2009年浙江省丽水市中考数学试卷(全解全析)

2009年浙江省丽水市中考数学试卷(全解全析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1、（2009•丽水）在下列四个数中，比0小的数是（　　）‎ ‎ A、0.5 B、﹣2‎ ‎ C、1 D、3‎ 考点：有理数大小比较。‎ 分析：由于比0小的数是负数，所以只需在四个选项中找出负数即可．‎ 解答：解：四个答案中只有﹣2是负数．‎ 故选B．‎ 点评：本题很简单，只要熟知正数都大于0，负数都小于0即可．‎ ‎2、（2009•丽水）计算：a2•a3的结果是（　　）‎ ‎ A、a9 B、a8‎ ‎ C、a6 D、a5‎ 考点：同底数幂的乘法。‎ 分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n解答．‎ 解答：解：a2•a3=a2+3=a5．‎ 故选D．‎ 点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎3、（2009•丽水）2008年9月27日，神舟七号航天员翟志刚完成中国历史上第一次太空行走，他相对地球行走了5 100 000米路程，用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、51×105米 B、5.1×105米 ‎ C、5.1×106米 D、0.51×107米 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数，n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．‎ 解答：解：根据题意5 100 000=5.1×106米．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查学生对科学记数法的掌握．科学记数法要求前面的部分是大于或等于1，而小于10，小数点向左移动6位，应该为5.1×106．‎ ‎4、（2009•丽水）如图是护士统计一位甲型H1N1流感疑似病人的体温变化图，这位病人在16‎ 时的体温约是（　　）‎ ‎ A、37.8℃ B、38℃‎ ‎ C、38.7℃ D、39.1℃‎ 考点：折线统计图。‎ 分析：分析折线统计图即可作出判断．‎ 解答：解：由折线统计图可知：病人在16时的体温在38.5℃﹣39.2℃之间，约是38.7℃，故选C．‎ 点评：读懂统计图，从图中得到必要的信息是解决本题的关键．本题从图中可知：病人在16时的体温更接近15时的体温．‎ ‎5、（2009•丽水）如图，已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面积是（　　）‎ ‎ A、24π B、12π ‎ C、6π D、12‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ 解答：解：底面半径为3，则底面周长=6π，侧面积=‎1‎‎2‎×6π×4=12π．‎ 故选B．‎ 点评：本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎6、（2009•丽水）下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：平面镶嵌（密铺）。‎ 分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．‎ 解答：解：A、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而成的；‎ B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的；‎ C、从一个顶点处看，由正六边形和正方形镶嵌而成的；‎ D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的．‎ 故选D．‎ 点评：解决本题的关键是应从一个顶点处看是由哪几种正多边形镶嵌而成的．‎ ‎7、（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎ A、3 B、2‎ ‎ C、1 D、0‎ 考点：二次函数的性质。‎ 分析：根据抛物线的性质解题．‎ 解答：解：①抛物线开口向下，a＜0，所以①错误；‎ ‎②抛物线是关于对称轴对称的轴对称图形，所以②该函数的图象关于直线x=1对称，正确；‎ ‎③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0，也正确．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了抛物线的开口方向，轴对称性和与x轴的交点等知识．‎ ‎8、（2009•丽水）如图，点P在反比例函数y=‎1‎x（x＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′．则在第一象限内，经过点P′的反比例函数图象的解析式是（　　）‎ ‎ A、y=﹣‎5‎x（x＞0） B、y=‎5‎x（x＞0）‎ ‎ C、y=﹣‎6‎x（x＞0） D、y=‎6‎x（x＞0）‎ 考点：待定系数法求反比例函数解析式；坐标与图形变化-平移。‎ 专题：待定系数法。