高考卷理科数学试题及答案解析

高考卷理科数学试题及答案解析

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．设，则（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎2．已知集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：‎ 则下面结论中不正确的是（ ）‎ A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 ‎4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．12‎ ‎5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ）‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．若满足约束条件，则的最大值为________．‎ ‎14．记为数列的前项和．若，则________．‎ ‎15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）‎ ‎16．已知函数，则的最小值是________．‎ 三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 在平面四边形中，，，，．‎ ‎⑴求；‎ ‎⑵若，求．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．‎ ‎⑴证明：平面平面；‎ ‎⑵求与平面所成角的正弦值．‎ ‎19．（12分）‎ 设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．‎ ‎⑴当与轴垂直时，求直线的方程；‎ ‎⑵设为坐标原点，证明：．‎ ‎20．（12分）‎ 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．‎ ‎⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；‎ ‎⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．‎ ‎（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；‎ ‎（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎⑴讨论的单调性；‎ ‎⑵若存在两个极值点，，证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎⑴求的直角坐标方程；‎ ‎⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知．‎ ‎⑴当时，求不等式的解集；‎ ‎⑵若时不等式成立，求的取值范围．‎