2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性

2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性

www.ks5u.com 第三节　函数的奇偶性与周期性 最新考纲 考情分析 ‎1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．‎ ‎2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性．‎ ‎3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.‎ ‎1.函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常与函数的单调性、零点等性质交汇命题．‎ ‎2．题型多以客观题为主，一般为容易题，但有时难度也会很大.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　　　　　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原 点对称 口诀 记忆 奇偶性有特征，定义域要对称；‎ 奇函数，有中心，偶函数，有对称.‎ 奇偶性的五个重要结论 ‎(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.‎ ‎(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．‎ ‎(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．‎ ‎(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．‎ ‎(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．‎ 知识点二　　　　　　函数的周期性 ‎1．周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．‎ ‎2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．‎ ‎1.周期性的四个常用结论 设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.‎ ‎(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为‎2a；‎ ‎(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为‎2a；‎ ‎(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为‎2a；‎ ‎(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为‎2a.‎ ‎2．对称性的三个常用结论 ‎(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x ‎)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎(2)若对于R上的任意x都有f(‎2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(‎2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．‎ ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　×　)‎ ‎(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　√　)‎ ‎(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　√　)‎ ‎(4)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　√　)‎ 解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且f(0)＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．‎ ‎(2)因为y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－x)，可知x＝a为对称轴．‎ ‎(3)因为函数具有奇偶性，所以定义域一定关于原点对称，而定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性．‎ ‎(4)由周期函数的定义可知正确．‎ ‎2.小题热身 ‎(1)下列函数中为偶函数的是(　B　)‎ A．y＝x2sinx B．y＝x2cosx C．y＝|lnx| D．y＝2－x 解析：根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x ‎)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．‎ ‎(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　A　)‎ A．－2　　　　B．‎0　‎ 　　　C．1　 　　　D．2‎ 解析：f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.‎ ‎(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 015)＝(　D　)‎ A．5 B. ‎ C．2 D．－2‎ 解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.‎ ‎(4)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，那么a＋b的值是.‎ 解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,‎2a]上的偶函数，‎ ‎∴a－1＋‎2a＝0，∴a＝.‎ 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.‎ ‎(5)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝1.‎ 解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，∴f＝f＝f＝－4×2＋2＝－1＋2＝1.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　函数的奇偶性 命题方向1　　　　函数奇偶性的判断 ‎【例1】　(1)下列函数为偶函数的是(　　)‎ A．y＝sinx B．y＝ln(－x)‎ C．y＝ex D．y＝ln ‎(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sinx ‎【解析】　(1)由函数奇偶性的定义知D中的函数为偶函数．‎ ‎(2)对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数．‎ ‎【答案】　(1)D　(2)D 命题方向2　　　　利用奇偶性求函数值或解析式 ‎【例2】　(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.‎ ‎【解析】　当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln2)＝e－aln2＝()a＝8，所以a＝－3.‎ ‎【答案】　－3‎ 命题方向3　　　　利用奇偶性求参数 ‎【例3】　(2020·广州调研)已知函数f(x)＝＋a为奇函数，则实数a＝________.‎ ‎【解析】　易知f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，‎ 即＋a＝－－a，所以‎2a＝－－＝－－＝－1，所以a＝－.‎ ‎【答案】　－ 方法技巧 与函数奇偶性有关的问题及解题策略 (1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.‎ (2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式.‎ (3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值求解.对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解.‎ ‎1．(方向1)下列函数为偶函数的是(　B　)‎ A．y＝tan B．y＝x2＋e|x|‎ C．y＝x|x| D．y＝ln|x|－sinx 解析：对于A，显然是非奇非偶函数；对于B，f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝f(x)为偶函数；对于C，f(－x)＝－x|－x|＝－f(x)为奇函数；对于D为非奇非偶函数．‎ ‎2．(方向2)已知奇函数f(x)＝则f(－2)的值等于－8.‎ 解析：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，则30－a＝0，∴a＝1.∴当x≥0时，f(x)＝3x－1，则f(2)＝32－1＝8，因此f(－2)＝－f(2)＝－8.‎ ‎3．(方向3)(2020·山东省名校联盟)若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为.‎ 解析：解法1：因为函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x)3(＋a)＝x3(＋a)，所以‎2a＝－(＋)，所以‎2a＝1，解得a＝.‎ 解法2：因为函数f(x)＝x3(＋a)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(＋a)＝13×(＋a)，解得a＝，经检验，当a＝时，函数f(x)为偶函数．‎ 考点二　函数的周期性 ‎【例4】　(1)已知函数f(x)＝ 如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝，那么f2 019‎ ‎(2)的值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎(2)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.‎ ‎【解析】　(1)∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，‎ ‎∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.‎ ‎(2)∵f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝2.‎ ‎∵当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，‎ ‎∴f(0)＝0，f(1)＝1，‎ ‎∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2 018)＝0，‎ f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝1.‎ 故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝1 010.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)1 010‎ 方法技巧 函数周期性有关问题的求解策略 ‎(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．‎ ‎(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．‎ ‎1．已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3‎ ‎－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f＝f，则f(6)等于(　D　)‎ A．－2 B．－1‎ C．0 D．2‎ 解析：当x>时，f＝f，即周期为1，则f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.‎ ‎2．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　B　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.同理可得，当4≤x<6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.当x7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．‎ 考点三　函数性质的综合应用 命题方向1　　　　　　函数奇偶性与单调性综合 ‎【例5】　(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则(　　)‎ ‎【答案】　C 命题方向2　　　　函数奇偶性、周期性与单调性的综合 ‎【例6】　定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a>b>c B．c>a>b C．b>c>a D．a>c>b ‎【解析】　∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.‎ ‎【答案】　D 方法技巧 ‎(1)函数单调性与奇偶性的综合，常利用奇、偶函数的图象的对称性，以及奇、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性的关系求解．‎ ‎(2)函数周期性与奇偶性的综合，此类问题多是求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转换到已知函数解析式的函数的定义域内求解．‎ ‎(3)函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，在解题时，往往需要先借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．‎ ‎1．(方向1)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　D　)‎ A．[－2,2] B．[－1,1]‎ C．[0,4] D．[1,3]‎ 解析：由已知，得f(－1)＝1，使－1≤f(x)≤1成立的x满足－1≤x≤1，所以由－1≤x－2≤1得1≤x≤3，即使－1≤f(x－2)≤1成立的x满足1≤x≤3.‎ ‎2．(方向2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　D　)‎ A．f(－25)0，f(x)单调递增，‎ 所以f(x)∈[1，e2－2]，故a∈[1，e2－2]．‎ 解法2：若存在≤x0≤e，使得g(x0)＝－h(x0)，‎ 则a－x＝－2lnx0，‎ 只需函数y＝x2－a与y＝2lnx在上有公共点即可，借助函数的凹凸性可得a∈[1，e2－2]．‎