‎ 分析：因为点P在反比例函数y=‎1‎x（x＞0）的图象上，且横坐标为2，所以可知p（2，‎1‎‎2‎），将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P′的坐标为（4，‎3‎‎2‎）．‎ 解答：解：设反比例函数的解析式为y=‎kx（k≠0），函数经过点P′（4，‎3‎‎2‎），‎ ‎∴‎3‎‎2‎=k‎4‎，得k=6，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=‎6‎x．‎ 故选D．‎ 点评：用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．‎ ‎9、（2009•丽水）如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（　　）‎ ‎ A、9 B、10‎ ‎ C、11 D、12‎ 考点：由三视图判断几何体。‎ 分析：根据主视图以及俯视图，可得出最左边共有3行，根据俯视图可得出该几何体最左边由3列组成，故可得出小正方体最多块数．‎ 解答：解：综合主视图和俯视图，该几何体的底面最多应该有3+2=5个小正方体，第二层最多有3个小正方体，第三层最多有3个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最多块数是5+3+3=11个；故选C．‎ 点评：题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．‎ ‎10、（2009•丽水）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）‎ ‎ A、‎2‎‎17‎ B、‎‎2‎‎5‎ ‎ C、‎4‎‎2‎ D、7‎ 考点：勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定。‎ 专题：计算题。‎ 分析：过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等和勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出．‎ 解答：解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABD+∠CBE=90°‎ 又∠DAB+∠ABD=90°‎ ‎∴∠BAD=∠CBE 又AB=BC，∠ADB=∠BEC ‎∴△ABD≌△BCE ‎∴BE=AD=3‎ 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=‎25+9‎=‎34‎，‎ 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=‎34‎×‎2‎=2‎17‎；‎ 故选A．‎ 点评：此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形．运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）‎ ‎11、（2009•丽水）当 时，分式‎1‎x没有意义．‎ 考点：分式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：分式无意义的条件是分母等于0．‎ 解答：解：若分式没有意义，则分母为0，故x=0时，分式‎1‎x没有意义．故答案是x=0．‎ 点评：本题考查的是分式无意义的条件：当分母等于0时，分式无意义．‎ ‎12、（2009•丽水）如图，已知点A，B，C在⊙O上，若∠ACB=40°，则∠AOB= 度．‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：由圆周角定理知，∠AOB=2∠ACB=80°．‎ 解答：解：∵∠ACB=40°，‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=80°．‎ 点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎13、（2009•丽水）用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上 ，使得方程左边配成一个完全平方式．‎ 考点：解一元二次方程-配方法。‎ 专题：配方法。‎ 分析：要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 解答：解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，‎ ‎∴用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．‎ 点评：此题考查配方法的一般步骤：‎ ‎①把常数项移到等号的右边；‎ ‎②把二次项的系数化为1；‎ ‎③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．‎ 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．‎ ‎14、（2009•丽水）如图所示是两个各自分割均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时（若指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止），两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是 ．‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，让两个指针所指区域的数字和为偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．‎ 解答：解：列表得：‎ ‎∴两个指针所指区域的数字和为偶数的概率是‎7‎‎15‎．‎ 点评：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎15、（2009•丽水）将一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合．已知AB=AC=8cm，将△MED绕点A（M）逆时针旋转60°后（图2），两个三角形重叠（阴影）部分的面积约是 cm2（结果精确到0.1，‎3‎≈1.73）．‎ 考点：旋转的性质。‎ 分析：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，根据AC=8，就可求出GF的长，从而求解．‎ 解答：解：设BC，AD交于点G，过交点G作GF⊥AC与AC交于点F，设FC=x，在GF=FC=x，AF=‎3‎‎3‎x．‎ 所以x+‎3‎‎3‎x=8，则x=4（3﹣‎3‎）．‎ 所以S△AGC=‎1‎‎2‎×8×4（3﹣‎3‎）≈20.3cm2．‎ 点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．‎ ‎16、（2009•丽水）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为‎1‎‎2‎的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的‎1‎‎2‎）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1= ．‎ 考点：等边三角形的性质。‎ 专题：规律型。‎ 分析：认真观察图形，根据图形的规律变化可知，Pn﹣Pn﹣1即每次剪去的为1×（‎1‎‎2‎）n﹣1=（‎1‎‎2‎）n﹣1．‎ 解答：解：每1次剪去的总和为1，每2次剪去的为每1次剪去的‎1‎‎2‎，即‎1‎‎2‎；依次类推，可得每次剪去的为上一次剪去的‎1‎‎2‎；故Pn﹣Pn﹣1即每次剪去的为1×（‎1‎‎2‎）n﹣1=（‎1‎‎2‎）n﹣1．‎ 故填（‎1‎‎2‎）n﹣1．‎ 点评：此题考查了等边三角形的性质；要求学生的通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．‎ 三、解答题（共8小题，满分66分）‎ ‎17、（2009•丽水）计算：|﹣5|﹣‎4‎+2﹣1﹣sin30°．‎ 考点：实数的运算；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值。‎ 专题：计算题。‎ 分析：分别计算各部分再计算．‎ 解答：解：原式=5﹣2+‎1‎‎2‎﹣‎1‎‎2‎=3．‎ 点评：本题考查实数的运算能力，属基础题．‎ ‎18、（2009•丽水）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．‎ 考点：全等三角形的判定。‎ 专题：开放型。‎ 分析：本题中要证△ABC≌△DEF，已知的条件有一组对应边AB=DE（AD=BE），一组对应角∠A=∠FDE．要想证得全等，根据全等三角形的判定，缺少的条件是一组对应角（AAS或ASA），或者是一组对应边AC=EF（SAS）．只要有这两种情况就能证得三角形全等．‎ 解答：解：是假命题．‎ 以下任一方法均可：‎ ‎①添加条件：AC=DF．‎ 证明：∵AD=BE，‎ ‎∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．‎ 在△ABC和△DEF中，‎ AB=DE，‎ ‎∠A=∠FDE，‎ AC=DF，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（SAS）；‎ ‎②添加条件：∠CBA=∠E．‎ 证明：∵AD=BE，‎ ‎∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∠A=∠FDE，‎ AB=DE，‎ ‎∠CBA=∠E，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA）；‎ ‎③添加条件：∠C=∠F．‎ 证明：∵AD=BE，‎ ‎∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎∠A=∠FDE，‎ ‎∠C=∠F，‎ AB=DE，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS）．‎ 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎19、（2009•丽水）一群学生前往位于青田县境内的滩坑电站建设工地进行社会实践活动，男生戴白色安全帽，女生戴红色安全帽．