高考数学一轮复习练案64第九章计数原理概率随机变量及其分布第三讲二项式定理含解析

高考数学一轮复习练案64第九章计数原理概率随机变量及其分布第三讲二项式定理含解析

‎ [练案64]第三讲　二项式定理 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．(2020·郑州模拟)(－)9的展开式中的常数项为(　D　)‎ A．64　 B．－64　‎ C．84　 D．－84‎ ‎[解析]　(－)9的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·()9－r·(－)r＝(－1)r·C·x，由＝0，得r＝3，∴(－)9的展开式中的常数项为T4＝(－1)3×C＝－84.故选D.‎ ‎2．(2020·河北保定期末)(3x－)6的展开式中，有理项共有(　D　)‎ A．1项　 B．2项　‎ C．3项　 D．4项 ‎[解析]　(3x－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·(－1)r·36－r·x6－r，令6－r为整数，求得r＝0,2,4,6，共计4项．‎ ‎3．(2019·甘肃张掖诊断)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　D　)‎ A．212　 B．211　‎ C．210　 D．29‎ ‎[解析]　已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得C＝C，可得n＝3＋7＝10.(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为：×210＝29.故选D.‎ ‎4．(2020·广州调研)(x－)9的展开式中x3的系数为(　A　)‎ A．－　 B．－　‎ C．　 D． ‎[解析]　二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－r(－)r＝(－)rCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，展开式中x3的系数为(－)‎3C＝－.故选A.‎ ‎5．(2019·烟台模拟)已知(x3＋)n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7‎ - 5 -‎ 的系数为(　B　)‎ A．5　 B．40　‎ C．20　 D．10‎ ‎[解析]　由(x3＋)n的展开式的各项系数和为243，令x＝1得3n＝243，即n＝5，∴(x3＋)n＝(x3＋)5，则Tr＋1＝C·(x3)5－r·()r＝2r·C·x15－4r，令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中x7的系数为22×C＝40.‎ ‎6．(ax＋)(2x－1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　C　)‎ A．－20　 B．－10　‎ C．10　 D．20‎ ‎[解析]　令x＝1，可得a＋1＝2，所以a＝1，所以(ax＋)(2x－1)5＝(x＋)(2x－1)5，则展开式中常数项为(2x－1)5展开式中x项的系数，即‎2C(－1)4＝10.‎ ‎7．(2019·内蒙古包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　B　)‎ A．1　 B．243　‎ C．121　 D．122‎ ‎[解析]　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①‎ 令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②‎ ‎①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，‎ 即a4＋a2＋a0＝－121.‎ ‎①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，‎ 即a5＋a3＋a1＝122.‎ 所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B.‎ ‎8．(2019·广州测试)使(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　B　)‎ A．4　 B．5　‎ C．6　 D．7‎ ‎[解析]　Tr＋1＝C(3x)n－r·x－r＝C·3n－r·xn－(r＝0,1,2，…，n)，若Tr＋1是常数项，则有n－r＝0，即2n＝5r(r＝0,1，…，n)，当r＝0,1时，n＝0，，不满足条件：当r＝2时，n＝5，故选B.‎ ‎9．(2020·四川省联合诊断)(1－x3)(1－x)9的展开式中x4的系数为(　B　)‎ A．124　 B．135　‎ - 5 -‎ C．615　 D．625‎ ‎[解析]　(1－x)9的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－x)r，故所求x4项的系数为C－(－1)C＝135.故选B.‎ 二、多选题 ‎10．若(－x)n展开式中含有x2项，则n的值可以是(　BD　)‎ A．15　 B．8　‎ C．7　 D．3‎ ‎[解析]　注意到二项式(－x)n的展开式的通项是Tr＋1＝C·()n－r·(－x)r＝C·(－1)r·xr－n.令r－n＝2，即r＝有正整数解；又2与5互质，因此n＋2必是5的倍数，即n＋2＝5k，n＝5k－2，故选BD.‎ ‎11．