高三数学（文数）总复习练习专题十三 圆锥曲线与方程

高三数学（文数）总复习练习专题十三 圆锥曲线与方程

‎1．(2015· 广东，8，易)已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．9‎ ‎【答案】　B　由F1为左焦点可知焦点在x轴上，‎ ‎∴25＞m2.∵F1(－4，0)，∴c＝4，‎ ‎∴m2＝25－16＝9，∴m＝3，选B.‎ ‎2．(2015·浙江，7，中)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎【答案】　C　由题可知射线AP以AB为轴旋转，形成一个以A为顶点，AP为母线的圆锥，点P的轨迹是平面α截圆锥所得的截面，为椭圆．‎ ‎3．(2015·安徽，20，13分，中)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.‎ 解：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.‎ 进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.‎ ‎(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.‎ 又＝(－a，b)，从而有·＝‎ ‎－a2＋b2＝(5b2－a2)．‎ 由(1)的计算结果可知a2＝5b2，所以·＝0，故MN⊥AB.‎ ‎4．(2015· 北京，20，14分，难)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；‎ ‎(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．‎ 解：(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ 所以a＝，b＝1，c＝.‎ 所以椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)．‎ 直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．‎ 令x＝3，得M(3，2－y1)．‎ 所以直线BM的斜率kBM＝＝1.‎ ‎(3)直线BM与直线DE平行．证明如下：‎ 当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.‎ 又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，‎ 所以BM∥DE.‎ 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝(x－2)．‎ 令x＝3，得点M.‎ 由 得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 直线BM的斜率kBM＝.‎ 因为kBM－1＝‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝0，‎ 所以kBM＝1＝kDE.‎ 所以BM∥DE.‎ 综上可知，直线BM与直线DE平行．‎ ‎1．(2012·上海，16，易)对于常数m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　B　方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，常数m，n的取值应满足 所以，由mn>0得不到方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆，如m＜0，n＜0时，方程不表示任何图形，因而是不充分条件；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn>0，因而是必要条件，故“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．‎ ‎2．(2013·大纲全国，8，易)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)‎ A.＋y2＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】　C　由题意可得 解得a2＝4，b2＝3，‎ 故椭圆方程为＋＝1，故选C.‎ ‎3．(2013·课标Ⅱ，5，易)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　方法一：如图，‎ 在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，‎ ‎|F1F2|＝2c，‎ ‎∴|PF1|＝＝，‎ ‎|PF2|＝2c·tan 30°＝.‎ ‎∵|PF1|＋|PF2|＝2a，‎ 即＋＝2a，可得c＝a.‎ ‎∴e＝＝.‎ 方法二(特殊值法)：在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，‎ ‎∵∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2，|F1F2|＝.‎ ‎∴e＝＝＝.故选D.‎ ‎4．(2014·江西，14，难)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．‎ ‎【解析】　不妨设A在x轴上方，由于AB过F2且垂直于x轴，因此可得A，B，由OD∥F2B，O为F1F2的中点可得D，所以＝，＝，又AD⊥F1B，所以·＝－2c2＋＝0，即3b4＝4a2c2，又b2＝a2－c2，所以可得(a2－c2)＝2ac，两边同时除以a2，得 e2＋2e－＝0，解得e＝或－，又e∈(0，1)，故椭圆C的离心率为.‎ ‎【答案】　 ‎5．(2014·课标Ⅱ，20，12分，中)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.‎ ‎(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.‎ 解：(1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.‎ 将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，‎ 解得＝或＝－2(舍去)．‎ 故C的离心率为.‎ ‎(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点，故＝4，即 b2＝4a，①‎ 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.‎ 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则 即 代入C的方程，得＋＝1.②‎ 将①及c＝代入②得 ＋＝1.‎ 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.‎ 考向1　椭圆定义的应用 椭圆的定义及理解 ‎(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．‎ ‎(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数．‎ 当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．‎ ‎(3)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2称作焦点三角形．‎ ‎ (1)(2015·山东枣庄模拟，6)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 ‎(2)(2015·河南郑州二模，14)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________．‎ ‎(3)(2014·辽宁，15)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．‎ ‎【解析】　(1)由条件知|PM|＝|PF|.‎ ‎∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.‎ ‎∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．‎ ‎(2)由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，⊥，‎ ‎∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，‎ ‎∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2，‎ ‎∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.‎ ‎∴|PF1|·|PF2|＝2b2，‎ ‎∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2b2＝b2＝9.‎ ‎∴b＝3.‎ ‎(3)根据已知条件画出图形，如图．‎ 设MN的中点为P，F1，F2为椭圆C的焦点，连接PF1，PF2.显然PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，‎ ‎∴|AN|＋|BN|＝2|PF1|＋2|PF2|＝2(|PF1|＋|PF2|)＝2×2a＝2×6＝12.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)3　(3)12‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是将题目的条件转化为动点到两定点距离和为常数，进而利用椭圆定义解答，注意常数2a>|F1F2|这一条件；解题(2)的关键是抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用⊥求出|PF1|·|PF2|的值，进而求解；解题(3)的关键是画出图形，利用三角形中位线结合椭圆定义求解．‎ ‎ 椭圆定义的应用技巧 ‎(1)椭圆定义的应用主要有两个方面，一是当P在椭圆上时，解决与焦点距离|PF1|，|PF2|有关的问题；二是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆．‎ ‎(2)与焦点三角形有关的计算或证明常利用正、余弦定理，|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．例如，已知∠F1PF2＝θ时，对△F1PF2的处理方法：①定义式的平方：(|PF1|＋|PF2|)2＝(2a)2，②余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ，③面积公式：S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin θ.‎ ‎(1)(2014·浙江丽水模拟，5)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎(2)(2014·河北保定一模，14)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．‎ ‎(1)【答案】　A　由椭圆定义知，‎ 两式相加得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝16，‎ 即△AF1B周长为16，又因为在△AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6.‎ ‎(2)【解析】　设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.‎ 所以|PC1|＋|PC2|＝10>|C1C2|，‎ 即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上．‎ 得点P的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎【答案】　＋＝1‎ 考向2　求椭圆的标准方程 ‎1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义，通过建立适当的坐标系得出的．其形式有两种：‎ ‎(1)当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ ‎(2)当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．‎ ‎2．与椭圆的标准方程有关的注意问题 ‎(1)方程中a，b满足a>b>0，其中c2＝a2－b2.‎ ‎(2)在＋＝1和＋＝1两个方程中都有a>b>0的条件，要分清焦点的位置，主要看含x2和y2的项的分母的大小．例如，椭圆＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，m>n时表示焦点在x轴上的椭圆；m0，B>0且A≠B)．‎ ‎②与椭圆＋＝1共焦点的椭圆可设为＋＝1(k>－m2，k>－n2)．‎ ‎③与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为＋＝t1(t1>0，焦点在x轴上)或＋＝t2(t2>0，焦点在y轴上)．‎ ‎(3)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤 ‎①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；‎ ‎②设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或 ＋＝1(a＞b＞0)；‎ ‎③找关系：根据已知条件，建立方程组；‎ ‎④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．‎ ‎(2015·山西太原质检，20，12分)求满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；‎ ‎(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点；‎ ‎(3)经过两点，.‎ 解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2>0)，∵椭圆过点(2，－)，∴t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.‎ 故所求椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(2)由于焦点的位置不确定，∴设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，‎ 由已知条件得 解得a＝4，c＝2，∴b2＝12.‎ 故椭圆方程为＋＝1或＋＝1.‎ ‎(3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)，‎ 由 ‎ 解得m＝，n＝.‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.‎ 考向3　椭圆几何性质的应用 椭圆的几何性质 标准方程 ＋＝1‎ ‎(a>b>0)‎ ＋＝1‎ ‎(a>b>0)‎ 图　形 性质 范　围 ‎－a≤x≤a ‎－b≤y≤b ‎－b≤x≤b ‎－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶　点 A1(－a，0)，A2(a，0)‎ B1(0，－b)，B2(0，b)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ B1(－b，0)，B2(b，0)‎ 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦　距 ‎|F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0，1)‎ a，b，c的关系 a2＝b2＋c2‎ F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则a－c≤|PF1|≤a＋c，a－c≤|PF2|≤a＋c.‎ ‎ (2014·天津，18，13分)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|＝|F1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2，求椭圆的方程．‎ ‎【思路导引】　(1)根据条件转化为关于a，c的关系求解；(2)利用(1)中离心率的值，可将椭圆方程a2，b2用c2表示，设出P点坐标(x0，y0)，表示出，，利用以线段PB为直径的圆过点F1，可得·＝0，得出x0，y0的关系，结合P在椭圆上，解出x0，y0用c表示．从而求出圆心、半径，并用c表示，再利用l与圆相切及|MF2|＝2，结合勾股定理求出c，得椭圆方程．‎ ‎【解析】　(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)，‎ 由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2，‎ 又b2＝a2－c2，则＝.‎ 所以椭圆的离心率e＝.‎ ‎(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.‎ 故椭圆方程为＋＝1.‎ 设P(x0，y0)．‎ 由F1(－c，0)，B(0，c)，‎ 有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．‎ 由已知，有·＝0，‎ 即(x0＋c)c＋y0c＝0.‎ 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①‎ 因为点P在椭圆上，故＋＝1.②‎ 由①和②可得3x＋4cx0＝0.‎ 而点P不是椭圆的顶点，‎ 故x0＝－c，‎ 代入①得y0＝，即点P的坐标为.‎ 设圆的圆心为T(x1，y1)，‎ 则x1＝＝－c，y1＝＝c，‎ 进而圆的半径r＝＝c.‎ 由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，‎ 又|MF2|＝2，故有＋＝8＋c2，解得c2＝3.‎ 所以所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎ 1.求椭圆的离心率的方法 ‎(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值；‎ ‎(2)构造a，c的方程，解出e.