高考数学计数原理概率与统计理平行性测试卷

高考数学计数原理概率与统计理平行性测试卷

‎《计数原理、概率与统计（理）》平行性测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来1 534石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约(　　)‎ A．134石　　　B．169石 C．268石 D．338石 ‎（2）某校在2016年的中学数学挑战赛中有1 000人参加考试，数学考试成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的考生人数约为(　　)‎ A．200 B．400 C．600 D．800‎ ‎（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(　　)‎ A．56 B．60 C．120 D．140‎ ‎（4）将1,2,3，…，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，‎ 填写空格的方法有(　　)‎ A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 ‎（5）已知甲、乙两名同学在五次数学单元测验中得分如下：‎ 学生甲 ‎68‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎69‎ ‎71‎ 学生乙 ‎69‎ ‎72‎ ‎68‎ ‎73‎ ‎68‎ 则甲、乙两名同学数学成绩(　　)‎ A．甲比乙稳定 B．甲、乙稳定程度相同 ‎ C．乙比甲稳定 D．甲平均分比乙低 ‎（6）如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛一枚幸运 小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为(　　)‎ A.． B． C． D． ‎（7）已知数据的平均数为，数据的平均数为，且，若，的平均数，当时，的大小关系为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎（8）在7的展开式中的x3的系数为(　　)‎ A．210 B．－210 C．－910 D．280‎ ‎（9）某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为(　　)‎ A．117 B．118C．118.5 D．119.5‎ ‎（10）某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为( 　)‎ A． B． C． D． ‎（11）已知（），设 展开式的二项式系数和为，（），与的大小关系是( 　)‎ A． B．‎ C．为奇数时，，为偶数时， D．‎ ‎（12）甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎（13）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)如图所示：‎ ‎13‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎14‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为人．‎ ‎（14）有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若表示取到次品的件数，则．‎ ‎（15）某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为η，若η的均值E(η)>，则p的取值范围是________．‎ ‎（16）已知等式x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝(x＋1)4＋b1(x＋1)3＋b2(x＋1)2＋b3(x＋1)＋b4，定义映射f：(a1，a2，a3，a4)→(b1，b2，b3，b4)，则f(4,3,2,1)＝____________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；‎ ‎(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 某中学将100名髙一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”,每班50人.陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考试后,陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析,画出频率分布直方图（如下图）.记成绩不低于90分者为“成绩优秀”‎ ‎(I)从乙班随机抽取2名学生的成绩,记“成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望； (II)根据频率分布直方图填写下面2 x2列联表,并判断是否有95％的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.‎ 甲班（A方式）‎ 乙班(B方式）‎ 总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：‎ ‎(I)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；‎ ‎(II)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分．用随机变量X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和均值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．‎ ‎(I)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；‎ ‎(II)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．‎ ‎(I)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；‎ ‎(II)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和均值．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为 W ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量．‎ ‎(I)求Z的分布列和均值；‎ ‎(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率．‎ ‎《计数原理、概率与统计（理）》平行性测试卷参考答案 一、选择题:‎ ‎（1）B．[解析]设这批米内夹谷约为x石，‎ 根据随机抽样事件的概率得＝，得x≈169.