高二数学人教a必修5练习：第一章解三角形章末复习课word版含解析
第一章 章末复习课
课时目标
1．掌握正弦定理、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际
问题．
一、选择题
1．在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B 等于( )
A．45°或 135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
答案 C
解析 sin B＝b·sin A
a
＝ 2
2
，且 b
sin Asin B，则△ABC 是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 cos Acos B>sin Asin B⇔cos(A＋B)>0，
∴A＋B<90°，∴C>90°，C 为钝角．
3．已知△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则 k 的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C.
－1
2
，0 D.
1
2
，＋∞
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，
c＝2mk(m>0)，
∵ a＋b>c
a＋c>b
即 m2k＋1>2mk
3mk>mk＋1
，∴k>1
2.
4．如图所示，D、C、B 三点在地面同一直线上，DC＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰
角分别是β、α(β<α)．则 A 点离地面的高 AB 等于( )
A.asin αsin β
sinα－β B.asin αsin β
cosα－β
C.asin αcos β
sinα－β D.acos αcos β
cosα－β
答案 A
解析 设 AB＝h，则 AD＝ h
sin α
，
在△ACD 中，∵∠CAD＝α－β，∴ CD
sinα－β
＝ AD
sin β.
∴ a
sinα－β
＝ h
sin αsin β
，∴h＝asin αsin β
sinα－β .
5．在△ABC 中，A＝60°，AC＝16，面积为 220 3，那么 BC 的长度为( )
A．25 B．51 C．49 3 D．49
答案 D
解析 S△ABC＝1
2AC·AB·sin 60°＝1
2
×16×AB× 3
2
＝220 3，∴AB＝55.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×55×1
2
＝2 401.
∴BC＝49.
6．(2010·天津)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2＝ 3bc，
sin C＝2 3sin B，则 A 等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由 sin C＝2 3sin B，根据正弦定理，得
c＝2 3b，把它代入 a2－b2＝ 3bc 得
a2－b2＝6b2，即 a2＝7b2.
由余弦定理，得 cos A＝b2＋c2－a2
2bc
＝b2＋12b2－7b2
2b·2 3b
＝ 6b2
4 3b2
＝ 3
2 .
又∵0°1，不合题意．∴设夹角为θ，则 cos θ＝－3
5
，
得 sin θ＝4
5
，∴S＝1
2
×3×5×4
5
＝6 (cm2)．
8．在△ABC 中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝ 3，则 a
sin A
＝____________.
答案 2 39
3
解析 由 S＝1
2bcsin A＝1
2
×1×c× 3
2
＝ 3，∴c＝4.
∴a＝ b2＋c2－2bccos A＝ 12＋42－2×1×4cos 60°
＝ 13.
∴ a
sin A
＝ 13
sin 60°
＝2 39
3 .
9．在△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则 x 的取值范围是
______________．
答案 2n＋2，∴n＝2.
∴cos θ＝4＋9－16
2×2×3
＝－1
4.
(2)设此平行四边形的一边长为 a，则夹θ角的另一边长为 4－a，平行四边形的面积为：
S＝a(4－a)·sin θ＝ 15
4 (4a－a2)＝ 15
4
[－(a－2)2＋4]≤ 15.
当且仅当 a＝2 时，Smax＝ 15.
能力提升
13．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos 2C＝－1
4.
(1)求 sin C 的值；
(2)当 a＝2,2sin A＝sin C 时，求 b 及 c 的长．
解 (1)∵cos 2C＝1－2sin2C＝－1
4
，00)，
解得 b＝ 6或 2 6，
∴ b＝ 6，
c＝4
或 b＝2 6，
c＝4.
14．如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，
∠BCD＝135°，求 BC 的长．
解 设 BD＝x，在△ABD 中，由余弦定理有
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，
即 142＝x2＋102－20xcos 60°，
∴x2－10x－96＝0，∴x＝16(x＝－6 舍去)，
即 BD＝16.
在△BCD 中，由正弦定理 BC
sin∠CDB
＝ BD
sin∠BCD
，
∴BC＝16sin 30°
sin 135°
＝8 2.
1．在解三角形时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，要注意恰当的选取定理，
简化运算过程．
2．应用正、余弦定理解应用题时，要注意先画出平面几何图形或立体图形，再转化为
解三角形问题求解，即先建立数学模型，再求解．
