福建省莆田市2020届高三3月(线上)毕业班教学质量检测试卷数学(理)试题 Word版含解析

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福建省莆田市2020届高三3月(线上)毕业班教学质量检测试卷数学(理)试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷 数学(理科)‎ 本试卷分Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算,,再计算得到答案.‎ ‎【详解】,,‎ 故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算,意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.若i•z=1﹣2i,则|z|=( )‎ A. B. C. 3 D. 5‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用复数的运算法则进行化简,然后再进行复数模的运算即可.‎ ‎【详解】,‎ ‎,. ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算以及模的运算,属于基础题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如,,,.其次要熟悉复数相关基本概念,如复数的实部为、虚部为、模为、共轭复数为.‎ ‎3.若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据范围计算得到,,计算得到答案.‎ ‎【详解】,故,,故.‎ ‎,‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角公式,同角三角函数关系,意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.函数在的图象大致为( )‎ - 24 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数为奇函数排除,计算排除,得到答案.‎ ‎【详解】,,函数为奇函数,排除.‎ ‎,排除.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像,判断函数的奇偶性是解题的关键.‎ ‎5.甲、乙、丙、丁四名志愿者去,,三个社区参与服务工作,要求每个社区至少安排一人,则不同的安排方式共有( )‎ A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 81种 - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用捆绑法将四人分为三组有种,再全排列种,计算得到答案.‎ ‎【详解】利用捆绑法将四人分为三组:种,再全排列种,故有种不同的安排方式.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法,意在考查学生的应用能力.‎ ‎6.高斯函数表示不超过的最大整数,如,,.执行下边的程序框图,则输出的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据程序框图依次计算得到答案.‎ ‎【详解】程序框图依次计算:;;;,结束.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图,意在考查学生的理解能力和计算能力.‎ ‎7.函数的图象在点切的切线分别交轴,轴于、两点,‎ - 24 -‎ 为坐标原点,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到,计算切线方程为,故,,代入向量计算得到答案.‎ ‎【详解】,,故,,,‎ 故切线方程为:,故,.‎ ‎,即,解得.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程,向量运算,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x对称,且.当ω取最小值时,φ=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦函数的对称轴和对称中心并结合正弦函数的图象,求得取最小值时,然后利用求出的值.‎ ‎【详解】函数的图象关于直线对称,且 - 24 -‎ ‎,‎ 则取最小时,,‎ 可得,可得,‎ 再根据,‎ 可得,,求得,,‎ 因为,‎ 所以,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质,主要考查函数的对称性和周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法,属于中档题.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为,过的直线交于,两点,轴被以为直径的圆所截得的弦长为6,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 故设直线为,设,,计算得到中点的横坐标为,,根据,计算得到答案.‎ ‎【详解】抛物线的焦点,易知当斜率不存在时不成立,‎ 故设直线为,设,.‎ 则,即,故,‎ - 24 -‎ 故中点的横坐标为,.‎ 故,解得,故.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中的弦长问题,直线和圆的位置关系,意在考查学生的转化能力和计算能力.‎ ‎10.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上,平面,,与平面所成的角为,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点,连接,证明平面,故为与平面所成的角为,球心在平面的投影为的外心,计算得到答案.‎ ‎【详解】取中点,连接,,则.‎ 平面,平面,故.‎ ‎,故平面,故为与平面所成的角为.‎ ‎,故,,,故.‎ 球心在平面的投影为的外心,‎ 根据知,,故,‎ 故球的表面积为.‎ 故选:.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,确定球心在平面的投影为的外心是解题的关键,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与的左支交于,两点,若,且,则的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算得到,, ,,根据,利用余弦定理得到,计算得到答案.