由已知条件得出关于a，c的方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；‎ ‎(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．‎ ‎2．椭圆几何性质的应用技巧 ‎(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．‎ ‎(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切．‎ ‎(1)求椭圆C1的离心率；‎ ‎(2)若·的最大值为49，求椭圆C1的方程．‎ 解：(1)由题意可知，直线l的方程为 bx＋cy－(3－)c＝0，‎ 因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝.‎ ‎(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，‎ 则＋＝1(c>0)，‎ 又因为· ‎＝(＋)·(＋)‎ ‎＝2－2‎ ‎＝x2＋(y－3)2－1‎ ‎＝－(y＋3)2＋2c2＋17(－c≤y≤c)．‎ ‎①当c≥3时，‎ ‎(·)max＝17＋2c2＝49，‎ 解得c＝4，‎ 此时椭圆方程为＋＝1；‎ ‎②当03，故舍去．‎ 综上所述，椭圆C1的方程为＋＝1.‎ ‎1．(2015·安徽淮南模拟，7)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　)．‎ A．－21 B．21‎ C．－或21 D.或21‎ ‎【答案】　C　若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，‎ 由＝，即＝，‎ 解得k＝－；‎ 若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，‎ 由＝，即＝，解得k＝21.‎ 思路点拨：根据题意，对椭圆的焦点在x轴与y轴分类讨论是关键．‎ ‎2．(2015·广东汕头一模，9)已知椭圆＋＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有(　　)‎ A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 ‎【答案】　C　当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理当∠PF2F1‎ 为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P有6个．‎ ‎3．(2015·湖北武汉二模，5)“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　B　要使方程＋＝1表示椭圆，应满足解得－3＜m＜5且m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．‎ ‎4．(2014·湖南六校联考，7)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t，0)为一个切点，则(　　)‎ A．t＝2 B．t>2‎ C．t<2 D．t与2的大小关系不确定 ‎【答案】　A　如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.选A.‎ ‎5．(2015·山东枣庄一模，14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线与椭圆交于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．‎ ‎【解析】　根据题意，△ABF2的周长为16，即|BF2|＋|AF2|＋|BF1|＋|AF1|＝16，根据椭圆的性质，有4a＝16，即a＝4.由椭圆的离心率为，知＝，则将a＝4代入可得c＝2，则b2＝a2－c2＝8，∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎【答案】　＋＝1‎ ‎6．(2015·河南洛阳二模，13)椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．‎ ‎【解析】　设椭圆的右焦点为E，如图，由椭圆的定义得△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|；‎ ‎∵|AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，‎ 当AB过点E时取等号，‎ ‎∴△FAB的周长＝|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a，‎ ‎∴△FAB的周长的最大值为4a＝12，‎ ‎∴a＝3，‎ ‎∴e＝＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎7．(2014·广东广州三模，20，14分)设椭圆M：＋＝1(a>)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＋2＝0(其中O为坐标原点)．‎ ‎(1)求椭圆M的方程；‎ ‎(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值．‎ 解：(1)由题意知A，F1，由＋2＝0，得＝2，解得a2＝6.所以椭圆M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)方法一：设圆N：x2＋(y－2)2＝1的圆心为N，‎ 则·＝(－)·(－)‎ ‎＝(－－)·(－)‎ ‎＝　2－　2＝　2－1.‎ 设P(x0，y0)是椭圆M上一点，‎ 则＋＝1，即x＝6－3y.‎ 因为点N(0，2)．‎ 所以　2＝x＋(y0－2)2‎ ‎＝－2(y0＋1)2＋12.‎ 因为y0∈[－，]，所以当y0＝－1时，　2取得最大值12.所以·的最大值为11.‎ 方法二：设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，P(x0，y0)，因为E，F的中点坐标为(0，2)，则 所以·＝(x1－x0)(x2－x0)＋(y1－y0)(y2－y0)‎ ‎＝(x1－x0)(－x1－x0)＋(y1－y0)(4－y1－y0)‎ ‎＝x－x＋y－y＋4y1－4y0‎ ‎＝x＋y－4y0－(x＋y－4y1)．‎ 因为点E在圆N上，所以x＋(y1－2)2＝1，即x＋y－4y1＝－3.‎ 又因为点P在椭圆M上，所以＋＝1，即x＝6－3y.‎ 所以·＝－2y－4y0＋9＝－2(y0＋1)2＋11.‎ 因为y0∈[－，]，‎ 所以当y0＝－1时，·取得最大值11.‎ ‎1．(2015·安徽，6，易)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1 B.－y2＝1‎ C．x2－＝1 D.－y2＝1‎ ‎【答案】　A　根据双曲线渐近线方程的定义可知选A，亦可利用下列方法：对于选项A的双曲线方程，令x2－＝0，可得渐近线方程为y＝±2x.‎ ‎2．(2015·湖南，6，易)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，点(3，－4)在第四象限．‎ 所以(3，－4)在y＝－x上，‎ 所以＝，‎ 所以e2＝＝1＋＝1＋＝.‎ 所以e＝.‎ ‎3．(2015·湖北，9，中)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m＞0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则(　　)‎ A．对任意的a，b，e1＞e2‎ B．当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2‎ C．对任意的a，b，e1＜e2‎ D．当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2‎ ‎【答案】　D　(特殊值法)令a＝1，b＝2，m＝1，此时e1＝，e2＝，∴e1＞e2，排除B，C.‎ 令a＝2，b＝1，m＝1，此时e1＝，e2＝，∴e1＜e2，排除A.‎ ‎4．(2015·山东，15，中)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．‎ ‎【解析】　∵直线过右焦点(c，0)且与渐近线y＝x平行，∴直线方程为y＝(x－c)，将x＝2a代入得点P的纵坐标为y＝(2a－c)，将点P代入双曲线方程，可得＝3，化简得c2－4ac＋a2＝0，两边同除以a2得，e2－4e＋1＝0，解得e＝2±.又e＞1，‎ ‎∴e＝2＋.‎ ‎【答案】　2＋ 思路点拨：先求出直线方程，然后利用直线方程表示出点P的坐标，将此坐标代入双曲线方程，化简整理得关于a，c的方程，最终化为关于离心率e的方程，解方程得e的值．‎ ‎5．(2015·江苏，12，中)在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．‎ ‎【解析】　因为直线x－y＋1＝0与双曲线的渐近线y＝x平行，且两平行线间的距离为，由图形 知，双曲线右支上的动点P到直线x－y＋1＝0的距离的最小值无限趋近于，要使距离d大于c恒成立，只需c≤即可．故c的最大值是.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2015· 北京，12，易)已知(2，0)是双曲线x2－＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________．‎ ‎【解析】　∵(2，0)是双曲线x2－＝1(b>0)的一个焦点，∴c＝2，‎ ‎∴b2＝c2－a2＝22－1＝3，∴b＝.‎ ‎【答案】　 ‎7．(2015·课标Ⅱ，15，中)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．‎ ‎【解析】　设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点(4，)，∴λ＝4－3＝1.‎ ‎∴所求双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎【答案】　－y2＝1‎ ‎8．(2015·课标Ⅰ，16，中)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．‎ ‎【解析】　由题意作出图形如图所示，可知点F(3，0)，则另一焦点F1(－3，0)，由双曲线的定义应有|PF|＝|PF1|＋2a＝|PF1|＋2.所以△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF1|＋2，根据线段的性质，应有|AP|＋|PF1|≥|AF1|，故当点P位于点P1位置时，△APF的周长最小，AF1的方程为y＝2(x＋3)，将其代入双曲线方程解得P1的坐标为(－2，2)，求得三角形周长最小时，＝，则此时△APF的面积为△ AF1F面积的，为12.‎ ‎【答案】　12 思路点拨：画出图形分析，利用双曲线的定义|PF|＝|PF1|＋2a(F1为另一焦点)，然后利用三角形的三边关系找出△APF周长最小时点P的位置，从而求出面积．‎ ‎1．(2014·课标Ⅰ，4，易)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ ‎【答案】　D　由已知可知e2＝1＋＝1＋＝4，∴a2＝1.又∵a>0，∴a＝1.故选D.‎ ‎2．(2013·课标Ⅰ，4，易)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎【答案】　C　∵＝＝＝，‎ ‎∴C的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.‎ ‎3．(2014·广东，8，易)若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)‎ A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 ‎【答案】　D　若0＜k＜5，则5－k＞0，16－k＞0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，‎ 且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等．故选D.‎ ‎4．(2014·大纲全国，11，中)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则C的焦距等于(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 ‎【答案】　C　由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为得＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.‎ ‎5．(2014·江西，9，中)过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】　A　由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可设点A的坐标为(a，b)．设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，得a2－2ac＋b2＝0，又知c2＝a2＋b2，所以得a2－2ac＋c2－a2＝0，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1，故选A.‎ ‎6．(2014·浙江，17，难)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．‎ ‎【解析】　由双曲线的方程可知，它的渐近线方程为y＝x与y＝－x，分别与x－3y＋m＝0，联立方程组，解得A，B.‎ 由|PA|＝|PB|知，点P在线段AB的垂直平分线上．设AB的中点为Q，‎ 则Q，‎ PQ与已知线段AB垂直，代入化简可得2a2＝8b2＝8(c2－a2)，‎ 即＝，e＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎7．(2014·山东，15，难)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎【解析】　由已知F，A(a，0)，‎ 则|FA|＝＝c，‎ 所以＝c2－a2＝b2.又抛物线的准线方程为y＝－，联立 得＝2，解得x1＝a，x2＝－a，‎ 所以x1－x2＝2a＝2c，所以＝，‎ 所以＝＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎【答案】　y＝±x 考向1　双曲线定义的应用 双曲线的定义及理解 ‎(1)定义：平面上，到两定点的距离之差的绝对值为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹．两定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．‎ ‎(2)符号语言：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．‎ ‎(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．‎ 理解双曲线的定义要注意以下两点：①平面内的动点到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数；②这个常数要小于焦距|F1F2|.‎ ‎ (1)(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C．4 D. ‎(2)(2013·辽宁，15)已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．‎ ‎【思路导引】　(1)求曲线的离心率就是寻找关于a，c的关系式；(2)当遇到焦点三角形时，一定要考虑曲线的定义．‎ ‎【解析】　(1)∵|PF1|－|PF2|＝2a，‎ ‎∴(2a)2＝b2－3ab，即4a2＝b2－3ab，即4a2＋3ab－b2＝0，‎ ‎∴(4a－b)(a＋b)＝0，∴b＝4a.‎ 又c2＝b2＋a2，∴c2＝17a2，∴e2＝17，即e＝.‎ ‎(2)如图所示，设双曲线右焦点为F1，则F1与A重合，坐标为(5，0)，则|PF|＝|PF1|＋2a，|QF|＝|QF1|＋2a，‎ ‎∴|PF|＋|QF|＝|PQ|＋4a＝4b＋4a＝28，∴△PQF的周长为28＋4b＝44.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)44‎ ‎【点拨】　解题(1)的关键是找到a，b关系式，并转化为关于a，c的关系式；解(2)的关键是注意到|PQ|＞2a和A点是右焦点．‎ ‎ 双曲线定义的应用技巧 ‎(1)判定动点与两定点距离差的轨迹是否为双曲线．‎ ‎(2)用于解决双曲线上的点与焦点距离有关的问题．在圆锥曲线的问题中，充分应用定义来解决问题可以使解答过程简化．‎ ‎(2012·辽宁，15)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为__________．‎ ‎【解析】　由题意得，双曲线的实轴长为2，焦距为＝2.‎ ‎∵点P在双曲线上，‎ ‎∴||PF1|－|PF2||＝2.①‎ ‎∵PF1⊥PF2，‎ ‎∴2＋2＝8.②‎ ‎②－①2得2·＝4，‎ ‎∴(|PF1|＋|PF2|)2‎ ‎＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|‎ ‎＝12，‎ ‎∴|PF1|＋|PF2|＝2.‎ ‎【答案】　2 考向2　求双曲线的标准方程 ‎1．双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，通过建立适当的坐标系得出的，其形式为：‎ ‎(1)当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)．‎ ‎(2)当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)．‎ ‎①以上方程中a>0，b>0，且c2＝a2＋b2；‎ ‎②对于双曲线的方程＋＝1(mn<0)，要看清焦点的位置，只要看x2，y2的分母的正负，焦点在分母为正的坐标轴上(x轴或y轴)．例如，曲线－＝1(其中k<－4或k>3)，当k<－4时，表示焦点在y轴上的双曲线；当k>3时表示焦点在x轴上的双曲线．‎ ‎2．双曲线方程的几种常见设法 ‎(1)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．