‎ ‎（2）A. 【解析】依题意得P(70≤ξ≤110)＝0.6，‎ P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，‎ 于是此次数学考试成绩不低于110分的考生约有 ‎0．2×1 000＝200(人)．‎ ‎（3）D 【解析】设所求人数为N，则N＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140.‎ ‎ (4) A 　【解析】分为三个步骤：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎9‎ 第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法．‎ 第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法．‎ 第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法．‎ 根据分步乘法计数原理，有1×2×3＝6(种)填写空格的方法．‎ ‎(5)A【解析】先比较二者的平均数得甲与乙的平均数相等都是70，再比较二者的方差，经计算得甲的方差是2，，乙的方差是4．4，故甲的稳定．‎ ‎(6) B【解析】直角三角形的较短边长为3，则较长边长为5，所以小正方形边长为2，面积为4，所以向大正方形内抛一枚幸运小花朵时，‎ 小花朵落在小正方形内的概率为＝.‎ ‎(7)B【解析】‎ ‎(8) C【解析】由于7表示7个因式的乘积，在这7个因式中，有2个取－x2，有一个取，其余的因式都取1，即可得到含x3的项；或者在这7个因式中，有3个取－x2，有3个取，剩余的一个因式取1，即可得到含x3的项．故含x3的项为C×C×2×C－C×C×23＝210－1 120＝－910.‎ ‎（9）B【解析】22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.‎ ‎（10）B　[解析] 第一次摸出新球记为事件A，则P(A)＝，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝＝.‎ ‎（11）C【解析】令得，令得 ‎，所以， 所以当为偶数时，，当为奇数时，.‎ ‎(12)C【解析】甲共得6条，乙共得6条，共有6×6＝36(对)，其中垂直的有10对，∴P＝＝.‎ 二、填空题:‎ ‎(13) 4[解析] 根据茎叶图中的数据，得成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×＝4(人).‎ ‎ (14)【解析】由已知的所有可能取值为：0，1，2；则 所以．‎ ‎(15) 【解析】由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，则E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又p∈(0，1)，所以p∈.‎ (16) ‎(0，－3,4，－1)【解析】因为x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4＝[(x＋1)－1]4＋a1[(x＋1)－1]3＋a2[(x＋1)－1]2＋a3[(x＋1)－1]＋a4，‎ 所以f(4,3,2,1)＝[(x＋1)－1]4＋4[(x＋1)－1]3＋3[(x＋1)－1]2＋2[(x＋1)－1]＋1，‎ 所以b1＝C(－1)＋4C＝0，b2＝C(－1)2＋4C(－1)＋3C＝－3，b3＝4，b4＝－1.‎ 三、解答题:‎ ‎(17)解：(1)由题意，作散点图如图．‎ ‎....................3分 ‎ ‎(2)由对照数据，计算得xiyi＝66.5，‎ x＝32＋42＋52＋62＝86，‎ ＝4.5，＝3.5，‎ ＝＝＝0.7，‎ ＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，‎ 所以回归方程为＝0.7x＋0.35...................................8分 ‎ ‎(3)当x＝100时，‎ y＝100×0.7＋0.35＝70.35(吨标准煤)，‎ 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低90－70.35＝19.65(吨标准煤)．..................................10分 ‎ ‎(18)解：（I）由频率分布直方图可得“成绩优秀”的人数为4.‎ 的可能值为 0,1,2. .................................................1分 ‎ ‎，，‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ...............................................................7分 所以，.......... .....8分 ‎（II）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4、46.‎ 甲班 ‎(A方式)‎ 乙班 ‎(A方式)‎ 总计 成绩优秀 ‎12‎ ‎4‎ ‎16‎ 成绩不优秀 ‎38‎ ‎46‎ ‎84‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎...................10分 根据列联表中数据，‎ 由于4.762>3.481，所以有95%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.....12分 ‎(19)解：(I)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x，‎ ‎∵0.20×1＝0.20<0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6>0.5；‎ ‎∴x∈[4，5]．‎ 由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，‎ ‎∴该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．..........5分 ‎(II)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为p＝，‎ 随机变量X的所有可能取值为－4，－2，0，2，4. ...................6分 P(X＝－4)＝＝，‎ P (X＝－2)＝C＝，‎ P (X＝0)＝C＝，‎ P (X＝2)＝C＝，‎ P (X＝4)＝＝，‎ X的分布列为：‎ X ‎－4‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎....................10分 E(X)＝(－4)×＋(－2)×＋0×＋2×＋4×＝...........12分 ‎(20)解：(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数列．