2020高中数学 第一章组合与组合数公式

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2020高中数学 第一章组合与组合数公式

第1课时 组合与组合数公式 学习目标:1.理解组合与组合数的概念.(重点)2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.(重点)3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(难点、易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.组合的概念 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.‎ 思考:怎样理解组合,它与排列有何区别?‎ ‎[提示] (1)组合要求n个元素是不同的,被取的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.‎ ‎(2)取出的m个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合的特点.‎ ‎(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合问题.‎ ‎2.组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.‎ 思考:如何理解组合与组合数这两个概念?‎ ‎[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.‎ ‎3.组合数公式及其性质 ‎(1)公式:C==.‎ ‎(2)性质:C=C_,C+C=C.‎ ‎(3)规定:C=1.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (  )‎ ‎(2)从a1,a2,a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合,所有组合的个数为C. (  )‎ ‎(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法是组合问题. (  )‎ 7‎ ‎(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名,有3种不同的选法. (  )‎ ‎(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念,有多少种送法是排列问题. (  )‎ ‎[解析] (1)√ 因为只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.‎ ‎(2)√ 由组合数的定义可知正确.‎ ‎(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇,这是排列问题.‎ ‎(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有:甲乙,甲丙,乙丙,共3个组合,即有3种不同选法.‎ ‎(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序,故该问题是组合问题.‎ ‎[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×‎ ‎2.若C=28,则n=(  ) ‎ ‎【导学号:95032046】‎ A.9         B.8‎ C.7 D.6‎ B [C==28,解得n=8.]‎ ‎3.甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是________.‎ ‎3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同,同距离两地票价相同,故该问题为组合问题,不同票价的种数为C==3.]‎ ‎4.C=________,C=________. ‎ ‎【导学号:95032047】‎ ‎15 18 [C==15,C=C=18.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 组合的概念 ‎ (1)判断下列问题是组合问题还是排列问题:‎ ‎①设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的子集中含有3个元素的有多少个?‎ ‎②某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票?多少种票价?‎ ‎③2018年元旦期间,某班10名同学互送贺年卡,表示新年的祝福,贺年卡共有多少张?‎ ‎(2)已知A,B,C,D,E五个元素,写出每次取出3个元素的所有组合. ‎ ‎【导学号:95032048】‎ 7‎ ‎[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题,只需确定取出的元素是否与顺序有关.‎ ‎[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.‎ ‎②因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站,与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.‎ ‎③甲写给乙贺卡,与乙写给甲贺卡是不同的,所以与顺序有关,是排列问题.‎ ‎(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出,即 所以所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1.区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,而无顺序就是组合问题.而要判定它是否有顺序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.‎ ‎2.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来,如本题的作法,这样做直观、明了、清楚,以防重复和遗漏.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题:‎ ‎①把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?‎ ‎②从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?‎ ‎③从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法?‎ ‎(2)已知a,b,c,d这四个元素,写出每次取出2个元素的所有组合.‎ ‎[解] (1)①是组合问题.由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.‎ ‎②是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的.‎ ‎③是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.‎ ‎(2)可按a→b→c→d顺序写出,即 所以所有组合为ab,ac,ad,bc,bd,cd.‎ 7‎ 组合数公式的应用 ‎ (1)计算C-C·A;‎ ‎(2)计算C+C. ‎ ‎【导学号:95032049】‎ ‎[思路探究] 解答此类问题要恰当选择组合数公式,并注意使用组合数公式的隐含条件.‎ ‎[解] (1)原式=-·(3×2×1)=210-210=0.‎ 当n=4时,原式=C+C=5,‎ 当n=5时,原式=C+C=16.‎ ‎[规律方法]‎ ‎1.在具体选择公式时,要根据原题的特点,一般地,公式C=常用于n为具体数的数目,偏向于组合数的计算,公式C=常用于n为字母的题目,偏向于解不等式或证明恒等式.‎ ‎2.解题时,一定不要忘记组合数的意义.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.求值:C+C.‎ ‎[解] 由组合数的公式的性质,‎ 解得n=6.‎ 所以,原式=C+C ‎=C+C ‎=12+19=31.‎ 组合数的性质应用 ‎[探究问题]‎ 7‎ ‎1.试用两种方法求:从a,b,c,d,e 5人中选出3人参加数学竞赛,2人参加英语竞赛,共有多少种选法?你有什么发现?你能得到一般结论吗?‎ ‎[提示] 法一:从5人中选出3人参加数学竞赛,剩余2人参加英语竞赛,共C==10(种)选法.‎ 法二:从5人中选出2人参加英语竞赛,剩余3人参加数学竞赛,共C==10(种)不同选法.‎ 经求解发现C=C.推广到一般结论有C=C.‎ ‎2.从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛,共有多少种选法?‎ ‎[提示] 共有C==210(种)选法.‎ ‎3.在探究2中,若队长必须参加,有多少种选法?若队长不能参加有多少种选法?由探究2、3,你发现什么结论?你能推广到一般结论吗?‎ ‎[提示] 若队长必须参加,共C=126(种)选法.若队长不能参加,共C=84(种)选法.‎ 由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类,由分类加法计数原理可得:C=C+C.‎ 一般地:C=C+C.‎ ‎ (1)计算:C+C+C=________;‎ ‎(2)若C>C,则n的取值集合是________. ‎ ‎【导学号:95032050】‎ ‎[思路探究] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式.‎ ‎(1)5 050 (2){6,7,8,9} [(1)C+C+C=C+C=C=C==5 050.‎ ‎(2)由C>C,得>,所以n2-9n-10<0,得-1
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