‎ ‎(2)若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)或n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为＋＝1(b2<λ0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0)‎ 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；‎ 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；‎ a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长 ‎2.等轴双曲线及性质 ‎(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎(2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直．‎ ‎3．点P(x0，y0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)的关系 ‎(1)P在双曲线内(含焦点部分)⇔－>1；‎ ‎(2)P在双曲线上⇔－＝1；‎ ‎(3)P在双曲线外(不含焦点部分)⇔－<1.‎ ‎ (1)(2013·浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)(2015·山东日照模拟，14)已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎【思路导引】　(1)主要考查双曲线的方程与性质，解题关键是由椭圆定义求出|AF2|－|AF1|＝2，从而找到a，c的关系式；解题(2)的关键是通过对称性解Rt△PF1F2，求出的值．‎ ‎【解析】　(1)焦点F1(－，0)，F2(，0)，在Rt△AF1F2中，|AF1|＋|AF2|＝4，①‎ ‎|AF1|2＋|AF2|2＝12，②‎ 联立①②可解得|AF2|－|AF1|＝2，‎ 即2a＝2，2c＝2，‎ 故双曲线的离心率e＝＝＝.‎ ‎(2)方法一：设F2(c，0)(c>0)，P(c，y0)，‎ 代入方程得y0＝±，‎ ‎∵PQ⊥x轴，∴|PQ|＝.‎ 在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，‎ ‎∴|F1F2|＝|PF2|，即2c＝.‎ 又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2或2a2＝－3b2(舍)．‎ ‎∵a>0，b>0，∴＝.‎ 故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 方法二：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，‎ ‎∴|PF1|＝2|PF2|.‎ 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，‎ 由已知易得|F1F2|＝|PF2|，‎ ‎∴2c＝2a，∴c2＝3a2＝a2＋b2，‎ ‎∴2a2＝b2或2a2＝－3b2(舍)，‎ ‎∵a>0，b>0，∴＝，‎ 故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)y＝±x ‎ 求双曲线离心率、渐近线问题的一般方法 ‎(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．‎ ‎(2)求渐近线时，利用c2＝a2＋b2转化为关于a，b的方程或不等式．双曲线渐近线的斜率与离心率的关系 k＝＝＝＝.‎ ‎(1)(2015·河南郑州质检，10)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎(2)(2014·江苏徐州调研，14)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．‎ ‎(1)【答案】　C　设|AB|＝x，由于△ABF2为等边三角形，‎ ‎∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝x，由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，而|BF1|－|BF2|＝(|AB|＋|AF1|)－|BF2|＝(x＋|AF1|)－x＝|AF1|＝2a，|AF2|－|AF1|＝x－2a＝2a，∴x＝4a.在△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝180°－∠BAF2＝180°－60°＝120°，由余弦定理得 cos∠F1AF2＝＝＝－，‎ 整理得5a2－c2＝－2a2，即c2＝7a2，‎ 又b2＝c2－a2＝6a2，‎ ‎∴渐近线方程为y＝±x＝±x.‎ ‎(2)【解析】　设∠F1PF2＝θ，‎ 由得 由余弦定理得 cos θ＝＝－e2.‎ ‎∵θ∈(0，π]，∴cos θ∈[－1，1)，‎ 即－1≤－e2<1，‎ 又e>1，∴10，b>0)右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋S△IF1F2成立，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．4 B. C．2 D. ‎【答案】　C　设c＝，△PF1F2的内切圆的半径为r，‎ 则|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，‎ S△IPF1＝|PF1|·r，‎ S△IPF2＝|PF2|·r，‎ S△IF1F2＝|F1F2|·r.‎ ‎∴由S△IPF1＝S△IPF2＋S△IF1F2，‎ 得(|PF1|－|PF2|)r＝×|F1F2|·r，∴c＝2a.‎ ‎∴双曲线的离心率为e＝＝2.‎ ‎7．(2015·江西南昌三模，8)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线C相交于A，B两点且＝3，则双曲线离心率的最小值为(　　)‎ A. B. C．2 D．2 ‎【答案】　C　因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点且＝3，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c，0)(c>0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，由图可知，x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a，3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2，故选C.‎ ‎8．(2014·浙江杭州模拟，8)已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是(　　)‎ A．x＝0 B.－＝1(x≥)‎ C.－＝1 D.－＝1或x＝0‎ ‎【答案】　D　动圆M与两圆C1，C2都相切，有四种情况：‎ ‎①动圆M与两圆都相外切；②动圆M与两圆都相内切；③动圆M与圆C1外切，与圆C2内切；④动圆M与圆C1内切，与圆C2外切．由①②，显然轨迹方程为x＝0；在③的情况下，设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r＋，|MC2|＝r－，故得|MC1|－|MC2|＝2；在④的情况下，同理可得|MC2|－|MC1|＝2.由③④得|MC1|－|MC2|＝±2，根据双曲线定义，可知点M的轨迹是以C1(－4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且a＝，c＝4，b2＝c2－a2＝14，故其方程为－＝1.由以上分析可知，D正确．‎ ‎9．(2014·山东济南二模，14)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．‎ ‎【解析】　设c＝，双曲线的右焦点为F′.则|PF|－|PF′|＝2a，|FF′|＝2c.‎ ‎∵E为PF的中点，O为FF′的中点，‎ ‎∴OE∥PF′，且|PF′|＝2|OE|.‎ ‎∵OE⊥PF，|OE|＝，‎ ‎∴PF⊥PF′，|PF′|＝a，‎ ‎∴|PF|＝|PF′|＋2a＝3a.‎ ‎∵|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，‎ ‎∴9a2＋a2＝4c2，∴＝.‎ ‎∴双曲线的离心率为.‎ ‎【答案】　 ‎10．(2015·江南十校联考，18，12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；‎ ‎(3)由(2)的条件，求△F1MF2的面积．‎ 解：(1)∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.‎ ‎∵双曲线过点(4，－)，‎ ‎∴16－10＝λ，即λ＝6.‎ ‎∴双曲线方程为x2－y2＝6.‎ ‎(2)证明：方法一：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，‎ ‎∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ‎∴kMF1＝，kMF2＝，‎ kMF1·kMF1＝＝－.‎ ‎∵点M(3，m)在双曲线上，‎ ‎∴9－m2＝6，m2＝3，‎ 故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.‎ ‎∴·＝0.‎ 方法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，‎ ＝(－2－3，－m)，‎ ＝(2－3，－m)，‎ ‎∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，‎ ‎∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，‎ ‎∴·＝0.‎ ‎(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4，‎ ‎△F1MF2的高h＝|m|＝，‎ ‎∴S△F1MF2＝6.‎ ‎1．(2015·陕西，3，易)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)‎ A．(－1，0)　　　　　　　B．(1，0)‎ C．(0，－1) D．(0，1)‎ ‎【答案】　B　∵y2＝2px(p>0)准线方程为x＝－，且准线过点(－1，1)，‎ ‎∴－＝－1，∴p＝2.‎ 故抛物线方程为y2＝4x，‎ ‎∴焦点坐标为(1，0)．‎ ‎2．(2015·课标Ⅰ，5，中)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　)‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】　B　依题意，椭圆的右焦点为(2，0)，又离心率为，所以a＝4，c＝2，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1，由题可知A，B两点的横坐标为－2，代入椭圆方程可得A，B纵坐标分别为3， －3，故|AB|＝6.选B. ‎ ‎3．(2015·福建，19，12分，中)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B.证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ 解：(1)由抛物线的定义得，‎ ‎|AF|＝2＋，‎ 因为|AF|＝3，即2＋＝3.‎ 解得p＝2.‎ 所以抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明：方法一：因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2.由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)．‎ 由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由 得2x2－5x＋2＝0.‎ 解得x＝2或x＝，从而B.‎ 又G(－1，0)，‎ 所以kGA＝＝，‎ kGB＝＝－.‎ 所以kGA＋kGB＝0，‎ 从而∠AGF＝∠BGF.‎ 所以点F到直线GA，GB的距离相等，‎ 故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ 方法二：设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，‎ 由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．‎ 由 得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，‎ 从而B.‎ 又G(－1，0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，‎ 从而r＝＝.‎ 又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，‎ 所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.‎ 所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．‎ ‎1．(2014·安徽，3，易)抛物线y＝x2的准线方程是(　　)‎ A．y＝－1 B．y＝－2‎ C．x＝－1 D．x＝－2‎ ‎【答案】　A　将抛物线方程化成标准方程为x2＝4y，焦点在y轴正半轴上，且2p＝4，即p＝2，因此准线方程为y＝－＝－1.‎ ‎2．(2014·辽宁，8，易)已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)‎ A．－ B．－1 C．－ D．－ ‎【答案】　C　由点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2，0)，∴kAF＝＝ －，故选C.‎ ‎3．(2013·课标Ⅰ，8，中)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．4‎ ‎【答案】　C　如图，设点P的坐标为(x0，y0)，‎ 由|PF|＝x0＋＝4，得x0＝3，代入抛物线方程得，‎ y＝4×3＝24，所以|y0|＝2，‎ 所以S△POF＝|OF||y0|‎ ‎＝××2＝2.故选C.‎ ‎4．(2014·上海，4，易)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．‎ ‎【解析】　∵c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，∴＝2，即抛物线的准线方程为x＝－2.‎ ‎【答案】　x＝－2‎ ‎5．(2012·陕西，14，中)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．‎ ‎【解析】　建立如图平面直角坐标系，‎ A，B是抛物线与水面的交点．‎ 据题意，点A的坐标为(－2，－2)．设抛物线的方程为x2＝py，把A的坐标代入得p＝－2，即抛物线的方程为x2＝－2y.‎ 当水位下降1(单位：米)时，水面的纵坐标为－3，‎ 把y＝－3代入抛物线的方程得x＝±.‎ ‎∴水位下降1米后，水面宽为2米．‎ ‎【答案】　2 ‎6．(2014·湖南，14，中)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是____________．‎ ‎【解析】　由题意知，机器人的运动轨迹是以(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，即y2＝4x.过P(－1，0)且斜率为k的直线方程为y－0＝k(x＋1)，‎ 联立得(kx＋k)2＝4x，‎ 即k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.‎ Δ＝(2k2－4)2－4k4＝4k4－16k2＋16－4k4＝－16k2＋16<0，‎ ‎∴k2>1，∴k>1或k<－1.‎ ‎【答案】　(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ ‎7．(2012·课标全国，20，12分，中)设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C 上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．‎ ‎(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ 解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，‎ 圆F的半径|FA|＝p.‎ 由抛物线定义可知A到l的距离 d＝|FA|＝p.‎ 因为△ABD的面积为4，所以 |BD|·d＝4，‎ 即·2p·p＝4，‎ 解得p＝－2(舍去)或p＝2.‎ 所以F(0，1)，‎ 圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.‎ ‎(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，‎ 所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.‎ 由抛物线定义知 ‎|AD|＝|FA|＝|AB|，‎ 所以∠ABD＝30°，‎ m的斜率为或－.‎ 当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.‎ 由于n与C只有一个公共点，‎ 故Δ＝p2＋8pb＝0.‎ 解得b＝－.‎ 因为直线m的截距b1＝，＝3，‎ 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 综上所述，坐标原点到m，n距离的比值为3.‎ 考向1　抛物线定义的应用 ‎1．抛物线的定义 平面内与一定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线定义的理解 抛物线的定义实质上实现了一种转化，即将抛物线上的点到焦点的距离转化为这个点到准线的距离，或者把抛物线上的点到准线的距离转化为这个点到焦点的距离，这种转化在相应的情况下都能起到化繁为简的作用，因此要特别注意抛物线的定义在解题中的重要应用．