2021版高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-5随机变量及其概率分布课件苏教版

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第五节　 随机变量及其概率分布 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 随机变量 X 的概率分布 (1) 概率分布列 : 一般地 , 假定随机变量 X 有 n 个不同的取值 , 它们分别是 x 1 ,x 2 ,…,x n , 且 P(X=x i )= __,i=1,2,3,…,n,① 则称①为随机变量 X 的 ___________, 简称为 X 的分布列 . p i 概率分布列 (2) 概率分布表 : X x 1 x 2 … x n P p 1 p 2 … p n 通常将上表称为随机变量 X 的 ___________. 随机变量 X 的概率分布列、概率分布表都叫做随机变量 X 的概率分布 . (3) 分布列的两点性质 : ①p i ___0(i=1,2,…,n); ②p 1 +p 2 +…+p n =__. 概率分布表 ≥ 1 2.0 - 1 分布 ( 或两点分布 ) 随机变量 X 只取两个可能值 0 和 1, 这一类概率分布称为 0 - 1 分布或两点分布 , 并 记为 _______ 分布或 ________ 分布 , 此处“～”表示 _____. X ～ 0 - 1 X ～两点 服从 3. 超几何分布 (1) 概念 : 一般地 , 若一个随机变量 X 的分布列为 P(X=r)= ________ , 其中 r=0,1,2,3,…, l , l =min(n,M), 则称 X 服从超几何分布 . (2) 记法 :X 服从超几何分布 , 记为 X ～ _________, 并将 P(X=r)=_________ 记为 ___________. (3) 含义 :H(r;n,M,N) 中 ,r,n,M,N 的含义 H(n,M,N) H(r;n,M,N) 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 抛掷均匀硬币一次 , 出现正面的次数是随机变量 . ( 　　 ) (2) 小明住在石家庄 , 工作在北京 , 已知石家庄到北京的高铁每 20 分钟一班 , 则小 明到达石家庄高铁车站需要等候的时间 X 是离散型随机变量 . ( 　　 ) (3) 某人射击时命中的概率为 0.5, 此人射击三次命中的次数 X 服从两点分布 . ( 　　 ) (4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 名 , 其中女演员的人数 X 服从超几何分布 . ( 　　 ) (5) 离散型随机变量的分布列中 , 随机变量取各个值的概率之和可以小于 1. ( 　　 ) (6) 离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. 正面向上的次数为 0,1, 所以是随机变量 . (2)×. 等候时间 X 不是离散型随机变量 , 因为 X 可以是 [0,20] 内的任何一个实数 . (3)×. 命中的次数 X 的取值是 0,1,2,3, 有 4 个数 , 而两点分布只有 0,1, 所以 X 不服从两点分布 . (4)√.X 的值为 0,1,2,3, 符合超几何分布的特征 . (5)×. 取各个值的概率之和为 1. (6)√. 取各个值时的事件两两互斥 , 它们的并集是必然事件 . 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 辨别离散型随机变量时出错 考点一、 T1 2 应用分布列的性质时出错 考点一、 T2 3 求分布列、超几何分布等计算概率出错 考点一、 T4 考点二、例 2 4 两点分布的概念理解错误 考点二、例 1 5 交汇问题中计算出错 考点三、 角度 1,2,3 【 教材 · 基础自测 】 1.( 选修 2-3 P49 例 1 改编 ) 设 X 是一个离散型随机变量 , 其分布列为 : 则 q 的值为 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 X -1 0 1 P 2q 2 【 解析 】 选 B. 由分布列的性质知 2q 2 + -3q+ =1, 解得 q=1 或 q= , 又因为 2q 2 <1,0< <1, 所以舍去 q=1, 所以 q= . 2.( 选修 2-3 P51 例 3 改编 ) 设随机变量 X 的概率分布列为 则 P(|X-3|=1)=________.  X 1 2 3 4 P m 【 解析 】 由 解得 m= ,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4) = 答案 : 3.( 选修 2-3 P55 练习 T2 改编 ) 某项大型赛事 , 需要从高校选拔青年志愿者 , 某大学学生实践中心积极参与 , 从 8 名学生会干部 ( 其中男生 5 名 , 女生 3 名 ) 中选 3 名参加志愿者服务活动 . 若所选 3 名学生中的女生人数为 X, 求 X 的分布列 . 