2020年高中数学第四章导数的概念和几何意义
4．1.3 导数的概念和几何意义
一、基础达标
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线
( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案 B
2．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
( )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)
kA，即f′(xB)>f′(xA)．
3．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
( )
A．4 B．16 C．8 D．2
解析 在点A处的切线的斜率即为曲线y＝2x2在x＝2时的导数，由导数定义可求y′＝4x，∴f′(2)＝8.
答案 C
4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为
( )
A．f(x)＝(x－1)2＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
答案 A
解析 分别求四个选项的导函数分别为f′(x)＝2(x－1)＋3；f′(x)＝2；
4
f′(x)＝4(x－1)；f′(x)＝1.
5．抛物线y＝x2＋x＋2上点(1,4)处的切线的斜率是________，该切线方程为____________．
答案 3 3x－y＋1＝0
解析 Δy＝(1＋d)2＋(1＋d)＋2－(12＋1＋2)＝3d＋d2，故y′|x＝1＝
＝ (3＋d)＝3.
∴切线的方程为y－4＝3(x－1)，
即3x－y＋1＝0.
6．若曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3，则这条切线方程为____________．
答案 4x－y－5＝0
解析 ∵f′(x)＝＝
＝＝ (2x＋d)＝2x.
设切点坐标为(x0，y0)，则由题意知f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2，代入曲线方程得y0＝3，故该切线过点(2,3)且斜率为4.所以这条切线方程为
y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.
7．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
解 ∵f′(3)＝
＝ ＝ (d2＋9d＋27)＝27，
∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×2×54＝54.
二、能力提升
8．曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为
( )
A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5
C．y＝3x＋5 D．y＝2x
答案 A
4
解析
＝－Δx2＋3.
Δx→0时，－Δx2＋3→3.
∴f′(1)＝3.即曲线在(1,2)处的切线斜率为3.
所以切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.
9．函数y＝f(x)图象在M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
答案 3
解析 由已知切点在切线上．
∴f(1)＝×1＋2＝.
切线的斜率f′(1)＝.∴f(1)＋f′(1)＝3.
10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程为x－y＋1＝0，则a，b的值分别为________，________.
答案 1 1
解析 ∵点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，
∴－b＋1＝0，b＝1.
又＝＝a＋Δx，
∴f′(0)＝a＝1.
11．已知曲线y＝x3＋1，求过点P(1,2)的曲线的切线方程．
解 设切点为A(x0，y0)，则y0＝x＋1.
＝＝
Δx2＋3x0Δx＋3x.
∴f′(x0)＝3x，切线的斜率为k＝3x.
点(1,2)在切线上，∴2－(x＋1)＝3x(1－x0)．∴x0＝1或x0＝－.
当x0＝1时，切线方程为3x－y－1＝0，
当x0＝－时，切线方程为3x－4y＋5＝0.
所以，所求切线方程为3x－y－1＝0或3x－4y＋5＝0.
12．求抛物线y＝x2的过点P(，6)的切线方程．
4
解 由已知得，＝2x＋d，
∴当d→0时，2x＋d→2x，
即y′＝2x，
设此切线过抛物线上的点(x0，x)，
又因为此切线过点(，6)和点(x0，x)，
其斜率应满足＝2x0，
由此x0应满足x－5x0＋6＝0.
解得x0＝2或3.
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)．
所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．
化简得4x－y－4＝0,6x－y－9＝0，
此即是所求的切线方程．
三、探究与创新
13．求垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x3＋3x2－5相切的直线方程．
解 设切点为P(a，b)，函数y＝x3＋3x2－5的导数为y′＝3x2＋6x.故切线的斜率
k＝y′|x＝a＝3a2＋6a＝－3，得a＝－1，代入y＝x3＋3x2－5得，b＝－3，即
P(－1，－3)．故所求直线方程为y＋3＝－3(x＋1)，即3x＋y＋6＝0.
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