‎ ‎ (1)(2014·课标Ⅰ，10)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝ x0，则x0＝(　　)‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎(2)(2015·江西南昌质检，15)已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，若点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时，点P的坐标为________．‎ ‎【解析】　(1)由已知抛物线C：y2＝x的焦点F，准线方程为x＝－.由抛物线定义可知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即x0＝x0＋，∴x0＝1.‎ ‎(2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.‎ ‎∵＞2，∴A在抛物线内部．‎ 如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d有最小值，最小值为，‎ 即|PA|＋|PF|的最小值为，此时点P纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2)．‎ ‎【答案】　(1)A　(2)(2，2)‎ ‎ 与抛物线有关的最值问题的解题策略 与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．‎ ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”原理解决．‎ ‎(1)(2015·辽宁锦州一模，7)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　)‎ A．4 B．8 C．8 D．16‎ ‎(2)(2014·陕西延安模拟，8)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(1)【答案】　B　方法一：AF的直线方程为y＝－(x－2)，‎ 当x＝－2时，y＝4，∴A(－2，4)．‎ 将y＝4代入y2＝8x中，得x＝6，‎ ‎∴P(6，4)，‎ ‎∴|PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B.‎ 方法二：如图，∵PA⊥l，∴PA∥x轴，‎ 又∵直线AF的斜率为－，∴∠AFO＝60°，∴∠FAP＝60°，‎ 又由抛物线定义知|PA|＝|PF|，‎ ‎∴△PAF为等边三角形．‎ 又在Rt△AFF′中，|FF′|＝4，∴|FA|＝8，‎ ‎∴|PF|＝8.故选B.‎ ‎(2)A　如图，过A，B作准线l：x＝－的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB的距离为定值，∴＝.‎ 又∵△B1BC∽△A1AC，‎ ‎∴＝，由抛物线定义知＝＝，‎ ‎∴＝.‎ 由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－，‎ ‎∴直线AB的方程为 y－0＝(x－)．‎ 把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，‎ ‎∴|AF|＝|AA1|＝.‎ 故＝＝＝.故选A.‎ 考向2　求抛物线的方程 ‎1．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ 图形 顶点 ‎(0，0)‎ 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对于抛物线的标准方程，焦点坐标总是落在一次项未知数所在的坐标轴上，若系数为正，则落在正半轴上；若系数为负，则落在负半轴上．‎ ‎2．点P(x0，y0)和抛物线y2＝2px(p>0)的位置关系 ‎(1)P在抛物线内(含焦点部分)⇔y<2px0；‎ ‎(2)P在抛物线上⇔y＝2px0；‎ ‎(3)P在抛物线外(不含焦点部分)⇔y>2px0.‎ ‎3．抛物线焦点弦的性质 焦点弦：线段AB为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝；‎ ‎(2)y1y2＝－p2；‎ ‎(3)焦半径|AF|＝x1＋；‎ ‎(4)弦长l＝x1＋x2＋p.当弦AB⊥x轴时，弦长最短为2p，此时的弦又叫通径；‎ ‎(5)弦长l＝(θ为AB的倾斜角)．‎ ‎ (1)(2012·山东，11)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　)‎ A．x2＝y B．x2＝y C．x2＝8y D．x2＝16y ‎(2)(2015·浙江金华模拟，13)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P(－2，－4)的抛物线方程为________．‎ ‎【解析】　(1)∵－＝1的离心率为2，‎ ‎∴＝2，即＝＝4，∴＝.‎ x2＝2py的焦点坐标为，－＝1的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.‎ 由题意得＝2，‎ ‎∴p＝8.‎ 故C2的方程为x2＝16y.‎ ‎(2)由于点P在第三象限．‎ ‎①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，‎ 把点P(－2，－4)代入得(－4)2＝－2p×(－2)，‎ 解得p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.‎ ‎②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，‎ 把点P(－2，－4)代入得(－2)2＝－2p×(－4)．‎ 解得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y.‎ 综上可知抛物线方程为y2＝－8x或x2＝－y.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)y2＝－8x或x2＝－y ‎ 1.求抛物线方程的方法 ‎(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程．‎ ‎(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从统一角度出发，焦点在x轴上，设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上，设为x2＝by(b≠0)．‎ ‎2．求抛物线方程应注意的问题 ‎(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；‎ ‎(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；‎ ‎(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．‎ ‎(1)(2014·河南洛阳模拟，4)以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝16x B．y2＝12x C．y2＝－20x D．y2＝20x ‎(2)(2015·湖北十校联考，12)抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝1，则抛物线方程为________．‎ ‎(1)【答案】　A　由已知得抛物线的焦点为(4，0)，则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，‎ ‎∴＝4，p＝8，∴所求方程为y2＝16x，故选A.‎ ‎(2)【解析】　因为有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，所以直线AB垂直于抛物线的对称轴．又因为|AB|＝1，所以2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.‎ ‎【答案】　y2＝x ‎1．(2015·北京人大附中月考，5)已知点P(6，y)，在抛物线y2＝2px(p＞0)上，F为抛物线的焦点，若|PF|＝8，则点F到抛物线准线的距离等于(　　)‎ A．2 B．1‎ C．4 D．8‎ ‎【答案】　C　∵P(6，y)，|PF|＝8，|PF|＝6＋＝8，∴p＝4，∴点F到抛物线准线的距离等于4.‎ ‎2．(2015·福建福州三模，9)已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，一条渐近线为l，抛物线C2：y2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】　D　由双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，可得a＝b，所以设渐近线l的方程为 y＝x，联立y2＝4x可得x＝4，x＝0(舍去)，所以|PF|＝x＋＝4＋1＝5.‎ ‎3．(2014·浙江杭州三模，10)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线y＝k(x－2)与此抛物线相交于P，Q两点，则＋＝(　　)‎ A. B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】　A　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意可知，|FP|＝x1＋2，|FQ|＝x2＋2，‎ 则＋＝＋＝，联立直线与抛物线方程消去y得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，可知x1x2＝4，故＋＝＝＝，故选A.‎ ‎4．(2015·江西师大附中模拟，8)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)‎ A．2 B. C．1 D. ‎【答案】　D　如图，过A，B分别作抛物线准线的垂线AQ，BP，垂足分别为Q，P，连接AF，BF.‎ 设|AF|＝a，|BF|＝b，由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b，由余弦定理得，|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab.因为ab≤，所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2，所以≤＝，所以≤，即最大值为.‎ ‎5．(2015·福建厦门质检，13)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2‎ ‎－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．‎ ‎【解析】　根据抛物线的焦半径公式得1＋＝5，∴p＝8.焦点坐标为(4，0)，则＝5，则m＝±4，取M(1，4)，由题意知A(－1，0)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，解得a＝.同理m＝－4时，a＝.‎ ‎【答案】　 ‎6．(2015·山东济南一模，13)已知定点Q(2，－1)，F为抛物线y2＝4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|＋|PF|取最小值时，P的坐标为________．‎ ‎【解析】　设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，‎ ‎∴要使|PQ|＋|PF|取得最小值，即|PQ|＋|PD|取得最小值，则需D，P，Q三点共线时|PQ|＋|PF|最小，将Q(2，－1)的纵坐标代入y2＝4x得x＝，故P的坐标为.‎ ‎【答案】　 ‎7．(2014·山西太原二模，13)已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．‎ ‎【解析】　设抛物线的焦点为F，A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝4.‎ ‎∵抛物线的准线方程为x＝－1，‎ ‎∴＝x1＋1，＝x2＋1，‎ ‎∴＋＝x1＋x2＋2＝6.‎ ‎∵＋≥(当且仅当A，B，F共线时取“＝”)，如图所示．‎ ‎∴≤6，∴的最大值为6.‎ ‎【答案】　6‎ ‎8．(2015·山西六校联考，13)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F 的直线与抛物线交于A，B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是________．‎ ‎【解析】　设点A(x1，y1)，其中y1>0.过点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1，则有|BF|＝|BB1|，又|BC|＝2|BF|，因此有|BC|＝2|BB1|，cos ∠CBB1＝＝，∠CBB1＝，即直线AB与x轴的夹角为.又|AF|＝|AK|＝4，因此y1＝4sin ＝2，因此△AKF的面积等于|AK|·y1＝×4×2＝4.‎ ‎【答案】　4 ‎9．(2014·广东湛江质检，20，14分)双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过M(－1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．‎ 解：(1)双曲线的离心率e＝＝，‎ 又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0，1)，‎ 又p>0，‎ ‎∴抛物线的焦点为(0，1)，‎ ‎∴抛物线方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ ‎∵y＝x2，∴y′＝x，‎ ‎∴切线l1，l2的斜率分别为，，‎ 当l1⊥l2时，·＝－1，‎ ‎∴x1x2＝－4，‎ 由得x2－4kx－4k＝0，‎ ‎∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，‎ ‎∴k<－1或k>0.①‎ 由根与系数的关系得，‎ x1·x2＝－4k＝－4，‎ ‎∴k＝1，满足①，‎ 即直线的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎　(2015·湖南，20，13分，难)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．‎ ‎(1)求C2的方程；‎ ‎(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．‎ 解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0，1)．‎ 因为F也是椭圆C2的一个焦点，‎ 所以a2－b2＝1.①‎ 又C1与C2的公共弦的长为2，‎ C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，‎ 由此易知C1与C2的公共点的坐标为，‎ 所以＋＝1.②‎ 联立①②得a2＝9，b2＝8.‎ 故C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，‎ D(x4，y4)．‎ 因为与同向，且|AC|＝|BD|，‎ 所以＝，‎ 从而x3－x1＝x4－x2，‎ 即x1－x2＝x3－x4，于是 ‎(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4.③‎ 设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.‎ 由得x2－4kx－4＝0.‎ 又x1，x2是这个方程的两根，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.④‎ 由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0.‎ 又x3，x4是这个方程的两根，‎ 所以x3＋x4＝－，x3x4＝－.⑤‎ 将④⑤代入③，得 ‎16(k2＋1)＝＋，即 ‎16(k2＋1)＝，‎ 所以(9＋8k2)2＝16×9，解得k＝±，‎ 即直线l的斜率为±.‎ ‎1．(2014·课标Ⅱ，10，中)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A. B．6 C．12 D．7 ‎【答案】　C　由题意得F，直线AB的斜率为，‎ 所以直线AB的方程为y＝.‎ 联立方程 得x2－x＋＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，‎ 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝＋＝12.‎ ‎2．(2013·课标Ⅱ，10，中)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)‎ A．y＝x－1或y＝－x＋1‎ B．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ C．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ D．y＝(x－1)或y＝－(x－1)‎ ‎【答案】　C　如图，设直线AB与抛物线的准线x＝－1交于点C.‎ 由抛物线的定义可设|BF|＝|BB1|＝t，|AF|＝|AA1|＝3t.由三角形相似得＝＝，‎ ‎∴|BC|＝2t，∠B1CB＝，∴直线l的倾斜角α＝或.‎ 又F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．故选C.‎ ‎3．(2014·辽宁，20，12分，中)圆x2＋y2＝4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图)．‎ ‎(1)求点P的坐标；‎ ‎(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：y＝x＋交于A，B两点．若△PAB的面积为2，求C的标准方程．‎ 解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则切线斜率为－，切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S＝··＝，由x＋y＝4≥2x0y0知当且仅当x0＝y0＝时，x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)．