‎ 设此数列为{an}，则易知a1＝40，an＝10n＋30，‎ 所以Sn＝＝300.‎ 解得n＝5或n＝－12(舍去)，所以总决赛共比赛了5场．………4分 则前4场比赛的比分必为1∶3，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C＝.‎ 所以总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率为.………6分 ‎(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.‎ P(X＝220)＝2×＝，‎ P (X＝300)＝C＝，‎ P (X＝390)＝C＝，‎ P (X＝490)＝C＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎220‎ ‎300‎ ‎390‎ ‎490‎ P ‎………9分 所以X的均值为E(X)＝220×＋300×＋390×＋490×＝377.5(万元). ………12分 ‎(21)解：(I)学生甲的平均成绩x甲＝＝82，‎ 学生乙的平均成绩x乙＝＝82，‎ 又s＝×[(68-82)2＋(76-82)2＋(79-82)2＋(86-82)2＋(88-82)2＋(95-82)2]＝77，‎ s＝×[(71-82)2＋(75-82)2＋(82-82)2＋(84-82)2＋(86-82)2＋(94-82)2]＝，‎ 则x甲＝x乙，s>s，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．....................6分 ‎(II)随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P (ξ＝2)＝＝，...............9分 则ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 所以均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.....................12分 ‎(22)解：(I)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，‎ 则有(*)‎ 目标函数为z＝1 000x＋1 200y. ....................4分 将z＝1 000x＋1 200y变形为l：y＝－x＋，‎ 设l0：y＝－x.‎ 当W＝12时，(*)表示的平面区域如图①阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0)．‎ 平移直线l0知当直线l过点B，‎ 即当x＝2.4，y＝4.8时，z取最大值，‎ 故最大获利Z＝zmax＝2.4×1 000＋4.8×1 200＝8 160(元)．‎ 当W＝15时，(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)．‎ 平移直线l0知当直线l过点B，‎ 即当x＝3，y＝6时，z取得最大值．‎ 故最大获利Z＝zmax＝3×1 000＋6×1 200＝10 200(元)．‎ 当W＝18时，(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)．‎ 平移直线l0知当直线l过点C，即当x＝6，y＝4时，z取得最大值，‎ 故最大获利Z＝zmax＝6×1 000＋4×1 200＝10 800(元)．....................8分 故最大获利Z的分布列为 Z ‎8 160‎ ‎10 200‎ ‎10 800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ 因此，E(Z)＝8 160×0.3＋10 200×0.5＋10 800×0.2＝9 708. ...............10分 ‎(II)由(I)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1＝P(Z>10 000)＝0.5＋0.2＝0.7，‎ 由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为P＝1－(1－p1)3＝1－0.33＝0.973. ....................12分 ‎《计数原理、概率与统计（理）》形成性测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为 ‎（A）10 （B）9 （C）8 （D）7‎ ‎（2）某校高一（）班共有人，如图是该班期中考试数学成绩的频率分布直方图，则成绩在内的学生人数为 ‎130‎ ‎0．010‎ ‎0．015‎ a ‎0．030‎ ‎0．005‎ O ‎80‎ ‎110‎ ‎140‎ 频率/组距 分数 ‎120‎ ‎90‎ ‎100 ‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（3）用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）‎ 不同色，则不同的涂色方式种数为 ‎（A）24 （B）36 （C）72 （D）84‎ ‎（4）已知样本的平均数是，标准差是，则值为 ‎（A）８　（B）32（C）60 （D）80‎ ‎（5）设随机变量服从，则的值是 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎（6）若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与 圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为(　　)‎ ‎ （A） （B） ‎ （C） （D） ‎（7）某同学做了10道选择题，每道题四个选项中有且只有一项是正确的，他每道题都随意地从中选了一个答案，记该同学至少答对9道题的概率为P，则下列数据中与P的值最接近的是 ‎（A）3×10－4（B）3×10－5（C）3×10－6（D）3×10－7‎ ‎（8） 设两个正态分布和的密度函数图象如图所示.则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（9）设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，则 展开式中系数最大的项是(　　)‎ ‎ （A）15x2 （B）20x3‎ ‎ （C）21x3 （D）35x3‎ ‎（10）现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有不同的选法 ‎（A）756种 （B） 56种 （C）28种 （D）255种 ‎（11）甲乙两人各自在300米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是多少（ ）．