上海市黄浦区中考数学二模试卷含解析

上海市黄浦区中考数学二模试卷含解析

‎2017年上海市黄浦区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎1．单项式4xy2z3的次数是（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎2．下列方程中，无实数解的是（　　）‎ A．2+x=0 B．2﹣x=‎0 ‎C．2x=0 D． =0‎ ‎3．下列各组数据中，平均数和中位数相等的是（　　）‎ A．1，2，3，4，5 B．1，3，4，5，‎6 ‎C．1，2，4，5，6 D．1，2，3，5，6‎ ‎4．二次函数y=﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（　　）‎ A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）‎ ‎5．以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为（　　）‎ A．4 B．‎2 ‎C． D．‎ ‎6．已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为1，⊙B的半径为6，则⊙A与⊙B的位置关系是（　　）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎　‎ 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎7．计算：（x2）3=　　．‎ ‎8．因式分解：x2﹣4y2=　　．‎ ‎9．不等式组的解集是　　．‎ ‎10．方程=2的解是　　．‎ ‎11．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=　　．‎ ‎12．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是　　小时．‎ ‎13．已知二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），则此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标是　　．‎ ‎14．从1到10这10个正整数中任取一个，该正整数恰好是3的倍数的概率是　　．‎ ‎15．正八边形一个内角的度数为　　．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，﹣3），若=，则点C的坐标为　　．‎ ‎17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC=　　．‎ ‎18．如图，矩形ABCD，将它分别沿AE和AF折叠，恰好使点B，C落到对角线AC上点M，N处，已知MN=2，NC=1，则矩形ABCD的面积是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共78分）‎ ‎19．（10分）计算：（﹣1）0+|﹣2|+（）﹣1﹣2sin30°．‎ ‎20．（10分）解分式方程：．‎ ‎21．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）求∠CDE的度数；‎ ‎（2）求CE：EA．‎ ‎22．（10分）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完），如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象（线段AB），其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？‎ ‎23．（12分）如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，H．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）当E为弧中点时，求证：BE2=CE•CB．‎ ‎24．（12分）如图，点A在函数y=（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．‎ ‎（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；‎ ‎（2）试问：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．‎ ‎（3）试说明：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．‎ ‎25．（14分）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．‎ ‎（1）如图1，当AC=1，BC=，且点D与A重合时，求线段BE的长；‎ ‎（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；‎ ‎（3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市黄浦区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎1．单项式4xy2z3的次数是（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎【考点】42：单项式．‎ ‎【分析】单项式的次数是指各字母的指数之和 ‎【解答】解：该单项式的次数为：1+2+3=6，‎ 故选（D）‎ ‎【点评】本题考查单项式的概念，解题的关键是正确理解单项式的次数概念，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎2．下列方程中，无实数解的是（　　）‎ A．2+x=0 B．2﹣x=‎0 ‎C．2x=0 D． =0‎ ‎【考点】B2：分式方程的解．‎ ‎【分析】根据解方程，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、x+2=0，解得x=﹣2，故A正确；‎ B、2﹣x=0，解得x=2，故B正确；‎ C、2x=0，解得x=2，故C正确；‎ D、=0方程无解，故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的解，解方程是解题关键．‎ ‎　‎ ‎3．下列各组数据中，平均数和中位数相等的是（　　）‎ A．1，2，3，4，5 B．1，3，4，5，‎6 ‎C．1，2，4，5，6 D．1，2，3，5，6‎ ‎【考点】W4：中位数；W1：算术平均数．‎ ‎【分析】根据平均数和中位数的概念列出算式，再进行计算即可．‎ ‎【解答】解：A、平均数=（1+2+3+4+5）÷5=3；‎ 把数据按从小到大的顺序排列：1，2，3，4，5，中位数是3，故选项正确；‎ B、平均数=（1+3+4+5+6）÷5=3.8；‎ 把数据按从小到大的顺序排列：1，3，4，5，6，中位数是4，故选项错误；‎ C、平均数=（1+2+4+5+6）÷5=3.6；‎ 把数据按从小到大的顺序排列：1，2，4，5，6，中位数是4，故选项错误；‎ D、平均数=（1+2+3+5+6）÷5=3.4；‎ 把数据按从小到大的顺序排列：1，2，3，5，6，中位数是3，故选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了中位数与平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．找中位数的时候一定要先按大小排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎4．