‎ ‎(2)设C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，‎ 点A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由点P在C上知＋＝1，‎ 并由 得b2x2＋4x＋6－2b2＝0，又x1，x2是方程的根，因此 由y1＝x1＋，y2＝x2＋，‎ 得|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝·.‎ 由点P到直线l的距离为及S△PAB＝×|AB|＝2得b4－9b2＋18＝0，解得b2＝6或3，因此b2＝6，a2＝3(舍)或b2＝3，a2＝6，从而所求C的方程为＋＝1.‎ ‎4．(2014·陕西，20，13分，中)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若直线l：＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．‎ 解：(1)由题设知 解得a＝2，b＝，c＝1，‎ ‎∴椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题设知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，‎ ‎∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1得|m|＜.(*)‎ ‎∴|CD|＝2＝2 ‎＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2－mx＋m2－3＝0，‎ 由根与系数的关系可得 x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.‎ ‎∴|AB|‎ ‎＝ ‎＝.‎ 由＝得＝1，‎ 解得m＝±，满足(*)．‎ ‎∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－.‎ ‎5．(2014·广东，20，14分，难)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为(，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ 解：(1)由题意得c＝，∵e＝＝，‎ ‎∴a＝3，∴b＝＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时，不妨设为k1，k2，‎ 则过P点的切线方程可设为y－y0＝k(x－x0)，∴y＝kx＋y0－kx0，‎ 由消去y，得(4＋9k2)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，‎ Δ＝[18k(y0－kx0)]2－4(4＋9k2)×9[(y0－kx0)2－4]＝0，‎ 整理得(9－x)k2＋2x0y0k－y＋4＝0，‎ ‎∴k1k2＝(x0≠±3)，‎ 由已知得k1k2＝－1，∴＝－1，‎ ‎∴x＋y＝13，即此时点P的轨迹方程为x2＋y2＝13.‎ 当两条切线中有一条垂直于x轴时，‎ 此时两条切线方程应分别为x＝3，y＝2或x＝－3，y＝2或x＝3，y＝－2或x＝－3，y＝－2，‎ P点坐标为(3，2)或(－3，2)或(3，－2)或(－3，－2)，‎ 均满足方程x2＋y2＝13.‎ 综上所述，所求P点的轨迹方程为x2＋y2＝13.‎ 考向1　直线与圆锥曲线的位置关系及应用 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元二次方程．‎ 即消去y得ax2＋bx＋c＝0.‎ ‎(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；‎ Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切或相交；‎ Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．‎ ‎(2)当a＝0，b≠0时，得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ 直线与椭圆(圆)只有一个公共点是直线与椭圆(圆)相切的充要条件，而直线与双曲线(抛物线)只有一个公共点，只是直线与双曲线(抛物线)相切的必要而不充分条件．‎ ‎ (2014·湖北，22，14分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.‎ ‎(1)求轨迹C的方程；‎ ‎(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．‎ ‎【思路导引】　(1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列方程求解轨迹方程，注意分x≥0，x＜0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线l的方程，然后联立直线l与C的方程，消去x，得到关于y的方程，分k＝0，k≠0两种情况讨论；当k≠0时，设直线l与x轴的交点为(x0，0)，又分a.b.或c.三种情况讨论．‎ ‎【解析】　(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．‎ 故点M的轨迹C的方程为y2＝ ‎(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0)．‎ 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．‎ 由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①‎ ‎(ⅰ)当k＝0时，此时直线l为y＝1，将y＝1代入轨迹C1的方程，得x＝，‎ 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.‎ ‎(ⅱ)当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②‎ 设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③‎ a．若由②③解得k＜－1或k＞.‎ 即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．‎ b．若或由②③解得k＝－1或k＝或－≤k＜0.‎ 即当k＝－1或k＝时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．‎ 当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．‎ 故当k∈∪{－1}∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．‎ c．若由②③解得－1＜k＜－或0＜k＜.‎ 即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．‎ 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪{－1}∪时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．‎ ‎ 应用直线与圆锥曲线的位置关系应注意的问题 ‎(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.‎ ‎(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．‎ ‎(2015·广东惠州调研，20，14分)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：‎ ‎(1)有两个不重合的公共点；‎ ‎(2)有且只有一个公共点；‎ ‎(3)没有公共点．‎ 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得 ‎9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③‎ 方程③的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.‎ ‎(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．‎ 考向2　与弦长、面积有关的问题 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长 ‎(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎(2)当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2＝ －‎ ，x1x2＝，则弦长为|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可直接用|AB|＝求出．‎ ‎ (2014·浙江，22，14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，＝3.‎ ‎(1)若|PF|＝3，求点M的坐标；‎ ‎(2)求△ABP面积的最大值．‎ ‎【思路导引】　(1)设出点P坐标，由于PF为焦半径，因此由抛物线定义，可求出点P坐标，再利用已知向量关系，即可求出点M的坐标；(2)△ABP的面积可由底边AB与其边上的高确定．相交弦长|AB|可利用弦长公式求解，但要注意用Δ＞0，确定参数范围．而AB边上的高可转化为焦点F到直线AB的距离．‎ ‎【解析】　(1)由题意知焦点F(0，1)，准线方程为y＝－1.‎ 设P(x0，y0)．由抛物线定义知|PF|＝y0＋1，得到y0＝2，所以P(2，2)或P(－2，2)．‎ 由＝3，分别得M 或M .‎ ‎(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)．‎ 由得x2－4kx－4m＝0.‎ 于是Δ＝16k2＋16m＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，|x1－x2|＝4，‎ 所以AB中点M的坐标为(2k，2k2＋m)．‎ 由＝3，得(－x0，1－y0)＝3(2k，2k2＋m－1)．‎ 所以 由x＝4y0得k2＝－m＋.‎ 由Δ＞0，k2≥0，得－＜m≤.‎ 又因为|AB|＝4，‎ 点F(0，1)到直线AB的距离为d＝，‎ 所以S△ABP＝4S△ABF＝8|m－1| ‎＝.‎ 记f(m)＝3m3－5m2＋m＋1.‎ 令f′(m)＝9m2－10m＋1＝0，解得m1＝，m2＝1.‎ 可得f(m)在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数．‎ 又f ＝＞f .‎ 所以，当m＝时，f(m)取到最大值，此时k＝±.‎ 所以，△ABP面积的最大值为.‎ ‎ 有关弦长、面积的求解方法 ‎(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎(2)面积问题：常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式．若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．‎ ‎(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、化归与转化及函数与方程思想的应用．‎ ‎(2013·山东，22，14分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.设＝t，求实数t的值．‎ 解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，‎ 由题意知解得a＝，b＝1，‎ 因此椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)(ⅰ)当A，B两点关于x轴对称时，设直线AB的方程为x＝m，E点的坐标为(m，0)，由题意知 －0，‎ 所以t＝2或t＝.‎ ‎(ⅱ)当A，B两点不关于x轴对称时，设直线AB的方程为y＝kx＋h.‎ 将其代入椭圆方程＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由Δ>0，可得1＋2k2>h2，‎ 此时x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，‎ 所以|AB|＝· ‎＝2··.‎ 因为点O到直线AB的距离d＝，‎ 所以S△AOB＝|AB|d ‎＝×2··· ‎＝·|h|，‎ 又S△AOB＝，所以·|h|＝.③‎ 令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，‎ 解得n＝4h2或n＝h2，‎ 即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④‎ 又＝t＝t(＋)‎ ‎＝t(x1＋x2，y1＋y2)‎ ‎＝，‎ 因为P为椭圆C上一点，‎ 所以t2＝1，‎ 即t2＝1.⑤‎ 将④代入⑤得t2＝4或t2＝，‎ 又知t>0，故t＝2或t＝，‎ 经检验，适合题意．‎ 综合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝.‎ 考向3　弦中点问题 圆锥曲线以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率 圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：＋＝1(a>0，b>0)‎ k＝－ 双曲线：－＝1(a>0，b>0)‎ k＝ 抛物线：y2＝2px(p>0)‎ k＝ 其中k＝，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的两个端点．‎ ‎ (2013·课标Ⅱ，20，12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎(1)求M的方程；‎ ‎(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．‎ ‎【解析】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则 ＋＝1，＋＝1，＝－1.‎ 由此可得＝－＝1.‎ 因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.‎ 又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.‎ 因此a2＝6，b2＝3.‎ 所以M的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 因此|AB|＝.‎ 由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n，‎ 设C(x3，y3)，D(x4，y4)．‎ 由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.‎ 于是x3，4＝.‎ 因为直线CD的斜率为1，‎ 所以|CD|＝|x4－x3|＝.‎ 由已知，四边形ACBD的面积 S＝|CD|·|AB|＝.‎ 当n＝0时，S取得最大值，最大值为.‎ 所以四边形ACBD面积的最大值为.‎ ‎ 弦中点问题的解决方法 ‎(1)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求法”，并借助一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验．‎ ‎(2)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 —— ‎　↓‎ —— ‎　↓‎ —— ‎　↓‎ —— ‎ (2014·安徽黄山一模，13)过椭圆＋＝1内一点M(2，1)作一条弦，使该弦被点M平分，‎ 则这条弦所在的直线方程为________．‎ ‎【解析】　方法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得 ‎(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*)‎ 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个不等实根，于是有：x1＋x2＝，又M为AB的中点，所以x1＋x2＝＝4，‎ 解得k＝－，代入(*)式，Δ>0，‎ 故所求直线方程为x＋2y－4＝0.‎ 方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 因为M为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.‎ 又A，B两点在椭圆上，则有 x＋4y＝16，x＋4y＝16，‎ 两式相减，得x－x＋4(y－y)＝0，‎ ‎(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，‎ 所以＝－＝－，‎ 即kAB＝－.‎ 此时方程为x＋2y－4＝0，代入椭圆方程，‎ Δ>0，‎ 故所求直线方程为x＋2y－4＝0.‎ 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于弦的中点为M(2，1)，则另一个交点为 B(4－x，2－y)．‎ 因为A，B两点都在椭圆上，‎ 所以x2＋4y2＝16，①‎ ‎(4－x)2＋4(2－y)2＝16，②‎ ‎①－②，整理得x＋2y－4＝0，‎ 由于过A，B的直线有且只有一条，故所求直线方程为x＋2y－4＝0.‎ ‎【答案】　x＋2y－4＝0‎ 考向4　与角度有关的问题 ‎ (2014·安徽，21，13分)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F ‎1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ ‎【思路导引】　在第(1)问中，先由条件分别求出|AF1|与|F1B|的值，再由椭圆定义得出|AF2|的值；在第(2)问中，先设|F1B|＝k，由椭圆定义知|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k，然后在△ABF2中，由余弦定理得出a与k的关系式，进而得出|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，即F1A⊥F2A，从而得出△AF1F2为等腰直角三角形，从而求出离心率．