2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省南昌市第二中学高一上学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式得到集合，然后再求出即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题．‎ ‎2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 3 D． 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：解得或．所以．又，‎ 所以满足的集合可能为共4个．故D正确．‎ ‎【考点】集合的运算．‎ ‎3．函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数定义域的概念求解，令，求得的范围后即为函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，‎ 解得，‎ ‎∴函数的定义域是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 解答类似问题时注意两点：‎ ‎（1）函数的定义域时指自变量x的取值范围．‎ ‎（2）若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得ab>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和可得到的符号，然后再根据四个选项中的抛物线的开口方向和图象与y轴的交点进行判断即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ ‎∵且，‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线的开口向上，与y轴的交点在负半轴上，‎ ‎∴选项D符合题意．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的识别，考查分析问题和理解问题的能力，解题的关键是由题意得到的符号，然后再根据抛物线的特征进行判断．‎ ‎10．设M={a，b，c}，N={﹣2，0，2}，从M到N的映射满足f（a）＞f（b）≥f（c），这样的映射f的个数为（　　）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意及映射概念逐一写出满足条件的映射后可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴a对应2时，b对应0，c对应0或−2，有2个映射；‎ a对应2时，b对应−2，c对应−2，有1个映射；‎ a对应0时，b对应−2，c对应−2，有1个映射．‎ 综上，满足条件的映射个数为4个．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查映射的概念，考查理解和运用的能力，解题的关键是根据定义确定出各种对应的情况，通过列举得到结果．‎ ‎11．已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，所以函数在上第增， ‎ 时不合题意，只需 ，解得 ，即实数的取值范围是，故选D.‎ ‎12．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f（x）=x﹣[x]，则下列命题中正确的是　　‎ ‎①函数f（x）的最大值为1； ②函数f（x）的最小值为0；‎ ‎③方程有无数个根； ④函数f（x）是增函数．‎ A． ②③ B． ①②③ C． ② D． ③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查取整函数问题，在解答时要先充分理解[x]的含义，根据解析式画出函数的图象，结合图象进行分析可得结果．‎ ‎【详解】‎ 画出函数f(x)=x−[x]的图象，如下图所示．‎ 由图象得，函数f(x)的最大值小于1，故①不正确；‎ 函数f(x)的最小值为0，故②正确；‎ 函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；‎ 函数f(x)有增有减，故④不正确．‎ 故答案为：②③．‎ ‎【点睛】‎ 本题难度较大，解题的关键是正确理解所给函数的意义，然后借助函数的图象利用数形结合的方法进行求解．‎ 二、填空题 ‎13．已知，则函数的单调递增区间是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，根据图象可得结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，画出函数的图象如下图所示．‎ 由图象可得，函数的单调递增区间为．（填也可）．‎ ‎【点睛】‎ 求函数的单调区间时，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质．‎ ‎14．已知函数的定义域是，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得在上恒成立，然后分和两种情况进行分析可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数的定义域是，‎ ‎∴在上恒成立，即在上恒成立．‎ ‎①当时，，在上恒成立．‎ ‎②当时，由题意得，‎ ‎∴，解得，‎ 综上．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 解答本题的关键是根据函数的定义域为R得到不等式恒成立，然后再结合分类讨论进行分析求解，考查转化和分析解决问题的能力．‎ ‎15．已知函数，记 ‎ ‎，则_____________‎ ‎【答案】42‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的特点先得到，然后将两式相加可得到的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴‎ ‎．‎ 故答案为42．‎ ‎16．已知函数的定义域为，则可求的函数的定义域为,求实数m的取值范围__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的定义域为，，令,则，由题意知，当时，，作出函数 的图象，‎ 如图所示，由图可得，当或时，，当时，，时，实数的取值范围是，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．设A={x|2x2+ax+2=0}，B={x|x2+3x+2a=0}，A∩B={2}．‎ ‎（1）求a的值及集合A、B；‎ ‎（2）设集合U=A∪B，求（CuA）∪（CuB）的所有子集．‎ ‎【答案】（1）a=﹣5，A={2，}，B={2，﹣5}；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得2∈A，2∈B，代入方程后可得，然后解方程可得集合A、B；（2）结合（1）中的结论得到（CuA）∪（CuB），然后写出它的所有子集即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意得2∈A，2∈B，‎ 将x=2代入A中的方程得：8+2a+2=0，‎ 解得a=﹣5，‎ ‎∴A={x|2x2﹣5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x﹣10=0}={2，﹣5}． ‎ ‎（2）由题意得全集U=A∪B={2，，﹣5}，A∩B={2}，‎ ‎∴（CuA）∪（CuB）=∁U（A∩B）={，﹣5}，‎ ‎∴（CuA）∪（CuB）的所有子集为，{﹣5}，{}，{﹣5，}．