‎ ‎（A） （B）（C） （D）‎ ‎（12）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰 好在Ω2内的概率为(　　)‎ ‎ （A） （B） ‎ （C） （D） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎（13）是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，下图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是．‎ ‎（14）在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝.‎ ‎（15）欧阳修《卖油翁）中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为4 cm的圆，中间有边长为l cm的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为0．2 cm的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是．‎ ‎（16）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134等），若，且a，b，c互不相同，则这个三位数为”有缘数”的概率是．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生次考试的成绩．‎ ‎88‎ ‎83‎ ‎117‎ ‎92‎ ‎108‎ ‎100‎ ‎112‎ 物理 ‎94‎ ‎91‎ ‎108‎ ‎96‎ ‎104‎ ‎101‎ ‎106‎ ‎（I）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的理由；‎ ‎（II）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到分，请你估计他的数学成绩大约是多少？ ‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 靖国神社是日本军国主义的象征.中国人民珍爱和平，所以要坚决反对日本军国主义.‎ ‎ 2013年12月26日日本首相安倍晋三悍然参拜靖国神社，此举在世界各国激起舆论的批评.某报的环球舆情调查中心对中国大陆七个代表性城市的1000个普通民众展开民意调查. 某城市调查体统计结果如下表：‎ ‎　　      ‎ 性别 中国政府是否 需要在钓鱼岛和其他争议 问题上持续对日强硬 男 女 需要 ‎50‎ ‎250‎ 不需要 ‎100‎ ‎150‎ ‎(Ⅰ) 试估计这七个代表性城市的普通民众中，认为 “中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬” 的民众所占比例；‎ ‎(Ⅱ) 能否有以上的把握认为这七个代表性城市的普通民众的民意与性别有关？‎ ‎(Ⅲ) 从被调查认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬” 的民众中，采用分层抽样的方式抽取6人做进一步的问卷调查，然后在这6人中用简单随机抽样方法抽取2人进行电视专访，记被抽到的2人中女性的人数为，求的分布列.‎ ‎ 附： ,‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 图甲 ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过一晚的抽查，共查出酒后驾车者60名，图甲是用酒精测试仪对这60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．‎ ‎（I）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，图乙的程序框图是对这60名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计，求出图乙输出的S值，并说明S的统计意义；（图乙中数据与分别表示图甲中各组的组中值及频率） ‎ ‎（II）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70－90的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70－90范围的酒后驾车者中随机抽出2人抽血检验，为吴、李两位先生被抽中的人数，求的分布列，并求吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率；‎ ‎（III）很多人在喝酒后通过喝茶降解体内酒精浓度，但李时珍就曾指出酒后喝茶伤肾. 为研究长期酒后喝茶与肾损伤是否有关，某科研机构采集了统计数据如下表，请你从条件概率的角度给出判断结果，并说明理由.‎ 没有肾损伤 有肾损伤 长期酒后喝茶 ‎2099‎ ‎49‎ 酒后不喝茶 ‎7775‎ ‎42‎ 图乙 ‎（20）（本小题满分12分）‎ 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎ (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表： ‎ 学生生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ 乙班 ‎4‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎（I）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；‎ ‎（II）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作和，试求和的分布列和数学期望．‎ ‎《计数原理、概率与统计（理）》形成性测试卷参考答案 一、选择题 ‎（1）B【解析】抽取比例为 ‎（2）B【解析】根据频率分布直方图的性质有：，解得：，所以成绩在内的人数为：．‎ ‎（3）D【解析】选两色有种，一色选择对角有种选法，共计种；选三色有种，其中一色重复有种选法，该色选择对角有种选法，另两色选位有种，共计 种；四色全用有种（因为固定位置），合计种．‎ ‎（4）Ｃ【解析】‎ ‎（5）A【解析】由得 ‎（6）B　[解析] 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d＝＝≤ ，解得－1≤a≤3.又a∈[－5,5]，故所求概率为＝.‎ ‎（7）B　[解析] P＝C·9×＋C·10＝30×10＋10＝31×10＝31×2＝31×2≈31×(10－3)2＝31×10－6＝3×10－5.‎ ‎（8）A　[解析] 由正态分布N(μ，σ2)的性质知，x＝μ为正态分布密度函数图像的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图像越高瘦，故σ1<σ2.‎ ‎（9）B【解析】∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，‎ 令x＝0，得a0＝1.