休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现象，每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，而每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍．‎ 问题：根据这些信息，请你推测这群学生共有多少人？‎ 考点：二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用。‎ 专题：工程问题。‎ 分析：设其中的男生有x人，根据每位男生看到白色与红色的安全帽一样多，可以表示出女生有（x﹣1）人．再根据每位女生看到白色的安全帽是红色的2倍列方程求解．‎ 解答：解：设男生有x人，则女生有（x﹣1）人．‎ 根据题意得x=2（x﹣1﹣1）‎ 解得x=4‎ x﹣1=3．‎ 答：这群学生共有7人．‎ 点评：此题注意每个人看的时候，应当是这部分的人数减去1，才是看到的人数．‎ ‎20、（2009•丽水）甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：‎ ‎（1）他们在进行 米的长跑训练，在0＜x＜15的时 段内，速度较快的人是 ；‎ ‎（2）求甲距终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式；‎ ‎（3）当x=15时，两人相距多少米？在15＜x＜20的时段内，求两人速度之差．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：图表型。‎ 分析：根据图象信息可知，甲运动员图象经过（0，5000）（20，0）所以可用待定系数法求解．距离可根据图象求出，时间可求：20﹣15=5．速度=路程时间也就迎刃而解了．‎ 解答：解：（1）根据图象信息可知他们在进行5000米的长跑训练，（1分）‎ 直线倾斜程度越大表明变化大；甲．‎ ‎（2）设所求直线的解析式为：‎ y=kx+b（0≤x≤20），（1分）‎ 由图象可知：b=5000，当x=20时，y=0，‎ ‎∴0=20k+5000，解得k=﹣250．（1分）‎ 即y=﹣250x+5000（0≤x≤20）（1分）‎ ‎（3）当x=15时，y=﹣250x+5000=﹣250×15+5000=5000﹣3750=1250．（1分）‎ 两人相距：（5000﹣1250）﹣（5000﹣2000）=750（米）．（1分）‎ 两人速度之差：‎750‎‎20﹣15‎=150（米/分）．（1分）‎ 点评：找准本题突破点是甲运动员的图象很关键．‎ ‎21、（2009•丽水）一次测试九年级若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如图．请根据这个直方图回答下面的问题：‎ ‎（1）求参加测试的总人数，以及自左至右最后一组的频率；‎ ‎（2）若图中自左至右各组的跳绳平均次数分别为：137次，146次，156次，164次，177次．小丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是：（137+146+156+164+177）÷5=156．请你判断小丽的算式是否正确，若不正确，写出正确的算式（只列式不计算）；‎ ‎（3）如果测试所得数据的中位数是160次，那么测试次数为160次的学生至少有多少人？‎ 考点：频数（率）分布直方图；频数与频率；算术平均数；中位数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）从图中知，总人数为4+6+8+12+20=50人，‎ ‎（2）利用加权平均数的概念可知，小丽的算法是错误的，‎ ‎（3）中位数是第25和26的平均数．‎ 解答：解：（1）从图中可知，总人数为4+6+8+12+20=50人 自左至右最后一组的频率=12÷50=0.24；‎ ‎（2）不正确．‎ 正确的算法：（137×4+146×6+156×8+164×20+177×12）÷50；‎ ‎（3）∵组距为10，‎ ‎∴第四组前一个边界值为160，‎ 又∵第一、二、三组的频数和为18，‎ ‎∴50÷2﹣18+1=8，即次数为160次的学生至少有8人．‎ 点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎22、（2009•丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：‎ ‎（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴．农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？‎ ‎（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量不少于彩电数量的‎5‎‎6‎．‎ ‎①请你帮助该商场设计相应的进货方案；‎ ‎②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价﹣进价），最大利润是多少？‎ 考点：一元一次不等式的应用。‎ 专题：应用题；方案型。‎ 分析：（1）总售价×13%=（冰箱总售价+彩电总售价）×13%，根据此关系计算即可；‎ ‎（2）冰箱总价+彩电总价≤85000；冰箱的数量≥彩电数量的‎5‎‎6‎；先根据此不等关系求得x的取值范围．总利润为：冰箱总利润+彩电总利润．然后根据自变量的取值选取即可．