二次函数y=﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（　　）‎ A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）‎ ‎【考点】H3：二次函数的性质．‎ ‎【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．‎ ‎【解答】解：∵y=﹣（x﹣2）2﹣3，‎ ‎∴二次函数y=﹣（x﹣2）2﹣3的图象的顶点坐标是（2，﹣3）‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎　‎ ‎5．以一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为（　　）‎ A．4 B．‎2 ‎C． D．‎ ‎【考点】KX：三角形中位线定理．‎ ‎【分析】根据三角形的中位线定理得出两个三角形相似，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：根据三角形中位线定理得：两个三角形相似，相似比为，面积比为，‎ ‎∴一个面积为1的三角形的三条中位线为三边的三角形的面积为；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．已知点A（4，0），B（0，3），如果⊙A的半径为1，⊙B的半径为6，则⊙A与⊙B的位置关系是（　　）‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 ‎【考点】MJ：圆与圆的位置关系；D5：坐标与图形性质．‎ ‎【分析】由点A（4，0），B（0，3），可求得AB的长，又由⊙A与⊙B的半径分别为：1与6，即可根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系．‎ ‎【解答】解：∵点A（4，0），B，0，3），‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵⊙A与⊙B的半径分别为：1与6，‎ ‎∴半径差为：6﹣1=5，‎ ‎∴这两圆的位置关系是：内切．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）‎ ‎7．计算：（x2）3=　x6　．‎ ‎【考点】47：幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算．‎ ‎【解答】解：原式=x2×3=x6．‎ 故答案为x6．‎ ‎【点评】此题考查了幂的乘方的性质．‎ ‎　‎ ‎8．因式分解：x2﹣4y2=　（x+2y）（x﹣2y）　．‎ ‎【考点】54：因式分解﹣运用公式法．‎ ‎【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．‎ ‎【解答】解：x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．‎ ‎【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：a2﹣b2‎ ‎=（a+b）（a﹣b）．‎ ‎　‎ ‎9．不等式组的解集是　﹣≤x＜2　．‎ ‎【考点】CB：解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2，‎ 解不等式2x+1≥0，得：x≥﹣，‎ ‎∴不等式组的解集为﹣≤x＜2，‎ 故答案为：﹣≤x＜2．‎ ‎【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．‎ ‎　‎ ‎10．方程=2的解是　x=或x=﹣　．‎ ‎【考点】AG：无理方程．‎ ‎【分析】方程两边平方，整理后开方即可求出解．‎ ‎【解答】解：两边平方得：x2﹣2=4，‎ 解得：x=或x=﹣，‎ 经检验x=或x=﹣是原方程的解．‎ 故答案为：x=或x=﹣‎ ‎【点评】此题考查了无理方程，无理方程注意要检验．‎ ‎　‎ ‎11．关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则实数m=　　．‎ ‎【考点】AA：根的判别式．‎ ‎【分析】直接利用根的判别式得出b2﹣‎4ac=9﹣‎8m=0，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴b2﹣‎4ac=9﹣‎8m=0，‎ 解得：m=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题主要考查了根的判别式，正确掌握判别式的符号是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．某个工人要完成3000个零件的加工，如果该工人每小时能加工x个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是　　小时．‎ ‎【考点】32：列代数式．‎ ‎【分析】根据工作总量=工作时间×工作效率，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：根据题意得：完成这批零件的加工需要的时间是小时，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．已知二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），则此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标是　（2，0）　．‎ ‎【考点】HA：抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】直接利用二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），得出二次函数的对称轴，进而得出此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标．‎ ‎【解答】解：∵二次函数的图象经过点（1，3）和（3，3），‎ ‎∴抛物线的对称轴为：x==2，‎ 故此函数图象的对称轴与x轴的交点坐标是：（2，0）．‎ 故答案为：（2，0）．‎ ‎【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出对称轴是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．从1到10这10个正整数中任取一个，该正整数恰好是3的倍数的概率是　　．‎ ‎【考点】X4：概率公式．‎ ‎【分析】让1到10中3的倍数的个数除以数的总个数即为所求的概率．‎ ‎【解答】解：1到10中，3的倍数有3，6，9三个，‎ 所以正整数恰好是3的倍数的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎15．正八边形一个内角的度数为　135°　．‎ ‎【考点】L3：多边形内角与外角．‎ ‎【分析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．‎ ‎【解答】解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，‎ 每一个内角的度数为×1080°=135°．‎ 故答案为：135°．‎ ‎【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，﹣3），若=，则点C的坐标为　（2，﹣3）　．‎ ‎【考点】LM：*平面向量；D1：点的坐标．