【数学】2019届一轮复习苏教版随机变量及其分布学案

【数学】2019届一轮复习苏教版随机变量及其分布学案

专题 14 随机变量及其分布 一、离散型随机变量的分布列 1．随机变量的有关概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母 ，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）离散型随机变量的分布列的概念 设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 ， ，…， ，X 取每一个值 (i＝1，2，…，n)的概率 ，则下表称为随机变量 X 的概率分布，简称为 X 的分布列． X … … P … … 有时也用等式 表示 X 的分布列． （2）离散型随机变量的分布列的性质：① (i＝1，2，…，n)；② ． 【必记结论】（1）随机变量的线性关系：若 X 是随机变量， ，a，b 是常数，则 Y 也是随机 变量；（2）分布列性质的两个作用：①利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值；②随机变量 ξ 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 二、常见的离散型随机变量的概率分布模型 1．两点分布 若随机变量 X 的分布列为 X 0 1 P 1－p p 称 X 服从两点分布，而称 为成功概率． 2．超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品数，则事件 发生的概率为 , , ,X Y ξ η 1x 2x nx ix ( )i iP X x p= = 1x 2x ix nx 1p 2p ip np ( ) , 1,2 ,，i iP X x p i n= ==  0ip ≥ 1 2 1np p p+ +⋅⋅⋅+ = Y aX b= + ( 1)p P X= = { }X k= ， ＝0，1，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N ，称分 布列 X 0 1 … m P … 为超几何分布列，如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布． 【必记结论】（1）两点分布实际上是 n＝1 时的二项分布；（2）某指定范围的概率等于本范围内所有随 机变量的概率和． 三、离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： X … … P … … （1）称 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取 值的平均水平． （2）称 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏 离程度，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差． 2．均值与方差的性质 若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 E(aX＋b)＝aE(X)＋b；D(aX＋b)＝a2D(X)． 四、相互独立事件 （1）对于事件 A，B，若 A 的发生与 B 的发生互不影响，则称 A，B 是相互独立事件． （2）若 A 与 B 相互独立，则 ． （3）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立． （4）若 ，则 A 与 B 相互独立． 注：① 中至少有一个发生的事件为 A∪B； C C( ) C k n k M N M n N P X k - -= = 0 0C C C n M N M n N - - 1 1C C C n M N M n N - - C C C m n m M N M n N - - 1x 2x ix nx 1p 2p ip np 1 1 2 2( ) n nE X x p x p x p= + +⋅⋅⋅+ 2 1 ( ) ( ( )) n i i i D X x E X p = = −∑ ( )D X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )| |P B A P B P AB P B A P A P A P B= = =, B A A B ( ) ( ) ( )P AB P A P B= A B, ② 都发生的事件为 AB； ③ 都不发生的事件为 ； ④ 恰有一个发生的事件为 ； ⑤ 至多有一个发生的事件为 ． 五、条件概率及其性质 （1）对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符 号 P(B|A)来表示，其公式为 ( )． 在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 (n(AB)表示 A，B 共同发 生的基本事件的个数)． （2）条件概率具有的性质 ① ； ②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 ． 六、独立重复试验与二项分布 1．独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验． 若 表示第 i 次试验结果，则 ． 【注】独立重复试验是各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么 发生，要么不发生，且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 2．二项分布 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率是 p，此时称随 机变量 X 服从二项分布，记作 X B(n，p)，并称 p 为成功概率． 在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 次的概率为 ． 七、正态分布 1．正态分布的定义及表示 如果对于任何实数 ，随机变量 X 满足 (即 x=a，x=b，正态曲线 A B, A B, AB A B, AB AB A B, AB AB AB  ( )( | ) ( ) P ABP B A P A = ( ) 0P A > ( )( | ) ( ) n ABP B A n A = ( )0 1|P B A≤ ≤ ( ) ( )( | ) | |P B C A P B A P C A= + 1,2( )iA i n= ， ， ( )1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )n nP PP A A A A A A AP PA=  ( ) C (1 ) 0 ), ,2( 1k k n k n kk p p nP X −= − == ， , ( ),a b a b< ( ) ( ), db a P a X b x xµ σϕ< ≤ = ∫ 及 x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量 X 服从正态分布，记作 ． 2．正态分布的三个常用数据 ① ； ② ； ③ ． 注：若 ，则 ． 1．已知随机变量 服从二项分布 ，则 等于________________． 2．已知 P(B|A)=3 5 ，P(A)=4 5 ，则 P(AB)等于________________． 3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为 0.6，乙被录取的概率为 0.7，两人是否被录取互不 影响，则其中至少有一人被录取的概率为________________． 4．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成 功次数 X 的均值是________________．学 5．已知某品种的幼苗每株成活率为 ，则栽种 3 株这种幼苗恰好成活 2 株的概率为________________． 6 ． 已 知 随 机 变 量 ， ， 则 ________________． 7．投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各 次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________________． 8．已知随机变量 X 服从二项分布 ，若 ，则 ________________． 9．一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 次， 表示抽到的二 等品件数，则 ________________． 10．已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 2~ ( ),X N µ σ 0( ) .6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + = 2 2 0 5( ) .9 44P Xµ σ µ σ− < ≤ + = 3 3 0 9( ) .9 74P Xµ σ µ σ− < ≤ + = 2~ ( , )X N µ σ ( ) 0.5P X µ≤ = ~ (7,4)X N (5 9) , (3 11)P X a P X b< < = < < = (3 9)P X< < = ( , )B n p ( ) 30, ( ) 20E X D X= = p = 0.02 100 X DX = 1 6 1 6 1 3 1 3 若随机变量 η 满足 η=2ξ-1，则 P(1≤η<5)= ________________． 11．已知某离散型随机变量 X 的分布列如下表所示，则随机变量 X 的方差 D(X)等于________________． X 0 1 P m 2m 12．已知离散型随机变量 的概率分布如下： 0 1 2 0.3 3 4 随机变量 ，则 的数学期望为________________． 13．已知随机变量 X 的分布列为 X 1 2 … … P … … 则 P(2

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