【 解析 】 因为 8 名学生会干部中有 5 名男生 ,3 名女生 , 所以 X 的分布列服从参数为 N=8,M=3,n=3 的超几何分布 . X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 其中 P(X=i)= (i=0,1,2,3), 则 P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = . 所以 X 的分布 列为 X 0 1 2 3 P 思想方法　离散型随机变量及其分布列中的分类与整合思想  【 典例 】 在一个盒子中 , 放有标号分别为 1,2,3 的三张卡片 , 现从这个盒子中 , 有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x,y, 记 X=|x-2|+|y-x|. (1) 求随机变量 X 的最大值 , 并求事件“ X 取得最大值”的概率 . (2) 求随机变量 X 的分布列 . 【 解析 】 (1) 由题意知 ,x,y 可能的取值为 1,2,3, 则 |x-2|≤1,|y-x|≤2, 所以 X≤3, 且当 x=1,y=3 或 x=3,y=1 时 ,X=3. 因此 , 随机变量 X 的最大值为 3. 有放回地抽两张卡片的所有情况有 3×3=9( 种 ), 所以 P(X=3)= , 故随机变量 X 的最大值为 3, 事件“ X 取得最大值”的概率 为 . (2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 当 X=0 时 , 只有 x=2,y=2 这一种情况 ; 当 X=1 时 , 有 x=1,y=1 或 x=2,y=1 或 x=2,y=3 或 x=3,y=3 四种情况 ; 当 X=2 时 , 有 x=1,y=2 或 x=3,y=2 两种情况 ; 当 X=3 时 , 有 x=1,y=3 或 x=3,y=1 两种情况 . 所以 P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= , P(X=3)= . 所以 X 的分布列为 : X 0 1 2 3 P 【 思想方法指导 】 分类与整合思想是将较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题 , 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 . 解决有关离散型随机变量的分布列问题时 , 要注意以下几点 : (1) 仔细审题 , 明确随机变量的所有可能取值及其对应事件 , 做到不重不漏、分类互斥 . (2) 求事件概率时注意互斥事件和对立事件概率公式的应用 . 【 迁移应用 】 自 2013 年 10 月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来 , 我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系 . 某公司为了扩大生产规模 , 欲在海上丝绸之路经济带 ( 南线 ): 泉州 — 福州 — 广州 — 海口 — 北海 ( 广西 )— 河内 — 吉隆坡 — 雅加达 — 科伦坡 — 加尔各答 — 内罗毕 — 雅典 — 威尼斯的 13 个城市中选择 3 个城市建设自己的工业厂房 , 根据这 13 个城市的需求量生产产品 , 并将其销往这 13 个城市 . (1) 求所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率 . (2) 已知每间工业厂房的月产量为 10 万件 , 若一间厂房正常生产 , 则每月可获得 利润 100 万 ; 若一间厂房闲置 , 则该厂房每月亏损 50 万 . 该公司为了确定建设工 业厂房的数目 n, 统计了近 5 年来这 13 个城市中该产品的月需求量数据 , 得如下 频数分布表 : 月需求量 ( 单位 : 万件 ) 100 110 120 130 月份数 6 24 18 12 若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率 , 设该产品每月的总利润为 Y, 分别求出该公司建设工业厂房的数目 n=11,n=12,n=13 时 ,Y 的分布列 . 【 解析 】 (1) 记事件 A 为“该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内” , 则 P(A)= , 所以该公司所选的 3 个城市中至少有 1 个在国内的概率 为 . (2)① 当 n=11 时 , 月需求量为 100 万件时 , 月产量为 10×11 万件 , 所以只需要 10 间厂房正常生产 , 每月获利 10×100 万 =1 000 万 , 另外一间闲置 , 亏损 50 万 , 所以月总利润为 1 000-50=950 万 , 此时对应的概率为 =0.1, 同理 P(Y=1 100)=0.9. Y 的分布列为 : Y 950 1 100 P 0.1 0.9 ② 当 n=12 时 ,Y 的分布列为 : ③ 当 n=13 时 ,Y 的分布列为 : Y 900 1 050 1 200 P 0.1 0.4 0.5 Y 850 1 000 1 150 1 300 P 0.1 0.4 0.3 0.2