2014年湖南省邵阳市中考数学试题（含答案）

2014年湖南省邵阳市中考数学试题（含答案）

湖南省邵阳市2014年中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•邵阳）介于（ ）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1和0之间 B．‎ ‎0和1之间 C．‎ ‎1和2之间 D．‎ ‎2和3之间 ‎ ‎ 考点：‎ 估算无理数的大小 分析：‎ 根据，可得答案．‎ 解答：‎ 解：∵2，‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了无理数比较大小，比较算术平方根的大小是解题关键．‎ ‎ ‎ ‎2．（3分）（2014•邵阳）下列计算正确的是（ ）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2x﹣x=x B．‎ a3•a2=a6‎ C．‎ ‎（a﹣b）2=a2﹣b2‎ D．‎ ‎（a+b）（a﹣b）=a2+b2‎ ‎ ‎ 考点：‎ 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；平方差公式有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式合并同类项得到结果，即可作出判断；‎ B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；‎ C、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；‎ D、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断．‎ 解答：‎ 解：A、原式=x，正确；‎ B、原式=x5，错误；‎ C、原式=a2﹣2ab+b2，错误；‎ D、原式=a2﹣b2，‎ 故选A 点评：‎ 此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎3．（3分）（2014•邵阳）如图的罐头的俯视图大致是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图 分析：‎ 俯视图即为从上往下所看到的图形，据此求解．‎ 解答：‎ 解：从上往下看易得俯视图为圆．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，俯视图即从上往下所看到的图形．‎ ‎ ‎ ‎4．（3分）（2014•邵阳）如图是小芹6月1日﹣7日每天的自主学习时间统计图，则小芹这七天平均每天的自主学习时间是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ ‎1小时 B．‎ ‎1.5小时 C．‎ ‎2小时 D．‎ ‎3小时 ‎ ‎ 考点：‎ 算术平均数；折线统计图 分析：‎ 根据算术平均数的概念求解即可．‎ 解答：‎ 解：由图可得，这7天每天的学习时间为：2，1，1，1，1，1.5，3，‎ 则平均数为：=1.5．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．‎ ‎ ‎ ‎5．（3分）（2014•邵阳）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ ‎45°‎ B．‎ ‎54°‎ C．‎ ‎40°‎ D．‎ ‎50°‎ ‎ ‎ 考点：‎ 平行线的性质；三角形内角和定理 分析：‎ 根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE=∠BAD．‎ 解答：‎ 解：∵∠B=46°，∠C=54°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，‎ ‎∵DE∥AB，[来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎∴∠ADE=∠BAD=40°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎6．（3分）（2014•邵阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组 分析：‎ 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．[来源:学科网ZXXK]‎ 解答：‎ 解：，解得，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎ ‎ ‎7．（3分）（2014•邵阳）地球的表面积约为511000000km2，用科学记数法表示正确的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ ‎5.11×1010km2‎ B．‎ ‎5.11×108km2‎ C．‎ ‎51.1×107km2‎ D．‎ ‎0.511×109km2‎ ‎ ‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于511000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．‎ 解答：‎ 解：511 000 000=5.11×108．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎ ‎ ‎8．（3分）（2014•邵阳）如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30°，则∠C的大小是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ ‎30°‎ B．‎ ‎45°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎40°‎ ‎ ‎ 考点：‎ 切线的性质 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO=90°，利用∠A=30°得到∠AOB=60°，再根据三角形外角性质得∠AOB=∠C+∠OBC，由于∠C=∠OBC，所以∠C=AOB=30°．‎ 解答：‎ 解：连结OB，如图，‎ ‎∵AB与⊙O相切，‎ ‎∴OB⊥AB，‎ ‎∴∠ABO=90°，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠AOB=60°，‎ ‎∵∠AOB=∠C+∠OBC，‎ 而∠C=∠OBC，‎ ‎∴∠C=AOB=30°．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ ‎ ‎ ‎9．（3分）（2014•邵阳）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ）‎ ‎ ‎ ‎　‎ A．‎ 甲种方案所用铁丝最长 B．‎ 乙种方案所用铁丝最长 ‎　‎ C．‎ 丙种方案所用铁丝最长 D．‎ 三种方案所用铁丝一样长 ‎ ‎ 考点：‎ 生活中的平移现象 分析：‎ 分别利用平移的性质得出各图形中所用铁丝的长度，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：由图形可得出：甲所用铁丝的长度为：2a+2b，‎ 乙所用铁丝的长度为：2a+2b，‎ 丙所用铁丝的长度为：2a+2b，‎ 故三种方案所用铁丝一样长．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了生活中的平移现象，得出各图形中铁丝的长是解题关键．‎ ‎ ‎ ‎10．（3分）（2014•邵阳）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（ ）‎ ‎　‎ A．‎ a＞b B．‎ a=b C．‎ a＜b D．‎ 以上都不对 ‎ ‎ 考点：[来源:学.科.网]‎ 一次函数图象上点的坐标特征 分析：‎ 根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答．‎ 解答：‎ 解：∵k=﹣2＜0，‎ ‎∴y随x的增大而减小，‎ ‎∵1＜2，‎ ‎∴a＞b．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．‎ ‎ ‎ 二、填空题（共8个小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2014•邵阳）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是 77° ．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 余角和补角．‎ 分析：‎ 根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵∠α=13°，‎ ‎∴∠α的余角=90°﹣13°=77°．‎ 故答案为：77°．‎ 点评：‎ 本题考查了余角的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎12．（3分）（2014•邵阳）将多项式m2n﹣2mn+n因式分解的结果是 n（m﹣1）2 ．