‎ ‎【分析】根据平面向量的平行四边形的法则解答即可得．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵=，‎ ‎∴过点A作y轴的平行线，过点B作x中的平行线，交于点C，则点C（2，﹣3），‎ 故答案为：（2，﹣3）．‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量，熟练掌握平面向量的平行四边形法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC=　：1　．‎ ‎【考点】LI：直角梯形；LH：梯形．‎ ‎【分析】如图连接EC，设AB=a，BC=b则CD=2b．只要证明∠D=60°，根据sin60°=，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图连接EC，设AB=a，BC=b则CD=2b．‎ 由题意四边形ABCE是矩形，‎ ‎∴CE=AB=a，∠A=∠AEC=∠CED=90°，‎ ‎∵∠BCF=∠DCF=∠D，‎ 又∵∠BCF+∠DCF+∠D=180°，‎ ‎∴∠D=60°，‎ ‎∴sinD==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴AB：BC=：1‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查直角梯形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，利用角相等这个信息解决问题，发现特殊角是解题的突破口，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎18．如图，矩形ABCD，将它分别沿AE和AF折叠，恰好使点B，C落到对角线AC上点M，N处，已知MN=2，NC=1，则矩形ABCD的面积是　9+2　．‎ ‎【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．‎ ‎【分析】由折叠的性质得，AB=AM，AN=AD，设AB=x，则AD=x+2，AC=x+3，根据勾股定理列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由折叠的性质得，AB=AM，AN=AD，‎ ‎∴AD﹣AB=AN﹣AM=MN=2，‎ 设AB=x，则AD=x+2，AC=x+3，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠D=90°，CD=AB，‎ ‎∴AD2+CD2=AC2，即（x+2）2+x2=（x+3）2，‎ ‎∴x=1+（负值舍去），‎ ‎∴AB=1+，AD=3+，‎ ‎∴S矩形ABCD=（1+）（3+）=9+2；‎ 故答案为：9+2．‎ ‎【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7小题，共78分）‎ ‎19．（10分）（2017•黄浦区二模）计算：（﹣1）0+|﹣2|+（）﹣1﹣2sin30°．‎ ‎【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；‎6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】利用零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．‎ ‎【解答】解：原式=1+2﹣+﹣2×‎ ‎=2﹣++1﹣1‎ ‎=2．‎ ‎【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2017•黄浦区二模）解分式方程：．‎ ‎【考点】B3：解分式方程．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16=x﹣2，‎ 整理得：x2+3x﹣10=0，即（x﹣2）（x+5）=0，‎ 解得：x=2或x=﹣5，‎ 经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣5．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•黄浦区二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，D是边AB的中点，DE⊥AB交AC于点E．‎ ‎（1）求∠CDE的度数；‎ ‎（2）求CE：EA．‎ ‎【考点】KO：含30度角的直角三角形；KP：直角三角形斜边上的中线．‎ ‎【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线得出CD=AD=BD，求出∠DCA=∠A=15°，求出∠BDC=‎ ‎∠A+∠DCA=30°，即可得出答案；‎ ‎（2）根据线段垂直平分线性质求出BE=AE，求出CE和BE的比，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，‎ ‎∴CD=AD=BD，‎ ‎∴∠DCA=∠A，‎ ‎∵∠A=15°，‎ ‎∴∠DCA=15°，‎ ‎∴∠BDC=∠A+∠DCA=30°，‎ ‎∵ED⊥AB，‎ ‎∴∠EDB=90°，‎ ‎∴∠CDE=90°﹣30°=60°；‎ ‎（2）‎ 连接BE，‎ ‎∵D为AB中点，DE⊥AB，‎ ‎∴BE=AE，‎ ‎∴∠EBA=∠A=15•，‎ ‎∴∠BEC=15°+15°=30°，‎ ‎∴cos30°=，‎ ‎∵AE=BE，‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，线段垂直平分线性质，解直角三角形等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•黄浦区二模）小明家买了一台充电式自动扫地机，每次完成充电后，在使用时扫地机会自动根据设定扫地时间，来确定扫地的速度（以使每次扫地结束时尽量把所储存的电量用完），如图是“设定扫地时间”与“扫地速度”之间的函数图象（线段AB），其中设定扫地时间为x分钟，扫地速度为y平方分米/分钟．‎ ‎（1）求y关于x的函数解析式；‎ ‎（2）现在小明需要扫地机完成180平方米的扫地任务，他应该设定的扫地时间为多少分钟？‎ ‎【考点】FH：一次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）设AB的解析式为y=kx+b，把A（20，500），B（100，100）代入解方程组即可．‎ ‎（2）设他应该设定的扫地时间为x分钟．由题意=﹣5x+600，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，把A（20，500），B（100，100）代入 得到，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣5x+600．‎ ‎（2）设他应该设定的扫地时间为x分钟．‎ 由题意=﹣5x+600，‎ 整理得x2﹣120x+3600=0，‎ ‎∴x=60，‎ 经检验x=60是分式方程的解．‎ ‎∴他应该设定的扫地时间为60分钟．‎ ‎【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建方程解决实际问题，注意解分式方程必须检验．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017•黄浦区二模）如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，H．‎ ‎（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）当E为弧中点时，求证：BE2=CE•CB．