‎ 令x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，‎ ‎∴n＝6，‎ 又(1＋x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，‎ ‎∴(1＋x)6的展开式系数最大项为T4＝Cx3＝20x3.‎ ‎（10）D【解析】分三类进行：第一类，从高一抽1人，高二抽1人，有种不同的选法；‎ 第二类，从高二抽1人，高三抽1人，有种不同的选法；‎ 第三类，从高一抽1人，高三抽1人，有种不同的选法；由分类计数原理知共种不同选法；‎ ‎（11）B【解析】设甲乙两人各自跑和米，则，若满足题意即，如图 则，所以，所以选B．‎ ‎（12）D【解析】区域Ω1为直角△AOB及其内部，其面积S△AOB＝×2×2＝2.区域Ω2是直线x＋y＝1和x＋y＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P＝＝＝.故选D.‎ 二、填空题 ‎（13）甲 [解析]  根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06‎ 和0.07之间，数据分布比较稳定，而乙地的数据分布比较分散，‎ 不如甲地数据集中，故甲地的方差小.‎ ‎（14）120[解析] 题意可得f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C＋CC＋CC＋C＝20＋60＋36＋4＝120.‎ ‎（15）【解析】油滴（设油滴是直径为0．2 cm的球），所以油滴的球心必须落在边长为的正方形边界或其内部（如图中红色的正方形），而随机向铜钱上滴一滴油且油滴整体落在铜钱上即油滴的球心必须落在以铜钱的中心为球心以为半径的圆上或内部（如图中红色的小圆）.故由几何概型概率计算公式得 ‎.‎ ‎（16）【解析】由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；‎ 同理由1，2，4组成的三位自然数共6个；‎ 由1，3，4组成的三位自然数也是6个；‎ 由2，3，4组成的三位自然数也是6个．‎ 所以共有6＋6＋6＋6＝24个．‎ 由1，2，3组成的三位自然数，共6个”有缘数”．‎ 由1，3，4组成的三位自然数，共6个”有缘数”．‎ 所以三位数为”有缘数”的概率．‎ 三、解答题 ‎(17)解:（I）； ‎ ‎； …………………2分 ‎，，…………………4分 从而，所以物理成绩更稳定．…………………6分 ‎（II）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到 ‎，…………………8分 线性回归方程为．‎ 当时，．………………10分 ‎（18） 解：(Ⅰ) 由题意知道：，‎ 则在这七个代表性城市的普通民众中，认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬” 的民众所占的比例大约为. ………………4分 ‎(Ⅱ) 提出假设：这七个代表性城市普通民众的民意与性别无关由数表知: ‎ 则有以上的把握认为这七个代表性城市普通民众的民意与性别有关. ………………7分 ‎(Ⅲ) 设抽取的6人中男性有人，女性有6人，则得，所以 6人中男性有1人，女性有5人,‎ 则随机变量的所有可能取值为1,2,‎ ‎, ,‎ 则随机变量的分布列如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎………………12分 ‎（19） 解：（I）由图乙知输出的=‎ ‎＝47（mg/100ml），‎ S的统计意义为60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值. 3分 ‎（II）酒精浓度属于70－90的范围的人数为 取值为0，1，2，，，‎ 的分布列如下： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率． ………………8分 ‎（III）判断结果：长期酒后喝茶与肾损伤有关. ‎ 在长期酒后喝茶的条件下有肾损伤的概率为 在酒后不喝茶的条件下有肾损伤的概率为 若“酒后喝茶与肾损伤”无关，则，但与相差较多，所以应该有关. ………………12分 ‎(20)解：(1)由已知得，小明中奖的概率为、小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，‎ 则事件A的对立事件为“X＝5”，‎ 因为P(X＝5)＝×＝，‎ 所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.……………5分 ‎(2)法一：设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．‎ 由已知可得，X1～B，X2～B，‎ 所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，‎ 因此E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.…………10分 因为E(2X1)>E(3X2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．……………12分 法二：设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：‎ Y1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P Y2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P ‎∴E(Y1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(Y2)＝0×＋3×＋6×＝，…………10分 因为E(Y1)>E(Y2)，‎ 所以二人都选择方案甲抽奖，累计得分的数学期望较大．……………12分 ‎(21)解：(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.……………5分 ‎(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，…………9分 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 因此，X的数学期望为 E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.……………12分 ‎(22)解：（I）两个班数据的平均值都为7，‎ 甲班的方差，‎ 乙班的方差，‎ 因为，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定．4分 ‎（II）可能取0，1，2‎ ‎，，，所以分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎ ……………………………………. 6分 数学期望. ……………… 8分 可能取0，1，2‎ ‎，，，‎ 所以分布列为： ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎……………………………………….. 10分 数学期望． …………….12分