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用 分析：‎ 先提取公因式n，再根据完全平方公式进行二次分解．‎ 解答：‎ 解：m2n﹣2mn+n，[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎=n（m2﹣2m+1），‎ ‎=n（m﹣1）2．‎ 故答案为：n（m﹣1）2．‎ 点评：‎ 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎ ‎ ‎13．（3分）（2014•邵阳）若反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则k的值是 ﹣2 ．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解析式 分析：‎ 因为（﹣1，2）在函数图象上，k=xy，从而可确定k的值．‎ 解答：‎ 解：∵图象经过点（﹣1，2），‎ ‎∴k=xy=﹣1×2=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查待定系数法求反比例函数解析式，关键知道反比例函数式的形式，从而得解．‎ ‎ ‎ ‎14．（3分）（2014•邵阳）如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： △ABP∽△AED ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 相似三角形的判定；平行四边形的性质 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 可利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似判断△ABP∽△AED．‎ 解答：‎ 解：∵BP∥DF，‎ ‎∴△ABP∽△AED．‎ 故答案为△ABP∽△AED．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；‎ ‎ ‎ ‎15．（3分）（2014•邵阳）有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 几何概率 分析：‎ 求出白色扇形在整个转盘中所占的比例即可解答．‎ 解答：‎ 解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等，‎ ‎∴落在白色扇形部分的概率为：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．‎ ‎ ‎ ‎16．（3分）（2014•邵阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 （﹣4，3） ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 坐标与图形变化-旋转 分析：‎ 过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，根据旋转的性质可得OA=OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′，然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等，根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB，A′B′=OB，然后写出点A′的坐标即可．‎ 解答：‎ 解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，‎ ‎∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，‎ ‎∴OA=OA′，∠AOA′=90°，‎ ‎∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，‎ ‎∴∠OAB=∠A′OB′，‎ 在△AOB和△OA′B′中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△OA′B′（AAS），‎ ‎∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3，‎ ‎∴点A′的坐标为（﹣4，3）．‎ 故答案为：（﹣4，3）．‎ 点评：‎ 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎ ‎ ‎17．（3分）（2014•邵阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E．∠A=30°，AB=8，则DE的长度是 2 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 三角形中位线定理；含30度角的直角三角形．‎ 分析：‎ 根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．‎ 解答：‎ 解：∵D为AB的中点，AB=8，‎ ‎∴AD=4，‎ ‎∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，‎ ‎∴DE=AD=2，‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．‎ ‎ ‎ ‎18．（3分）（2014•邵阳）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类；数轴 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题．‎ 解答：‎ 解：由题意可得：‎ 移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1；‎ 移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2；‎ 移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4；‎ 移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5；‎ 移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7；‎ 移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8；‎ ‎…‎ ‎∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2；‎ 移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1．‎ ‎①当3n﹣2≥41时，‎ 解得：n≥‎ ‎∵n是正整数，‎ ‎∴n最小值为15，此时移动了29次．‎ ‎②当3n﹣1≥41时，‎ 解得：n≥14．‎ ‎∵n是正整数，‎ ‎∴n最小值为14，此时移动了28次．‎ 纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41．‎ 故答案为：28．‎ 点评：‎ 本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量，考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．‎ ‎ ‎ 三、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）‎ ‎19．（8分）（2014•邵阳）计算：（）﹣2﹣+2sin30°．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值 分析：‎ 本题涉及负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=4﹣2+1‎ ‎=3．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．‎ ‎ ‎ ‎20．（8分）（2014•邵阳）先化简，再求值：（﹣）•（x﹣1），其中x=2．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 分式的化简求值 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=•（x﹣1）=，‎ 当x=2时，原式=．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎21．（8分）（2014•邵阳）如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．‎ ‎（1）从图中任找两组全等三角形；‎ ‎（2）从（1）中任选一组进行证明．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 全等三角形的判定 分析：‎ ‎（1）根据题目所给条件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；‎ ‎（2）根据AB∥CD可得∠1=∠2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明△ABE≌△CDF即可．