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的基本运算，解题的关键是正确地得到相关集合，再根据要求求解，属于基础题．‎ ‎18．已知二次函数= ,满足条件和=.‎ ‎(1)求函数的解析式.‎ ‎(2)若函数,当时,求函数的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意得到，再根据=两边比较系数可得，于是得到解析式．（2）求出函数的解析式，再根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系，结合图象求解可得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意得，‎ ‎∴= ，‎ ‎∵，‎ ‎∴==，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴. ‎ ‎(2)由（1）得，‎ 函数图象的 ‎①当，即时，函数在上单调递增，‎ ‎∴．‎ ‎②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴．‎ 综上可得 ‎【点睛】‎ ‎(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；‎ ‎(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．‎ ‎19．已知函数 ‎（1）若，试判断并用定义证明的单调性；‎ ‎（2）若，求的值域.‎ ‎【答案】(1)单调递增；(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）当a=1时，由x∈[1，6]，化简f（x），用单调性定义讨论f（x）的增减性；（2）当，利用对勾函数的图象与性质可得的值域.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， 递增 证：任取且 则=‎ 在上单调递增.‎ ‎（2）当时， ‎ 令 ‎ 所以的值域为.‎ 点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）用分段函数的形式表示函数f（x）；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；在同一平面直角坐标系中，再画出函数的图象（不用列表），观察图象直接写出当x＞0时，不等式f（x）＞g（x）的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去掉绝对值符号可得所求的解析式；（2）在同一坐标系内画出函数和的图象，结合图象可得所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当x≥0时，f（x）=1； ‎ 当x＜0时，f（x）=x+1； ‎ 所以． ‎ ‎（2）同一坐标系内画出函数和函数图象，如下图所示． ‎ 由上图可知当x＞1时，f（x）＞g（x），‎ ‎∴不等式f（x）＞（x＞0）的解集为{x|x＞1}．‎ ‎【点睛】‎ 画函数图象的注意点：‎ ‎(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数等；‎ ‎(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等常用的方法技巧，可帮助我们简化作图过程．‎ ‎21．设定义在上的函数对于任意实数，都有成立，且，当时，．‎ ‎（1）判断的单调性，并加以证明；‎ ‎（2）试问：当时，是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，说明理由；‎ ‎（3）解关于的不等式，其中．‎ ‎【答案】（1）在上是减函数，证明见解析；（2）的最大值是，最小值是；（3）当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）任意实数，且，不妨设，利用差比较法，计算，所以函数为减函数；（2）在 上单调递减，所以有最大值，有最小值．利用赋值法求出；（3）化简不等式得，由于为减函数，所以，．由于，或，所以当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为．‎ 试题解析：‎ ‎（1）在上是减函数，证明如下：对任意实数，且，不妨设，其中，则，‎ ‎∴．故在上单调递减．………………4分 ‎（2）∵在上单调递减，∴时，有最大值，时，有最小值．在中，令，得，‎ 故，，所以．‎ 故当时，的最大值是3，最小值是0．………………6分 ‎（3）由原不等式，得，‎ 由已知有，即．‎ ‎∵在上单调递减，∴，∴．………………9分 ‎∵，∴或．‎ 当时，，不等式的解集为或；‎ 当时，，不等式的解集为．………………12分 ‎【考点】函数的单调性．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查抽象函数单调性的证明．证明出单调性后利用单调性求解最值和不等式．对于函数单调区间的求解，一般要根据函数的表达形式来选择合适的方法，对于基本初等函数单调区间的求解，可以在熟记基本初等函数的单调性的基础上进行求解；对于在基本初等函数的基础上进行变化的函数，则可以采用利用函数图象求出相应的单调区间来求得；复合函数的单调区间的求得宜采用复合函数法（同增异减）的方法来求得．抽象函数单调性利用定义法来求解．‎ ‎22．已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）≥0的解集为{x|﹣2≤x≤3}，且f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值是4．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）设g（x）=x+5﹣f（x），若对任意的，均成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不等式的解集为可得二次函数的零点为，进而得到二次函数的零点式解析式，然后再根据最小值为4得到相应的参数，于是可得解析式．（2）由（1）得函数的解析式，然后将不等式恒成立的问题通过分离参数求解，转化为二次函数的最值问题和解二次不等式的问题求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由f（x）≥0解集为{x|﹣2≤x≤3}，‎ ‎∴二次函数的零点为，‎ 于是可设f（x）=a（x+2）（x﹣3）=a（x2﹣x﹣6），且a＜0，‎ ‎∴函数图象的对称轴，且在上单调递增，在上单调递减，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得g（x）=x+5+x2﹣x﹣6=x2﹣1．‎ 在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 整理得在上恒成立，‎ 所以在上恒成立．‎ 令，记，‎ 则y=﹣3t2﹣2t+1，二次函数图象的对称轴为，‎ 所以当时，y有最小值，且．‎ 所以，‎ 整理得（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，‎ 解得或，‎ 故实数m的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解决恒成立问题的常用方法是通过分离参数，转化为求函数最值的问题处理． ‎ ‎（2）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．‎