‎ ‎【详解】,故,‎ ‎,故,故.‎ 根据余弦定理,‎ ‎,,‎ 化简整理得到:,即,解得或(舍去).‎ 故选:.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线离心率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎12.设函数的定义域为,已知有且只有一个零点.下列四个结论:‎ ‎①; ②在区间单调递增;‎ ‎③是的零点; ④是的极大值点,是的最小值.‎ 其中正确的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取,即,两边取对数,设,求导画出函数图像,计算,故,画出函数和的图像,根据图像得到函数单调性,依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】取,即,两边取对数,‎ 即有且只有一个解,设,.‎ 函数在上单调递增,在上单调递减,画出函数图像,如图所示:‎ 故或,解得或(舍去),故,①正确;‎ ‎,,③正确,‎ ‎,取,即,‎ 两边取对数,画出函数和的图像,‎ 根据图像知:‎ 当时,,故,函数单调递减;‎ 当或时,,函数单调递增.‎ 故②错误,④正确.‎ 故选:.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求参数值,函数的单调性,极值,零点问题,意在考查学生的综合应用能力.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎13.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到,计算得到答案.‎ ‎【详解】,故,故,即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了向量夹角的计算,意在考查学生的计算能力.‎ - 24 -‎ ‎14.设满足约束条件则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域,表示点和之间的斜率,根据图像得到答案.‎ ‎【详解】如图所示,画出可行域,表示点和之间的斜率.‎ 根据图像知:当时,有最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划问题,将表示为两点的斜率是解题的关键.‎ ‎15.已知函数且,则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论和两种情况,分别计算得到,再代入计算得到答案.‎ - 24 -‎ ‎【详解】当时,,,不成立;‎ 当时,,或(舍去);‎ 综上所述:,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数求参数和函数值,意在考查学生的计算能力.‎ ‎16.的内角,,,的对边分别为,,.已知,是边上的中线,且,则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理计算得到,设,则,,根据余弦定理得到,故,计算得到答案.‎ ‎【详解】,即,即,‎ 故,,故.‎ 设,则,,‎ 在中:根据余弦定理,,即.‎ ‎,‎ 故,‎ 当,即,面积有最大值为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式,意在考查学生的综合应用能力.‎ - 24 -‎ 三、解答题:共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:(60分)‎ ‎17.设是公差不为0的等差数列,其前项和为已知,,成等比数列,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,数列的前项和为,求.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到,,计算得到答案.‎ ‎(2),利用分组求和法计算得到答案.‎ ‎【详解】(1),,成等比数列,故,即.‎ ‎,解得,故.‎ ‎(2).‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式,前项和,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎18.如图,四棱锥的底面是菱形,,,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ - 24 -‎ ‎(2)若,点在棱上,且,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接与相交于,根据,得到平面,得到证明.‎ ‎(2)以为轴建立空间直角坐标系,设,根据得到,计算平面的法向量为,平面的法向量为,计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】(1)如图所示:连接与相交于,,故,‎ 四棱锥的底面是菱形,故,,故平面,‎ 平面,故平面平面.‎ ‎(2),故平面,取中点,连接,故.‎ 以为轴建立空间直角坐标系,如图所示:‎ 则,设,‎ ‎,解得,,.‎ ‎,‎ ‎,,,‎ 故,‎ 解得或(舍去),.‎ 设平面法向量为,‎ 则,取,‎ - 24 -‎ 设平面的法向量为,‎ 则,取,,‎ 设二面角的平面角为,则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了面面垂直,二面角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎19.莆田市是福建省“历史文化名城”之一,也是旅游资源丰富的城市.“九头十八巷”、“二十四景”美如画.某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况,在全市进行网上问卷(满分100分)调查,民众参与度极高.该公司对得分数据进行统计拟合,认为服从正态分布.‎ ‎(1)从参与调查的民众中随机抽取200名作为幸运者,试估算其中得分在75分以上(含75分)的人数(四舍五入精确到1人);‎ ‎(2)在(1)的条件下,为感谢参与民众,该公司组织两种活动,得分在75分以上(含75分)的幸运者选择其中一种活动参与.活动如下:‎ - 24 -‎ 活动一 参与一次抽奖.已知抽中价值200元的礼品的概率为,抽中价值420元的礼品的概率为;‎ 活动二 挑战一次闯关游戏.规则如下:游戏共有三关,闯关成功与否相互独立,挑战者依次闯关,第一关闯关失败者没有获得礼品,第二关起闯关失败者只能获得上一关的礼品,获得的礼品不累计,闯关结束.