‎ ‎【解析】　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，‎ 得|AF1|＝3，|F1B|＝1.‎ 因为△ABF2的周长为16，‎ 所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.‎ 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，则k＞0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.‎ 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，‎ 而a＋k＞0，故a＝3k.‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.‎ 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，‎ 故△AF1F2为等腰直角三角形．‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎ ‎ 与角度有关的问题 ‎(1)不共线三点A，B，C ‎①AB⊥AC(以BC为直径的圆过点A或|AB|2＋|AC|2＝|BC|2等)转化为·＝0，然后利用数量积坐标公式坐标化；‎ ‎②∠BAC为钝角(点A在以BC为直径的圆内、|AB|2＋|AC|2<|BC|2)可转化为·<0，然后坐标化；‎ ‎③∠BAC为锐角(点A在以BC为直径的圆外，|AB|2＋|AC|2>|BC|2)，可转化为·>0，然后坐标化．‎ ‎(2)证明角相等或求角的范围可转化为直线的倾斜角，利用斜率求解；若角所在的三角形边角关系明显，如焦点三角形，则转化为余弦定理，也可以用向量的数量积解决．‎ ‎(2014·安徽合肥高三月考，21，14分)如图，椭圆＋＝1(a>b>0)与过点A(2，0)，B(0，1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e＝.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM＝∠AF1T.‎ 解：(1)过点A，B的直线方程为＋y＝1.代入＋＝1得 x2－a2x＋a2－a2b2＝0，由题意易知该方程有唯一解，所以Δ＝a2b2(a2＋4b2－4)＝0(ab≠0)，故a2＋4b2－4＝0.又因为e＝，即＝，‎ 所以a2＝4b2.从而得a2＝2，b2＝，‎ 故所求的椭圆方程为＋2y2＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)得c＝，故F1，F2，‎ 从而M ，‎ ＋2y2＝1，y＝－x＋1，‎ 解得x1＝x2＝1，所以T .‎ 因为tan ∠AF1T＝－1，‎ 又tan ∠TAM＝，tan ∠TMF2＝，‎ 得tan ∠ATM＝＝－1，‎ 因此∠ATM＝∠AF1T.‎ ‎1．(2014·河北石家庄二模，11)直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则的值为(　　)‎ A．16 B. C．4 D. ‎【答案】　B　由得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，yA＝，xD＝4，yD＝4，直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0，1)，且该圆圆心为F(0，1)，∴|AF|＝yA＋1＝，|DF|＝yD＋1＝5，‎ ‎∴＝＝.故选B.‎ ‎2．(2015·江西上饶二模，8)过抛物线x2＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则·＋·的最大值等于(　　)‎ A．－4 B．－16 C．4 D．－8‎ ‎【答案】　B　依题意可得，·＝－(||·||)．‎ 又因为||＝yA＋1，||＝yB＋1，‎ 所以·＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．‎ 设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，‎ 联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，‎ 所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.‎ 所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k2＋2.‎ 所以·＝－(4k2＋4)．‎ 同理，||·||＝－.‎ 所以·＋· ‎＝－≤－16.‎ 当且仅当k＝±1时等号成立．‎ ‎3．(2015·山东青岛一模，4)如图，从点M(x0，4)发出的光线，沿平行于抛物线y2＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】　B　由题意可知，p＝4，焦点F(2，0)，P(2，4)，Q(2，－4)，QN：y＝－4，直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，所以直线MN垂直于x轴，解得N(6，－4)，故x0＝6.故选B.‎ ‎4．(2015·河北石家庄质检，5)已知两定点A(－2，0)和B(2，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　由题意可知，c＝2，由e＝＝，知e最大时需a最小，由椭圆的定义|PA|＋|PB|＝2a，即使得|PA|＋|PB|最小，设A(－2，0)关于直线y＝x＋3的对称点D(x，y)，由 可知D(－3，1)．所以|PA|＋|PB|＝|PD|＋|PB|≥|DB|＝＝，即2a≥，‎ 所以a≥，则e＝≤＝.故选B.‎ ‎5．(2014·河南焦作一模，13)椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是____________．‎ ‎【解析】　设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴＋y＝1，＋y＝1，‎ 两式相减得，‎ ＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，‎ 即＝－＝－，‎ 即直线AB的斜率为－.‎ ‎∴直线AB的方程为 y－＝－，‎ 即2x＋4y－3＝0.‎ ‎【答案】　2x＋4y－3＝0‎ ‎6．(2015·湖南长沙二模，19，12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M，N两点在椭圆C上，且＝λ(λ>0)，定点A(－4，0)．‎ ‎(1)求证：当λ＝1时，⊥；‎ ‎(2)若当λ＝1时有·＝，求椭圆C的方程；‎ ‎(3)在(2)的条件下，M，N两点在椭圆C上运动，当·×tan ∠MAN的值为6时，求出直线MN的方程．‎ 解：(1)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，F(c，0)，‎ 则＝(c－x1，－y1)，＝(x2－c，y2)，‎ 当λ＝1时，＝，‎ ‎∴－y1＝y2，x1＋x2＝2c，‎ 由M，N两点在椭圆上，‎ ‎∴x＝a2，x＝a2，‎ ‎∴x＝x.‎ 若x1＝－x2，则x1＋x2＝0≠2c(舍去)，‎ ‎∴x1＝x2，‎ ‎∴＝(0，2y2)，＝(c＋4，0)，‎ ·＝0，‎ ‎∴⊥.‎ ‎(2)当λ＝1时，不妨设M ，N ，‎ ‎∴·＝(c＋4)2－＝，‎ 又a2＝c2，b2＝，‎ ‎∴c2＋8c＋16＝，‎ ‎∴c＝2，a2＝6，b2＝2，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(3)∵·×tan ∠MAN＝2S△AMN ‎＝|AF||yM－yN|＝6，由(2)知点F(2，0)，‎ ‎∴|AF|＝6，即得|yM－yN|＝.‎ 当MN⊥x轴时，‎ ‎|yM－yN|＝|MN|＝＝≠，‎ 故直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．‎ 联立得(1＋3k2)y2＋4ky－2k2＝0，‎ ‎∴yM＋yN＝－，yM·yN＝－，‎ ‎∴|yM－yN|＝＝，‎ 解得k＝±1.‎ 此时，直线MN的方程为x－y－2＝0，或x＋y－2＝0.‎ ‎7．(2015·湖南衡阳模拟，20，13分)抛物线P：x2＝2py(p＞0)上一点Q(m，2)到抛物线P的焦点的距离为3，A，B，C，D为抛物线的四个不同的点，其中A，D关于y轴对称，D(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，－x0＜x1＜x0＜x2，直线BC平行于抛物线P的以D为切点的切线．‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)证明：∠CAD＝∠BAD；‎ ‎(3)D到直线AB，AC的距离分别为m，n，且m＋n＝|AD|，△ABC的面积为48，求直线BC的方程．‎ 解：(1)∵|QF|＝3＝2＋，∴p＝2.‎ ‎(2)证明：由(1)可得抛物线方程为x2＝4y，‎ 则A，D，‎ B，C，‎ ‎∵y′＝，‎ ‎∴kBC＝＝＝，‎ ‎∴x1＋x2＝2x0，‎ ‎∴kAC＝＝，‎ kAB＝＝，‎ ‎∴kAC＋kAB＝＋ ‎＝＝0，‎ ‎∴直线AC和直线AB的倾斜角互补，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAD.‎ ‎(3)设∠BAD＝∠CAD＝α，‎ 则m＝n＝|AD|sin α，‎ ‎∴sin α＝，‎ ‎∵α∈，∴α＝，‎ ‎∴lAC：y－＝x＋x0，即y＝x＋＋x0，‎ 将y＝x＋＋x0与抛物线方程x2＝4y联立得 x2－4x－4x0－x＝0，‎ ‎∴－x0＋x2＝4，‎ ‎∴x2＝x0＋4，‎ 同理可得x1＝x0－4，‎ ‎∴kAB·kAC＝－1.‎ ‎∵－x0＜x1＜x0＜x2，‎ ‎∴S△ABC＝|AB|·|AC|‎ ‎＝×(4＋2x0)×(2x0－4)‎ ‎＝4(x－4)＝48，‎ ‎∴x0＝4，∴B(0，0)，C(8，16)，‎ ‎∴lBC：y＝2x.‎ ‎8．(2014·江苏盐城二模，18，16分)在平面直角坐标系xOy中，过点A(－2，－1)的椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，短轴端点为B1，B2，·＝2b2.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R.过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P.若|AQ|·|AR|＝3|OP|2，求直线l的方程．‎ 解：(1)因为F(－c，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)，‎ 所以＝(c，－b)，＝(c，b)．‎ 因为·＝2b2，‎ 所以c2－b2＝2b2.①‎ 因为椭圆C过点A(－2，－1)，代入得，‎ ＋＝1.②‎ 又a2＝b2＋c2③‎ 由①②③解得a2＝8，b2＝2.‎ 所以a＝2，b＝.‎ ‎(2)由题意，设直线l的方程为y＋1＝k(x＋2)．‎ 由 得(x＋2)[(4k2＋1)(x＋2)－(8k＋4)]＝0.‎ 因为x＋2≠0，所以x＋2＝，‎ 即xQ＋2＝.‎ 由题意，直线OP的方程为y＝kx.‎ 由得(1＋4k2)x2＝8，‎ 则x＝.‎ 因为|AQ|·|AR|＝3|OP|2，‎ 所以|xQ－(－2)|×|0－(－2)|＝3x.‎ 即×2＝3×.‎ 解得k＝1或k＝－2.‎ 当k＝1时，直线l的方程为x－y＋1＝0；‎ 当k＝－2时，‎ 直线l的方程为2x＋y＋5＝0.‎ ‎∴所求直线l的方程为x－y＋1＝0或2x＋y＋5＝0.‎ ‎9．(2015·北京朝阳一模，19，14分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点，一个焦点为(，0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝k(x－1)(k≠0)与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点Q，求的取值范围．‎ 解：(1)由题意得 解得a＝2，b＝1.‎ 所以椭圆C的方程是＋y2＝1.‎ ‎(2)由得(1＋4k2)x2－8k2x＋4k2－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝.‎ 所以线段AB的中点坐标为，‎ 所以线段AB的垂直平分线方程为 y－＝－.‎ 若y＝0，则x＝.‎ 于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点Q ，‎ 又点P(1，0)，‎ 所以|PQ|＝＝.‎ 又|AB|＝ ‎＝.‎ 于是，＝ ‎＝4＝4.‎ 因为k≠0，所以1<3－<3，‎ 所以的取值范围为(4，4)．‎ ‎10．(2015·上海杨浦模拟，21，14分)某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”，其中AC，BD是过抛物线Γ焦点F的两条弦，且其焦点F(0，1)，·＝0，点E为y轴上一点，记∠EFA＝α，其中α为锐角．‎ ‎(1)求抛物线Γ的方程；‎ ‎(2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小．‎ 解：(1)由抛物线Γ的焦点F(0，1)得，抛物线Γ方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设|AF|＝m，则点A(－msin α，mcos α＋1)，‎ ‎∴(－msin α)2＝4(1＋mcos α)，‎ 即m2sin2α－4mcos α－4＝0.‎ 解得m＝＝.‎ ‎∵m>0，‎ ‎∴|AF|＝，‎ 同理，|BF|＝，|DF|＝，‎ ‎|CF|＝，‎ ‎“蝴蝶形图案”的面积S＝S△AFB＋S△CFD ‎＝|AF|·|BF|＋|CF|·|DF|‎ ‎＝ 令t＝sin αcos α，t∈，‎ ‎∴∈[2，＋∞)，‎ 则S＝4×＝4－1，‎ ‎∴当＝2，即α＝时，“蝴蝶形图案”的面积最小，最小值为8.‎ ‎1．(2015·课标Ⅱ，20，12分，难)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．‎ ‎(1)求C的方程；‎ ‎(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ 解：(1)由题意有＝，＋＝1，‎ 解得a2＝8，b2＝4.‎ 所以C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．‎ 将y＝kx＋b代入＋＝1得 ‎(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.‎ 故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.‎ 于是直线OM的斜率kO M＝＝－，即kO M·k＝－.‎ 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．‎ ‎2．(2015·湖北，22，14分，难)一种画椭圆的工具如图1所示，O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN＝ON＝1，MN＝3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设动直线l与两定直线l1：x－2y＝0和l2：x＋2y＝0分别交于P，Q两点，若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎　　‎ 图1　　　　　　　　　 图2‎ 解：(1)因为|OM|≤|MN|＋|NO|＝3＋1＝4，当M，N在x轴上时，等号成立；‎ 同理|OM|≥|MN|－|NO|＝3－1＝2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．‎ 所以椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4或x＝－4，都有S△OPQ＝×4×4＝8.‎ ‎②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋m.由消去y，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0.‎ 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－16)＝0，即m2＝16k2＋4.(*)‎ 又由 可得P；‎ 同理可得Q.‎ 由原点O到直线PQ的距离为 d＝和|PQ|＝|xP－xQ|，‎ 可得S△OPQ＝|PQ|·d ‎＝|m||xP－xQ|‎ ‎＝|m|＝.‎ 将(*)代入得，‎ S△OPQ＝＝8.‎ 当k2>时，‎ S△OPQ＝8＝8>8；‎ 当0≤k2<时，‎ S△OPQ＝8＝8.‎ 因0≤k2<，则0<1－4k2≤1，≥2，所以S△OPQ＝8 ≥8.‎ 当且仅当k＝0时取等号．‎ 所以当k＝0时，S△OPQ的最小值为8.‎ 综合①②可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.‎ ‎3．(2015·山东，21，14分，难)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在椭圆C上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎①求的值；‎ ‎②求△ABQ面积的最大值．‎ 解：(1)由题意知＋＝1.‎ 又＝，解得a2＝4，b2＝1.‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.‎ ‎①设P(x0，y0)，＝λ，‎ 由题意知Q(－λx0，－λy0)．‎ 因为＋y＝1，‎ 又＋＝1，‎ 即＝1，‎ 所以λ＝2，即＝2.‎ ‎②设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，‎ 由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2.(*1)‎ 则有x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 所以|x1－x2|＝.‎ 设点O到直线y＝kx＋m的距离为d，‎ 所以△OAB的面积S＝|AB|·d ‎＝|m||x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝2.‎ 设＝t.