次方程和二次函数的重要基础。 (五)重视二次根式的化简 1.二次根式的化简是本章的主要内容之一,掌握化简的方法需要进行一定的训练; 2. 二次根式的化简求值问题, 要考虑字母取值的化简, 二次根式的化简, 二次根式的 适当变形, 整体代入等多方面因素, 要先观察算式,选择合适的方法使运算简化. 例12. ①已知: , , 求x2 - xy + y2 的值 ②已知: , 求: (1) 的值; (2) 的值 ③已知: x + y = -3, xy = 2, 求的值 ④已知 , 求的值. ⑤已知++= , 求x、y、z的值. ⑥已知x= , y= , 求的值. ⑦已知 , 求的值. (六)适当补充二次根式比大小的内容: 1. 引导学生总结常用的比较大小的方法 两个实数a,b比较大小,一般有“比”与“较”两种方法: ①将两个实数相除(比):若,当b>0时,则a>b;当b<0时,则a查看更多