2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 微专题6　三角函数中的最值问题

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 微专题6　三角函数中的最值问题

第五章　三角函数 三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合 应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另 一方面可转化为所熟知的函数最值问题. 一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题 例1　函数f(x)＝3sin x＋4cos x，x∈[0，π]的值域为________.[－4,5] ∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ. 当x＋φ＝π＋φ时， f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4. ∴f(x)的值域为[－4,5]. 反思 感悟 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对 最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低 点的取值来确定函数的最值. 二、可化为y＝f(sin x)型的值域问题 例2　函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为 √ 解析　y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1. 设t＝sin x，则－1≤t≤1， 所以原函数可以化为 反思 感悟 可化为y＝f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的 最值或值域. 三、含sin x±cos x，sin xcos x的最值问题 例3　求函数y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域. 解　令t＝sin x＋cos x，则有 反思 感悟 通常采用换元的方法，令sin x±cos x＝t，将sin xcos x转化为关于t的解析 式，利用二次函数求最值，但要注意换元后变量的取值范围. 四、函数图象平移距离的最小值 例4　将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将 它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为 √ 解析　伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)， 反思 感悟 函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移 后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解 中确定其最小值. 五、ω的最值 综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6. 反思 感悟 根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围. 本课结束