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的值可以是(　ABC　)‎ A．4　 B．5　‎ C．6　 D．7‎ ‎[解析]　由二项式定理知an＝C(n＝1,2,3，…，n)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项．∴a6＝C，则k的最大值为6.故选ABC.‎ 三、填空题 ‎12．(2018·天津高考)在(x－)5的展开式中，x2的系数为　　.‎ ‎[解析]　(x－)5的展开式的通项为 Tr＋1＝Cx5－r(－)r＝(－)rCx5－.‎ 令5－＝2，可得r＝2.‎ 所以(x－)5的展开式中的x2的系数为(－)‎2C＝.‎ ‎13．(2020·河南八校重点高中联盟联考)已知(2x－1)(x＋a)6的展开式中x5的系数为24，则a＝　1或－　.‎ ‎[解析]　根据题意，(x＋a)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－rar，其中当r＝1时，有T2＝Cx‎5a，当r＝2时，有T3＝Cx‎4a2，则(2x－1)(x＋a)6的展开式中x5的系数为－Ca＋‎2Ca2＝－‎6a＋‎30a2，则有－‎6a＋‎30a2＝24，可得‎5a2－a－4＝0，∴(a－1)(‎5a＋4)＝0，∴a＝1或a＝－.‎ - 5 -‎ ‎14．(2020·广东省东莞市期末)若(3＋ax)(1＋x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为__64__.(用数字作答)‎ ‎[解析]　由题意得‎3C＋a＝13，∴a＝1.令x＝1得(3＋ax)(1＋x)4的展开式中各项系数和为(3＋1)(1＋1)4＝64.‎ ‎15．(2019·陕西西安模拟)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝__180__.‎ ‎[解析]　令1－x＝t，则x＝1－t，‎ ‎∴(2－t)10＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a10t10，‎ 由Tr＋1＝C210－r(－t)r知r＝8时，‎ a8＝‎22C(－1)8＝180.‎ B组能力提升 ‎1．(2019·浙江，13)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是　16　，系数为有理数的项的个数是__5__.‎ ‎[解析]　(＋x)9展开式的通项Tr＋1＝C()9－rxr＝C·2·xr(r＝0,1,2，…，9)，令r＝0，得常数项T1＝C·2·x0＝2＝16，要使系数为有理数，则只需∈Z，则r必为奇数，满足条件的r有1,3,5,7,9，共五种，故系数为有理数的项的个数是5.‎ ‎2．(2020·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)(2－x)·(1＋2x)5展开式中，含x2项的系数为__70__.‎ ‎[解析]　(1＋2x)5展开式的通项公式为：‎ Tk＋1＝C(2x)k＝2k·C·xk，‎ 故所求x2项的系数为2×‎22C－‎2C＝70.‎ ‎3．(2019·上海普陀区二模)502 019＋1被7除后的余数为__2__.‎ ‎[解析]　502 019＋1＝(1＋72)2019＋1＝1＋C·72＋C·74＋…＋C74 038＋1＝‎72C＋C74＋…＋C74 038＋2.故余数为2.‎ ‎4．(2019·吉林实验中学月考)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋‎2a2＋‎3a3＋‎4a4＋‎5a5＝__10__.‎ ‎[解析]　等式两边求导得10(2x－3)4＝a1＋‎2a2x＋‎3a3x2＋‎4a4x3＋‎5a5x4，‎ 令x＝1得a1＋‎2a2＋‎3a3＋‎4a4＋‎5a5＝10(2－3)4＝10.‎ ‎5．(2020·广东茂名联考)在(＋x)6(1＋)6的展开式中，项的系数为(　C　)‎ A．200　 B．180　‎ C．150　 D．120‎ - 5 -‎ ‎[解析]　(＋x)6展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－rxr＝Cx，令＝4，得r＝2，则T3＝Cx＝15x4.‎ ‎(1＋)5展开式的通项公式为Tr＋1＝C()r＝Cy－r，令r＝2可得T3＝Cy－2＝10y－2.故项的系数为15×10＝150.‎ ‎6．(2019·衡水模拟)S＝C＋C＋…＋C除以9的余数为(　B　)‎ A．8　 B．7　‎ C．6　 D．5‎ ‎[解析]　依题意S＝C＋C＋…＋C＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C×99－C×98＋…＋C×9－C－1＝9(C×98－C×97＋…＋C)－2.∵C×98－C×97＋…＋C是正整数，∴S被9除的余数为7.‎ ‎7．(2020·河北省邢台市期末)(x＋y－－)4的展开式中的常数项为(　A　)‎ A．36　 B．－36　‎ C．48　 D．－48‎ ‎[解析]　∵(x＋y－－)4＝(x＋y－)4＝(x＋y)4(1－)4，∴(x＋y－－)4的展开式中的常数项为C×C＝36.‎ ‎8．(2019·江西重点中学联考)若多项式(2x＋3y)n展开式仅在第5项的二项式系数最大，则多项式(x2＋－4)n－4展开式中x2的系数为(　A　)‎ A．－304　 B．304　‎ C．－208　 D．208‎ ‎[解析]　多项式(2x＋3y)n展开式仅在第5项的二项式系数最大，故n＝8，多项式(x2＋－4)4展开式中x2的系数为C·(－4)3＋C·C·(－4)＝－256－48＝－304，故选A.‎ - 5 -‎