‎ 将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，‎ 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，‎ 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(*2)‎ 由(*1)(*2)可知00，b1>0)和椭圆C2：＋＝1(a2>b2>0)均过点P，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．‎ ‎(1)求C1，C2的方程；‎ ‎(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与C2只有一个公共点，且|＋|＝||？证明你的结论．‎ 解：(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.‎ 因为点P在双曲线x2－＝1上，‎ 所以－＝1.故b＝3.‎ 由椭圆的定义知 ‎2a2＝＋‎ ＝2.‎ 于是a2＝，b＝a－c＝2.‎ 故C1，C2的方程分别为x2－＝1，＋＝1.‎ ‎(2)不存在符合题设条件的直线．‎ ‎①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝或x＝－.‎ 当x＝时，易知A(，)，B(，－)，‎ 所以|＋|＝2，||＝2.‎ 此时，|＋|≠||.‎ 当x＝－时，同理可知，‎ ‎|＋|≠||.‎ ‎②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.‎ 由得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.‎ 当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.‎ 由得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.‎ 因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式 Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.‎ 化简，得2k2＝m2－3，‎ 因此·＝x1x2＋y1y2＝＋＝≠0，‎ 于是2＋2＋2·≠2＋2－2·，‎ 即|＋|2≠|－|2，‎ 故|＋|≠||，‎ 综合①②可知，不存在符合题设条件的直线．‎ ‎2．(2014·四川，20，13分，难)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．‎ 解：(1)由已知可知，＝，c＝2，所以a＝.‎ 又由a2＝b2＋c2，解得b＝，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.‎ ‎(2)设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.‎ 当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.‎ 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，‎ 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0，‎ 所以y1＋y2＝，y1y2＝，‎ x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.‎ 因为四边形OPTQ是平行四边形，‎ 所以＝，‎ 即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2)．‎ 所以解得m＝±1.‎ 此时，S四边形OPTQ＝2S△OPQ ‎＝2×·|OF|·|y1－y2|‎ ‎＝2＝2.‎ ‎3．(2014·山东，21，14分，难)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线y＝x被椭圆C截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．‎ ‎①设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明：存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；‎ ‎②求△OMN面积的最大值．‎ 解：(1)由题意知＝.可得a2＝4b2，‎ 椭圆C的方程可简化为x2＋4y2＝a2.‎ 将y＝x代入可得x＝±，‎ 因此×＝，可得a＝2.‎ 因此b＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①证明：设A(x1，y1)(x1y1≠0)，D(x2，y2)，则B(－x1，－y1)．‎ 因为直线AB的斜率kAB＝，‎ 又AB⊥AD，所以直线AD的斜率k＝－.‎ 设直线AD的方程为y＝kx＋m，‎ 由题意知k≠0，m≠0.‎ 由可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.‎ 所以x1＋x2＝－，‎ 因此y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝.‎ 由题意知x1≠－x2，‎ 所以k1＝＝－＝.‎ 所以直线BD的方程为 y＋y1＝(x＋x1)．‎ 令y＝0，得x＝3x1，即M(3x1，0)．‎ 可得k2＝－.‎ 所以k1＝－k2，即λ＝－.‎ 因此存在常数λ＝－使得结论成立．‎ ‎②直线BD的方程为y＋y1＝(x＋x1)，‎ 令x＝0，得y＝－y1，‎ 即N.‎ 由①知M(3x1，0)，‎ 可得△OMN的面积 S＝×3|x1|×|y1|＝|x1||y1|.‎ 因此|x1||y1|≤＋y＝1，当且仅当＝|y1|＝时等号成立，‎ 此时S取得最大值.‎ 所以△OMN面积的最大值为.‎ ‎4．(2013·安徽，21，13分，难)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(，)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0，2)，连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．‎ 解：(1)因为焦距为4，所以a2－b2＝4.又因为椭圆C过点P(，)，‎ 所以＋＝1，故a2＝8，b2＝4，‎ 从而椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由题意知，E点坐标为(x0，0)．‎ 设D(xD，0)，则＝(x0，－2)，‎ ＝(xD，－2)．‎ 再由AD⊥AE知，·＝0，‎ 即x0xD＋8＝0，由于x0y0≠0，故xD＝－.‎ 因为点G是点D关于y轴的对称点，‎ 所以点G.‎ 故直线QG的斜率 kQG＝＝.‎ 又因为Q(x0，y0)在椭圆C上，‎ 所以x＋2y＝8.①‎ 从而kQG＝－.‎ 故直线QG的方程为y＝－.②‎ 将②代入椭圆C的方程，得 ‎(x＋2y)x2－16x0x＋64－16y＝0.③‎ 再将①代入③，化简得 x2－2x0x＋x＝0.‎ 解得x＝x0，y＝y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．‎ ‎5．(2014·福建，21，12分，难)已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.‎ ‎(1)求曲线Γ的方程；‎ ‎(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．‎ 解：(1)方法一：设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，‎ 依题意，点S到F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，‎ 所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，‎ 所以曲线Γ的方程为x2＝4y.‎ 方法二：设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，‎ 则|y－(－3)|－＝2，‎ 依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，‎ 所以＝y＋1，‎ 化简得，曲线Γ的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：‎ 由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，‎ 设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x，‎ 由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，‎ 所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.‎ 由得A.‎ 由得M.‎ 又N(0，3)，‎ 所以圆心C，‎ 半径r＝|MN|＝，‎ ‎|AB|＝＝‎ ‎＝.‎ 所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．‎ ‎6．(2011·山东，22，14分，难)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1.如图所示，斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D(－3，m)．‎ ‎(1)求m2＋k2的最小值；‎ ‎(2)若|OG|2＝|OD|·|OE|，‎ ‎①求证：直线l过定点；‎ ‎②试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．‎ 解：(1)设直线l的方程为y＝kx＋t(k>0)，‎ 由题意，t>0.‎ 由方程组得 ‎(3k2＋1)x2＋6ktx＋3t2－3＝0.‎ 由题意Δ>0，所以3k2＋1>t2.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，‎ 所以y1＋y2＝.‎ 由于E为线段AB的中点，‎ 因此xE＝－，yE＝，‎ 此时kOE＝＝－，‎ 所以OE所在直线方程为y＝－x，‎ 又由题设知D(－3，m)，‎ 令x＝－3，得m＝，即mk＝1，‎ 所以m2＋k2≥2mk＝2，‎ 当且仅当m＝k＝1时上式等号成立，‎ 此时由Δ>0得00，‎ 解得G.‎ 又E，D，‎ 由距离公式及t>0得 ‎|OG|2＝＋ ‎＝，‎ ‎|OD|＝＝，‎ ‎|OE|＝ ‎＝，‎ 由|OG|2＝|OD|·|OE|得t＝k，‎ 因此直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ 所以直线l恒过定点(－1，0)．‎ ‎②由①得G，‎ 若B，G关于x轴对称，‎ 则B，‎ 代入y＝k(x＋1)，‎ 整理得3k2－1＝k，‎ 即6k4－7k2＋1＝0，‎ 解得k2＝(舍去)或k2＝1，‎ 所以k＝1.‎ 此时B，G关于x轴对称．‎ 又由①得x1＝0，y1＝1，所以A(0，1)．‎ 由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，‎ 可设△ABG的外接圆的圆心为(d，0)，‎ 因此d2＋1＝＋，‎ 解得d＝－，‎ 故△ABG的外接圆的半径为 r＝＝.‎ 所以△ABG的外接圆方程为 ＋y2＝.‎ 考向1　定点、定值问题 ‎(2014·江西，20，13分)如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．‎ ‎(1)证明：动点D在定直线上；‎ ‎(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．‎ ‎【解析】　(1)证明：∵直线AB过定点M(0，2)，由题意知直线AB的斜率一定存在，‎ ‎∴可设直线AB的方程为y＝kx＋2，‎ 由得x2－4kx－8＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝－8.‎ 又直线AO的方程为y＝x，直线BD的方程为x＝x2，‎ 联立解得D点的坐标为.‎ 又x1x2＝－8，x＝4y1，‎ ‎∴y＝＝＝＝－2，‎ ‎∴动点D在定直线y＝－2(x≠0)上．‎ ‎(2)由题意可知，切线l的斜率存在且不为0.‎ 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，‎ 化简得x2－4ax－4b＝0，‎ ‎∵l为切线，∴Δ＝(4a)2＋16b＝0，化简得b＝－a2，‎ ‎∴切线l的方程为y＝ax－a2.‎ 分别令y＝2，y＝－2得N1，N2点的坐标为N1，‎ N2，‎ 则|MN2|2－|MN1|2＝＋42－＝8，‎ ‎∴|MN2|2－|MN1|2为定值8.‎ ‎【点拨】　解决定值问题关键是找出定值，将此类问题转变为证明题，从而使问题变得明确，找定值通常用特殊点法．‎ ‎(2012·福建，21，12分)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．‎ ‎【解析】　(1)依题意，知|OB|＝8，∠BOy＝30°.‎ 设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，‎ y＝|OB|cos 30°＝12.‎ 因为点B(4，12)在x2＝2py上，‎ 所以(4)2＝2p×12，解得p＝2.‎ 故抛物线E的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)证明：方法一：由(1)知y＝x2，y′＝x.‎ 设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为 y－y0＝x0(x－x0)，‎ 即y＝x0x－x.‎ 令y＝－1，得x＝，‎ 所以Q.‎ 设圆上的定点为M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立．‎ 由于＝(x0，y0－y1)，＝，‎ 由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，‎ 即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*)‎ 由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，‎ 所以 解得y1＝1.‎ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．‎ 方法二：由(1)知y＝x2，y′＝x.‎ 设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为 y－y0＝x0(x－x0)，‎ 即y＝x0x－x.‎ 令y＝－1，得x＝，‎ 所以Q.‎ 取x0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ为直径的圆为(x－1)2＋y2＝2，交y轴于点M1(0，1)或M2(0，－1)；‎ 取x0＝1，此时P，Q，以PQ为直径的圆为＋＝，交y轴于M3(0，1)或M4.‎ 故若满足条件的点M存在，只能是M(0，1)．‎ 以下证明点M(0，1)就是所要求的点．‎ 因为＝(x0，y0－1)，＝，‎ 所以·＝－2y0＋2＝2y0－2－2y0＋2＝0，‎ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0，1)．‎ ‎【点拨】　本题关键是用M(0，y1)，P(x0，y0)的坐标表示出·＝0，由点P的任意性，‎ 把该式整理成关于y0的等式，其系数均为0；也可取点P的特殊位置找到M坐标，再证明其即为所求．‎ ‎ 1.求定值问题常见的方法 ‎(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．‎ ‎(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎2．定点问题的常见解法 ‎(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；‎ ‎(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．‎ ‎(2013·江西，20，13分)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，a＋b＝3.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2m－k为定值．‎ 解：(1)因为e＝＝，‎ 所以a＝c，b＝c.‎ 代入a＋b＝3，得c＝，a＝2，b＝1.‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：方法一：因为B(2，0)，P不为椭圆顶点，‎ 则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①‎ ‎①代入＋y2＝1，‎ 解得P，‎ 直线AD的方程为y＝x＋1.②‎ ‎①与②联立解得M.‎ 由D(0，1)，P，N(x，0)三点共线知 ＝，解得N.‎ 所以MN的斜率为m＝ ‎＝＝，‎ 则2m－k＝－k＝(定值)．‎ 方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则k＝，‎ 直线AD的方程为y＝(x＋2)，‎ 直线BP的方程为y＝(x－2)，‎ 直线DP的方程为y－1＝x，‎ 令y＝0，由y0≠1可得N，‎ 联立 解得M，‎ 因此MN的斜率为 m＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝，‎ 所以2m－k＝－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝(定值)．‎ 思路点拨：本题采用直接推理法，方法一用直线BP的斜率表示m，并在计算过程中消去k，得出定值；方法二用点P坐标x0，y0表示2m－k，通过计算得出定值．‎ 考向2　最值与范围问题 圆锥曲线的最值与范围问题 ‎(1)圆锥曲线上本身存在的最值问题：‎ ‎①椭圆上两点间最大距离为2a(长轴长)；‎ ‎②双曲线上两点间最小距离为2a(实轴长)；‎ ‎③椭圆焦半径的取值范围为[a－c，a＋c]，a－c与a＋c分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离；‎ ‎④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．‎ ‎(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．‎ ‎(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．