‎ 解答：‎ 解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；‎ ‎（2）∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵AF=CE，‎ ‎∴AF+EF=CE+EF，‎ 即AE=FC，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（AAS）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎ ‎ 四、应用题（共3个小题，每小题8分，共24分）‎ ‎22．（8分）（2014•邵阳）网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12﹣35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．‎ ‎ ‎ 请根据图中的信息，解决下列问题：‎ ‎（1）求条形统计图中a的值；‎ ‎（2）求扇形统计图中18﹣23岁部分的圆心角；‎ ‎（3）据报道，目前我国12﹣35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12﹣23岁的人数．‎ ‎ ‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）用30～35岁的人数除以所占的百分比求出被调查的人数，然后列式计算即可得解；‎ ‎（2）用360°乘以18～23岁的人数所占的百分比计算即可得解；‎ ‎（3）用网瘾总人数乘以12～23岁的人数所占的百分比计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）被调查的人数=330÷22%=1500人，‎ a=1500﹣450﹣420﹣330=1500﹣1200=300人；‎ ‎（2）360°××100%=108°；‎ ‎（3）∵12﹣35岁网瘾人数约为2000万，‎ ‎∴12～23岁的人数约为2000万×=400万．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎ ‎ ‎23．（8分）（2014•邵阳）小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．‎ ‎（1）两种型号的地砖各采购了多少块？‎ ‎（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？‎ ‎ ‎ 考点：‎ 二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用 分析：‎ ‎（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可；‎ ‎（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式，求出其解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得 ‎，‎ 解得：．‎ 答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；‎ ‎（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，由题意，得 ‎80a+40（60﹣a）≤3200，‎ 解得：a≤20．‎ ‎∴彩色地砖最多能采购20块．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时认真分析单价×数量=‎ 总价的关系建立方程及不等式是关键．‎ ‎ ‎ ‎24．（8分）（2014•邵阳）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 分析：‎ 过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到大事故船C处所需的时间．‎ 解答：‎ 解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．‎ 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，‎ ‎∴CD=AC=40海里．‎ 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，‎ ‎∴BC=≈=50（海里），‎ ‎∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎ ‎ 五、综合题（共2小题，25题8分，26题10分，共18分）‎ ‎25．（8分）（2014•邵阳）准备一张矩形纸片，按如图操作：‎ 将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．‎ ‎（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；‎ ‎（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质 分析：‎ ‎（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．‎ ‎（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，‎ ‎∴∠ABD=∠CDB，‎ ‎∴∠EBD=∠FDB，‎ ‎∴EB∥DF，‎ ‎∵ED∥BF，‎ ‎∴四边形BFDE为平行四边形．‎ ‎（2）解：∵四边形BFDE为菱形，‎ ‎∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD=BC，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABE=30°，‎ ‎∵∠A=90°，AB=2，‎ ‎∴AE==，BF=BE=2AE=，‎ ‎∴菱形BFDE的面积为：×2=．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．‎ ‎ ‎ ‎26．（10分）（2014•邵阳）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．‎ ‎（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；‎ ‎（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；‎ ‎（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）已知m，n的值，即已知抛物线解析式，求解y=0时的解即可．此时y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），所以也可直接求出方程的解，再代入m，n的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．‎ ‎（2）求∠ACB，我们只能考虑讨论三角形ABC的形状来判断，所以利用条件易得﹣1=mn，进而可以用m来表示A、B点的坐标，又C已知，则易得AB、BC、AC边长．讨论即可．‎ ‎（3）△ABC是等腰三角形，即有三种情形，AB=AC，AB=BC，AC=BC．由（2）我们可以用n表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵y=x2﹣（m+n）x+mn=（x﹣m）（x﹣n），‎ ‎∴x=m或x=n时，y都为0，‎ ‎∵m＞n，且点A位于点B的右侧，‎ ‎∴A（m，0），B（n，0）．‎ ‎∵m=2，n=1，‎ ‎∴A（2，0），B（1，0）．‎ ‎（2）∵抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）过C（0，﹣1），‎ ‎∴﹣1=mn，‎ ‎∴n=﹣，‎ ‎∵B（n，0），‎ ‎∴B（﹣，0）．‎ ‎∵AO=m，BO=﹣，CO=1‎ ‎∴AC==，‎ ‎ BC==，‎ ‎ AB=AO+BO=m﹣，‎ ‎∵（m﹣）2=（）2+（）2，‎ ‎∴AB2=AC2+BC2，‎ ‎∴∠ACB=90°．‎ ‎（3）∵A（m，0），B（n，0），C（0，mn），且m=2，‎ ‎∴A（2，0），B（n，0），C（0，2n）．‎ ‎∴AO=2，BO=|n|，CO=|2n|，‎ ‎∴AC==，‎ ‎ BC==|n|，‎ ‎ AB=xA﹣xB=2﹣n．‎ ‎①当AC=BC时，=|n|，解得n=2（A、B两点重合，舍去）或n=﹣2；‎ ‎②当AC=AB时，=2﹣n，解得n=0（B、C两点重合，舍去）或n=﹣；‎ ‎③当BC=AB时，|n|=2﹣n，‎ 当n＞0时，n=2﹣n，解得n=，‎ 当n＜0时，﹣n=2﹣n，解得n=﹣．‎ 综上所述，n=﹣2，﹣，﹣，时，△ABC是等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强联系的题目．‎ ‎ ‎