‎ 解答：解：（1）（2420+1980）×13%=572‎ 答：可以享受政府572元的补贴．‎ ‎（2）①设冰箱采购x台，则彩电采购（40﹣x）台，根据题意得 ‎2320x+1900（40﹣x）≤85000 ①‎ x≥‎5‎‎6‎（40﹣x）②‎ 解不等式组得‎18‎‎2‎‎11‎≤x≤‎‎21‎‎3‎‎7‎ ‎∵x为正整数．‎ ‎∴x=19，20，21．‎ ‎∴该商场共有3种进货方案 方案一：冰箱购买19台，彩电购买21台 方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台；‎ 方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台．‎ ‎②设商场获得总利润y元，根据题意得 y=（2420﹣2320）x+（1980﹣1900）（40﹣x）=20x+3200‎ ‎∵20＞0‎ ‎∴y随x的增大而增大 ‎∴当x=21时，y最大=20×21+3200=3620‎ 答：方案三商场获得利润最大，最大利润是3620元．‎ 点评：‎ 解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系，及符合题意的不等关系式．要会利用函数的单调性结合自变量的取值范围求得利润的最大值．‎ ‎23、（2009•丽水）如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．‎ ‎（1）尺规作图：过A，D，C三点作⊙O（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；‎ ‎（2）求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；‎ ‎（3）若过A，D，C三点的圆的半径为‎3‎，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．‎ 考点：切线的判定；相似三角形的判定。‎ 专题：作图题；综合题。‎ 分析：（1）因为CD⊥AC，所以以AD为直径作圆即为⊙O；‎ ‎（2）BC过半径OC外端点C，要证BC是过A，D，C三点的圆的切线，只证OC⊥BC即可．‎ ‎（3）通过证明△BDP∽△BCO，再利用相似比即可求得DP的长．‎ 解答：解：‎ ‎（1）作AD中点O（1分）‎ 以点O为圆心，OA长为半径作圆．（1分）‎ ‎（2）证明：∵CD⊥AC，‎ ‎∴∠ACD=90°，‎ ‎∴AD是⊙O的直径．（1分）‎ 连接OC，‎ ‎∵∠A=∠B=30°，‎ ‎∴∠ACB=120°．‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴∠ACO=∠A=30°．（1分）‎ ‎∴∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°．（1分）‎ ‎∴BC⊥OC．‎ ‎∴BC是⊙O的切线．（1分）‎ ‎（3）存在．（1分）‎ ‎∵∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=120°﹣90°=30°，‎ ‎∴∠BCD=∠B．‎ 即DB=DC．‎ 又∵在Rt△ACD中，DC=AD •sin30°=‎3‎，‎ ‎∴BD=‎3‎．（1分）‎ 解法一：①过点D作DP1∥OC，则△P1DB∽△COB，P‎1‎DCO‎=‎BDBO．‎ ‎∵BO=BD+OD=‎2‎‎3‎，‎ ‎∴P1D=BDBO×OC=‎3‎‎3‎×‎3‎=‎3‎‎2‎．（1分）‎ ‎②过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∽△BCO，‎ ‎∴P‎2‎DOC‎=‎BDBC．‎ ‎∵BC=BO‎2‎﹣CO‎2‎‎=3‎，‎ ‎∴P2D=BDBC×OC=‎3‎‎3‎‎×‎‎3‎=1．（1分）‎ 解法二：①当△BP1D∽△BCO时，∠DP1B=∠OCB=90°，‎ 在Rt△BP1D中，DP1=BD •sin30°=‎3‎‎2‎．（1分）‎ ‎②当△BDP2∽△BCO时，∠P2DB=∠OCB=90°，‎ 在Rt△BP2D中，DP2=BD •tan30°=1．（1分）‎ 点评：此题考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用．‎ ‎24、（2009•丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为 ‎（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．‎ ‎（1）填空：菱形ABCD的边长是 、面积是 、高BE的长是 ；‎ ‎（2）探究下列问题：‎ ‎①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位．当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；‎ ‎②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t=4秒时的情形，并求出k的值．‎ 考点 ‎：二次函数综合题；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：探究型。‎ 分析：（1）已知C，D的坐标，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的长即菱形的边长．