已知第一关通过的概率为,可获得价值300元的礼品;第二关通过的概率为,可获得价值800元的礼品;第三关通过的概率为,可获得价值1800元的礼品.‎ 若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动,该公司以该期望值为依据,需准备多少元的礼品?‎ 附:若,则,,‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)计算得到,,故,计算得到答案.‎ ‎(2)计算,活动二的取值可能有,,,,计算概率得到分布列,得到,计算得到答案.‎ ‎【详解】(1)服从正态分布,则,,‎ ‎,‎ 故,故人数为.‎ ‎(2)活动一的数学期望为:;‎ 活动二的取值可能有,,,,‎ 故,,,‎ - 24 -‎ ‎.‎ 分布列为:‎ 故.‎ ‎,故需要准备元礼物.‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布,分布列,数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.已知为椭圆的左、右焦点,点在上.有以下三个条件:①;②点的坐标为;③且.‎ ‎(1)从三个条件中任意选择两个,求的方程;‎ ‎(2)在(1)的条件下,过点的直线与交于,两点,关于坐标原点的对称点为,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取条件①和②,则,,解得答案.‎ ‎(2),设直线方程为,,,,联立方程得到,,,设,故,利用均值不等式得到答案.‎ ‎【详解】(1)取条件①和②,则,,解得,故椭圆方程为 - 24 -‎ ‎.‎ ‎(2)易知直线斜率不为,设直线方程为,,,,‎ 故,即,,.‎ ‎,‎ 设,,故.‎ 当且仅当,即时等号成立,此时验证成立,故面积最大值.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程,面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21.已知函数,.‎ ‎(1)求在区间的极值点;‎ ‎(2)证明:在区间有且只有3个零点,且之和为0.‎ ‎【答案】(1)或;(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导取,得到或,再根据单调性得到极值点.‎ ‎(2)化简得到,得到若是方程的根据,那么也是方程的根,画出函数和的图像,根据图像得到答案.‎ - 24 -‎ ‎【详解】(1),则,‎ 取,则或.‎ 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;‎ 当时,,函数单调递增,故极值点为或.‎ ‎(2),故.‎ ‎,即,‎ ‎,,.‎ 若是方程的根,那么也是方程的根,故零点之和为.‎ 画出函数和的图像,如图所示:‎ 根据图像知函数图像有三个交点,故在区间有且只有3个零点.‎ 综上所述:在区间有且只有3个零点,且之和为0.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值点,零点问题,画出函数图像是解题的关键,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎(二)选考题:共10分.请考生在第2、23题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎22.在直角坐标系xOy中,已知直线l过点P(2,2).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0.‎ ‎(1)求C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若l与C交于A,B两点,求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把曲线的极坐标方程两边同时乘以,结合,,,即可求出曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)由已知直接写出直线的参数方程,把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.‎ ‎【详解】(1)曲线的极坐标方程为,两边同时乘以,得 - 24 -‎ ‎,把互化公式代入可得:,即,所以C的直角坐标方程为y2=4x.‎ ‎(2)设直线的倾斜角为,可得参数方程为:(为参数),代入抛物线方程可得:,‎ 则,,‎ ‎∴,‎ 当且仅当时,等号成立,‎ 的最大值为.‎ ‎【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程,要巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含有,,的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程;‎ ‎2.经过点,倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).若A,B为直线上两点,其对应的参数分别为,,线段的中点为,点所对应的参数为,则以下结论在解题中经常用到:‎ ‎(1);‎ ‎(2);‎ ‎(3);‎ ‎(4).‎ ‎23.已知f(x)=|2x﹣1|+|x+2|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≤5的解集;‎ ‎(2)若x∈[﹣1,+∞)时,f(x)≥kx+k,求k的取值范围.‎ - 24 -‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可先将写成分段形式,从而求得解集;‎ ‎(2)时,成立;时,,等价于,令,故即可,从而求得答案.‎ ‎【详解】(1)由,‎ 不等式等价于,‎ 可化为,‎ 或 或;‎ 解得,‎ 所以不等式的解集是;‎ ‎(2)当时,成立,;‎ 当时,,所以,‎ 即,所以;‎ 当时,,所以,‎ 即k,所以;‎ - 24 -‎ 综上知,的取值范围是.‎ ‎【点睛】1.求解绝对值不等式的步骤:‎ ‎(1)求零点;‎ ‎(2)划区间,去绝对值符号;‎ ‎(3)分别解去掉绝对值符号的不等式;‎ ‎(4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时,不要遗漏区间的端点值.‎ ‎2.绝对值不等式有解问题的求解思路:‎ ‎(1)分离参数:根据不等式,将参数分离化为或的形式;‎ ‎(2)转化为最值问题:恒成立,恒成立;‎ ‎(3)得结论.‎ ‎ ‎ - 24 -‎ - 24 -‎
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