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；M5：圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）连接AE，AF，由四边形ABCD是菱形，得到∠ACB=∠ACF，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，推出∠EAC=∠FAC，即可得到结论；‎ ‎（2）由E为弧中点，得到∠CAE=∠BAE，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，得到BE=AE=AC，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，AF，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴∠ACB=∠ACF，‎ ‎∵AE=AC=AF，‎ ‎∴∠AEC=∠ACE=∠ACF=∠AFC，‎ ‎∴∠EAC=180°﹣∠AEC﹣∠ACE，‎ ‎∠CAF=180°﹣∠ACF﹣∠AFC，‎ ‎∴∠EAC=∠FAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴CE=CF；‎ ‎（2）解：∵E为弧中点，‎ ‎∴∠CAE=∠BAE，‎ ‎∵AB=BC，AE=AC，‎ ‎∴∠ACE=∠AEC=∠BAC=∠B+∠BAE，‎ ‎∴∠B=∠BAE，‎ ‎∴BE=AE=AC，‎ ‎∴△ABC∽△CAE，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC2=BC•CE，‎ 即BE2=CE•CB．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2017•黄浦区二模）如图，点A在函数y=（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．‎ ‎（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；‎ ‎（2）试问：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．‎ ‎（3）试说明：当点A在函数y=（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．‎ ‎【考点】GB：反比例函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=可求得B点坐标；‎ ‎（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；‎ ‎（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵点C在y=的图象上，且C点横坐标为1，‎ ‎∴C（1，1），‎ ‎∵AC∥y轴，AB∥x轴，‎ ‎∴A点横坐标为1，‎ ‎∵A点在函数y=（x＞0）图象上，‎ ‎∴A（1，4），‎ ‎∴B点纵坐标为4，‎ ‎∵点B在y=的图象上，‎ ‎∴B点坐标为（，4）；‎ ‎（2）设A（a，），则C（a，），B（，），‎ ‎∴AB=a﹣=a，AC=﹣=，‎ ‎∴S△ABC=AB•AC=××=，‎ 即△ABC的面积不发生变化，其面积为；‎ ‎（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴△ABC∽△EFC，‎ ‎∴=，即=，‎ ‎∴EF=a，‎ 由（2）可知BG=a，‎ ‎∴BG=EF，‎ ‎∵AE∥y轴，‎ ‎∴∠BDG=∠FCE，‎ 在△DBG和△CFE中 ‎∴△DBG≌△CEF（AAS），‎ ‎∴BD=EF．‎ ‎【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、平行线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．要（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用a表示出AB、AC的长是解题的关键，在（3）中证得BG=EF，构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2017•黄浦区二模）已知：Rt△ABC斜边AB上点D，E，满足∠DCE=45°．‎ ‎（1）如图1，当AC=1，BC=，且点D与A重合时，求线段BE的长；‎ ‎（2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；‎ ‎（3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．‎ ‎【考点】KY：三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）如图1，根据勾股定理得到AB=2，过B作BF∥AC交CE的延长线于F，得到∠F=∠ACE，根据相似三角形的性质即可得到结论；‎ ‎（2）作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答；‎ ‎（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，由∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，得到∠DHF=90°，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB=90°，BC=，AC=1，‎ ‎∴AB=2，‎ 过B作BF∥AC交CE的延长线于F，‎ ‎∴∠F=∠ACE，‎ ‎∵∠BCA=90°，∠DCE=45°，‎ ‎∴∠BCE=∠DCE，‎ ‎∴∠BCE=∠F，‎ ‎∴BF=BC=，‎ ‎∵△BEF∽△AEC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BE=2﹣；‎ ‎（2）证明：过点A作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，CF，‎ ‎∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAB=∠B=45°，‎ ‎∴∠FAC=45°，‎ ‎∴△CAF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴CF=CE，‎ ‎∠ACF=∠BCE，‎ ‎∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，‎ ‎∴∠ACD+∠BCE=∠ACB﹣∠DCE=90°﹣45°=45°，‎ ‎∵∠ACF=∠BCE，‎ ‎∴∠ACD+∠ACF=45°，‎ 即∠DCF=45°，‎ ‎∴∠DCF=∠DCE，‎ 又∵CD=CD，‎ ‎∴△CDF≌△CDE（SAS），‎ ‎∴DF=DE，‎ ‎∵AD2+AF2=DF2，‎ ‎∴AD2+BE2=DE2；‎ ‎（3）如图3，作△BCE≌△FCE，△GCD≌△ACD，延长DG交EF于H，‎ ‎∵∠HFG=∠B，∠HGF=∠CGD=∠A，∠A+∠B=90°，‎ ‎∴∠DHF=90°，‎ ‎∵FG=1，∠B=∠F，‎ ‎∴HF=，HG=，‎ ‎∵EH2+HD2=ED2，‎ ‎∴（y﹣）2+（x+）2=（5﹣x﹣y）2，‎ ‎∴y=（0≤x≤）．‎ ‎【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是中辅助线构造直角三角形，根据勾股定理以及面积法进行求解．‎