菱形的面积就是4个Rt△COD的面积．BE的长可用菱形的面积和菱形的边长来求得．‎ ‎（2）①求△APQ的面积关键是求出底边AP上的高，过Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根据相似三角形△AQG和△ABE来求出QG的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于S，t的函数关系式．然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值，以及对应的t的值．‎ ‎②若要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，那么△APQ需满足的条件为△APQ为等腰三角形．因此可分两种情况进行讨论：‎ 第一种情况：当Q在CB上时（图2）；‎ 由于AP=4＜BE，而BE是AD，BC间的最短的线段，因此只有一种情况即AQ=PQ，可仿照二的方法，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，可通过相似三角形△AMF∽△AOD∽△CQ1F，求出FM的长；而Q1M=BE，因此可求出Q1F的长，在直角三角形CQ1F中，可根据∠ACB的正切值求出CQ1的长，然后根据t=4即可求出k的值．‎ 第二种情况：当Q在AB上时；‎ 一，AP=AQ（图3），此时P，Q2关于x轴对称，已知了AP=t=4，因此Q运动的路程为CB+AB﹣AP=6，根据t=4即可求出k的值．‎ 二，AP=PQ（图4），如果过P作PM⊥AB于B，那么△ANP∽△AEB，可根据相似得出的比例线段求出AN的长，也就能求出AQ3的长，然后根据一的方法求出k的值．‎ 解答：解：‎ ‎（1）菱形ABCD的边长是5，面积是24，高BE的长是‎24‎‎5‎；‎ ‎（2）①由题意，得AP=t，AQ=10﹣2t．‎ 如图1，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE，∴QGBE‎=‎QABA，‎ ‎∴QG=‎48‎‎5‎‎﹣‎‎48t‎25‎，‎ ‎∴S=‎1‎‎2‎AP•QG=﹣‎24‎‎25‎t2+‎24‎‎5‎t ‎（‎5‎‎2‎≤t≤5）．‎ ‎∵S=﹣‎24‎‎25‎（t﹣‎5‎‎2‎）2+6（‎5‎‎2‎≤t≤5）．‎ ‎∴当t=‎5‎‎2‎时，S最大值为6．‎ ‎②要使△APQ沿它的一边翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形，根据轴对称的性质，只需△APQ为等腰三角形即可．‎ 当t=4秒时，∵点P的速度为每秒1个单位，∴AP=4．‎ 以下分两种情况讨论：‎ 第一种情况：当点Q在CB上时，∵PQ≥BE＞PA，∴只存在点Q1，使Q1A=Q1P．‎ 如图2，过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F，则AM=‎1‎‎2‎AP=2．‎ 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F，得FMAM‎=Q‎1‎FCQ‎1‎=ODAO=‎‎3‎‎4‎，∴FM=‎3‎‎2‎，‎ ‎∴Q‎1‎F=MQ‎1‎﹣FM=‎‎33‎‎10‎．‎ ‎∴CQ1=‎4‎‎3‎QF=‎22‎‎5‎．则‎1×tk•t‎=‎APCQ‎1‎，∴k=CQ‎1‎AP=‎‎11‎‎10‎．‎ 第二种情况：当点Q在BA上时，存在两点Q2，Q3，‎ 分别使AP=AQ2，PA=PQ3．‎ ‎①若AP=AQ2，如图3，CB+BQ2=10﹣4=6．‎ 则‎1×tk•t‎=‎APCB+BQ‎2‎，∴k=CB+BQ‎2‎AP‎=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎②若PA=PQ3，如图4，过点P作PN⊥AB，垂足为N，‎ 由△ANP∽△AEB，得ANAE‎=‎APAB．‎ ‎∵AE=AB‎2‎﹣BE‎2‎‎=‎‎7‎‎5‎，∴AN=‎28‎‎25‎．‎ ‎∴AQ3=2AN=‎56‎‎25‎，∴BC+BQ3=10﹣‎‎56‎‎25‎‎=‎‎194‎‎25‎ 则‎1×tk•t‎=‎APCB+BQ‎3‎．∴k=CB+BQ‎3‎AP=‎‎97‎‎50‎．‎ 综上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为‎11‎‎10‎或‎3‎‎2‎或‎97‎‎50‎．‎ 点评：本题主要考查了菱形的性质，图形的翻折变换，相似三角形的性质以及二次函数等知识点，要注意（3）中，要跟Q点位置的不同分情况进行讨论，不要漏解．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ bjy；zhehe；xiu；CJX；ln_86；sch；feng；cook2360；huangling；lanchong；算术；zhjh；lanyuemeng；fuaisu；wdxwzk；csiya；MMCH；shenzigang；kuaile；leikun；zcx；HJJ；hnaylzhyk；mmll852；lzhzkkxx；lihongfang；zzz0929；wangcen；137-hui。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月19日