‎ ‎(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．‎ ‎(5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．‎ ‎(6)实际应用问题，解这类题目时，首先要解决以下两个问题：①选择适当的坐标系；②将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来．其次，根据需要将最值问题化为一个函数的最值问题．‎ ‎(2014·北京，19，14分)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率；‎ ‎(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ ‎【思路导引】　(1)把椭圆方程化为标准形式，确定a，b，c的值，由公式求离心率；(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，由OA⊥OB，把t用x0，y0表示出来．利用两点间距离公式表示|AB|，并由点B在椭圆上，把|AB|化为只含有x0一个变量的函数式，根据x0的取值范围确定最值．‎ ‎【解析】　(1)由题意，知椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ 所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.‎ 因此a＝2，c＝.‎ 故椭圆C的离心率e＝＝.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.‎ 因为OA⊥OB，所以·＝0，即tx0＋2y0＝0，‎ 解得t＝－.‎ 又x＋2y＝4，‎ 所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2‎ ‎＝＋(y0－2)2‎ ‎＝x＋y＋＋4‎ ‎＝x＋＋＋4‎ ‎＝＋＋4(0＜x≤4)．‎ 因为＋≥4(0＜x≤4)，且当x＝4时等号成立．‎ 所以|AB|2≥8.‎ 故线段AB长度的最小值为2.‎ ‎ 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 ‎(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；‎ ‎(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：‎ ‎①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎④利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎(2013·浙江，22，14分)已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)．‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．‎ 解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则＝1，‎ 所以抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设A(x1，x1)，B(x2，y2)，‎ 直线AB的方程为y＝kx＋1.‎ 由消去y，整理得x2－4kx－4＝0，‎ 所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.‎ 从而|x1－x2|＝4.‎ 由 解得点M的横坐标 xM＝＝＝.‎ 同理，点N的横坐标xN＝.‎ 所以|MN|＝|xM－xN|‎ ‎＝ ‎＝8 ‎＝.‎ 令4k－3＝t，t≠0，则k＝.‎ 当t>0时，‎ ‎|MN|＝2>2.‎ 当t<0时，‎ ‎|MN|＝2≥ .‎ 综上所述，当t＝－，即k＝－时，‎ ‎|MN|的最小值是 .‎ 考向3　存在性问题 ‎(2013·江西，20，13分)如图，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点P，离心率e＝，直线l的方程为x＝4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M.记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】　(1)由P在椭圆上，得＋＝1.①‎ 依题意知a＝2c，则b2＝3c2.②‎ 将②代入①，得c2＝1，a2＝4，b2＝3，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)方法一：由题意可设AB的斜率为k，‎ 则直线AB的方程为y＝k(x－1)，③‎ 代入椭圆方程3x2＋4y2＝12，‎ 整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝，x1x2＝，④‎ 在方程③中令x＝4，得M的坐标为(4，3k)．‎ 从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－.‎ 注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，‎ 即有＝＝k.‎ 所以k1＋k2＝＋ ‎＝＋－ ‎＝2k－·，⑤‎ ‎④代入⑤得k1＋k2＝2k－· ‎＝2k－1，‎ 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．‎ 方法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，‎ 则直线FB的方程为y＝(x－1)，‎ 令x＝4，求得M，‎ 从而直线PM的斜率为k3＝，‎ 联立得A，‎ 则直线PA的斜率为k1＝，直线PB的斜率为k2＝，‎ 所以k1＋k2＝＋＝＝2k3，‎ 故存在常数λ＝2符合题意．‎ ‎ 存在性问题的求解方法 ‎(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．‎ ‎(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．‎ ‎(2012·湖北，21，14分)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；‎ ‎(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点 N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)，‎ 可得x＝x0，|y|＝m|y0|，‎ 所以x0＝x，|y0|＝|y|.①‎ 因为A点在单位圆上运动，‎ 所以x＋y＝1.②‎ 将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m>0，且m≠1)．‎ 因为m∈(0，1)∪(1，＋∞)，所以当01时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．‎ ‎(2)方法一：如图2，3，∀k>0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，‎ 则Q(－x1，－kx1)，N(0，kx1)，‎ 直线QN的方程为y＝2kx＋kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得 ‎(m2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－m2＝0.‎ 依题意可知此方程的两根为－x1，x2，于是由根与系数的关系可得 ‎－x1＋x2＝－，‎ 即x2＝.‎ 因为点H在直线QN上，‎ 所以y2－kx1＝2kx2＝.‎ 于是＝(－2x1，－2kx1)，＝(x2－x1，y2－kx1)＝.‎ 而PQ⊥PH等价于·＝＝0，‎ 即2－m2＝0.又m>0，得m＝，‎ 故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k>0，都有PQ⊥PH.‎ 方法二：如图2，3，∀x1∈(0，1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．‎ 因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(x－x)＋(y－y)＝0.③‎ 依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，‎ 故(x1－x2)(x1＋x2)≠0，于是由③式可得 ＝－m2.④‎ 又Q，N，H三点共线，‎ 所以kQN＝kQH，即＝.‎ 所以由④式可得kPQ·kPH＝· ‎＝·＝－.‎ 而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，‎ 即－＝－1.又m>0，得m＝.‎ 故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k>0，都有PQ⊥PH.‎ ‎1．(2015·湖北十校联考，8)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)‎ A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12‎ ‎【答案】　C　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA ‎|＋|PB|＝2a＝10，‎ 连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.‎ ‎2．(2014·辽宁沈阳二模，8)在平行四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足x＋y＋＝0(x，y∈R)．则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数x，y应满足的关系式为(　　)‎ A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1‎ C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1‎ ‎【答案】　D　如图，以A为原点建立平面直角坐标系，设AD＝2.‎ 根据题意得，AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.‎ ‎∴B，D的坐标分别为(1，0)，(1，)，‎ ‎∴＝(1，0)，＝(1，)．‎ 设点P的坐标为(m，n)，即＝(m，n)，则由x＋y＋＝0，得＝x＋y，∴ 根据题意，m2＋n2＝1，‎ ‎∴x2＋4y2＋2xy＝1.‎ ‎3．(2015·东北三校第二次联考，11)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，设＋＝m，＋＝n，则下列各式成立的是(　　)‎ A．|m|>|n| B．|m|<|n|‎ C．|m－n|＝0 D．|m－n|>0‎ ‎【答案】　C　如图，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)，‎ 则＋＝(x3＋x4＋2c，y3＋y4)，＋＝(x1＋x2＋2c，y1＋y2)，‎ ‎∴m＝(x3＋x4＋2c，y3＋y4)，n＝(x1＋x2＋2c，y1＋y2)．‎ 设直线l的方程为x＝my＋c，代入b2x2－a2y2＝a2b2，‎ 得(b2m2－a2)y2＋2b2mcy＋b2(c2－a2)＝0，‎ 故y1＋y2＝，‎ 由得y3＝，‎ 由得y4＝，‎ ‎∴y3＋y4＝，‎ ‎∴y1＋y2＝y3＋y4.又x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2c，x3＋x4＝m(y3＋y4)＋2c，‎ ‎∴x1＋x2＝x3＋x4，∴m＝n，‎ ‎∴|m－n|＝0，故选C.‎ ‎4．(2015·江西九校联考，9)如图，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率k＝1的直线l过焦点F，与抛物线交于A，B两点，若抛物线的准线与x轴的交点为N，则tan∠ANF＝(　　)‎ A．1 B. C. D. ‎【答案】　C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB的方程为y＝x－，联立得消去y得，x2－3px＋＝0，解得x1＝p，x2＝p.又因为点A(x1，y1)在抛物线y2＝2px 上，所以y1＝＝＝(＋1)p，‎ 故tan∠ANF＝＝＝＝，因此选C.‎ ‎5．(2015·河南南阳二模，14)＋＝1上有一动点P，圆E：(x－1)2＋y2＝1，过圆心E任意作一条直线与圆E交于A，B两点，圆F：(x＋1)2＋y2＝1，过圆心F任意作一条直线交圆F于C，D两点，则·＋·的最小值为________．‎ ‎【解析】　·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－1，同理，·＝2－1，所以 ·＋·＝2＋2－2‎ ‎≥－2＝6.‎ ‎【答案】　6‎ ‎6．(2014·上海普陀一模，12)若C(－，0)，D(，0)，M是椭圆＋y2＝1上的动点，则＋的最小值为________．‎ ‎【解析】　由椭圆＋y2＝1知c2＝4－1＝3，∴c＝，‎ ‎∴C，D是该椭圆的两焦点，‎ 令|MC|＝r1，|MD|＝r2，‎ 则r1＋r2＝2a＝4，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝＝.‎ 又∵r1r2≤＝＝4，‎ ‎∴＋＝≥1.‎ 当且仅当r1＝r2时，上式等号成立．‎ 故＋的最小值为1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎7．(2015·湖南长沙调研，20，13分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(，1)．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)若过点C(－1，0)且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.试问在x轴上是否存在点M，使·＋是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)e＝＝，故＝，‎ 因为椭圆过点(，1)，故＋＝1，‎ 解得a2＝5，b2＝，‎ 所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设在x轴上存在点M(m，0)，使·＋是与k无关的常数，椭圆的方程为x2＋3y2＝5，直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ 由得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，‎ 所以·＋＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2＋ ‎＝，‎ 令＝t，‎ 即(3m2＋6m－1－3t)k2＋m2－t＝0对任意k成立，‎ 所以解得m＝，即在x轴上存在点M，使·＋是与k无关的常数．‎ ‎8．(2015·山东潍坊二模，20，13分)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，点P为上顶点，圆O：x2＋y2＝b2将椭圆C的长轴三等分，直线l：y＝mx－(m≠0)与椭圆C交于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求证△APB为直角三角形，并求出该三角形面积的最大值．‎ 解：(1)由题意知2b＝2，∴b＝1.‎ ‎∵圆O将椭圆C的长轴三等分，‎ ‎∴2b＝×2a，∴a＝3b＝3，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)证明：由消去y得(1＋9m2)x2－mx－＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，‎ x1x2＝，‎ 又P(0，1)．‎ ‎∴·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)‎ ‎＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝x1x2＋ ‎＝x1x2＋m2x1x2－m(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋m2)·－m·＋ ‎＝＝0.‎ ‎∴PA⊥PB，则△APB为直角三角形．‎ 设l与y轴的交点为K，‎ 则K，|PK|＝，‎ ‎∴S△APB＝|PK|(|x1|＋|x2|)‎ ‎＝|PK||x1－x2|‎ ‎＝×× ‎＝××‎ ‎＝·，‎ 令＝t≥1，‎ 则S△APB＝·＝ ‎≤＝.‎ 当且仅当9t＝，即t＝时取等号．‎ ‎∴△APB面积的最大值为.‎ ‎9．(2014·江苏南通二模，17，14分)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F1(2，0)，离心率为e.‎ ‎(1)若e＝，求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．‎ ‎①证明：点A在定圆上；‎ ‎②设直线AB的斜率为k，若k≥，求e的取值范围．‎ 解：(1)由e＝，c＝2，得a＝2，b＝2.‎ 所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，‎ 故M，N.‎ ‎①证明：由题意点O在以线段MN为直径的圆上，得·＝0，化简得x＋y＝4，所以点A在以原点为圆心，2为半径的圆上．‎ ‎②由题意，‎ 即 ＋＝(1＋k2)．‎ 将e＝＝，b2＝a2－c2＝－4，代入上式整理，‎ 得k2(2e2－1)＝(e2－1)2＞0，k2＞0，‎ 所以2e2－1＞0，e＞.‎ 所以k2＝≥3.‎ 化简得 解得＜e2≤4－2，＜e≤－1.‎ 故e的取值范围是.‎ ‎(时间：120分钟__分数：150分)‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2014·福建福州一模，6)若△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1(x>3) D.－＝1(x>4)‎ ‎【答案】　C　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝|AD|－|BE|＝8－2＝6.‎ 根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，所以方程为－＝1(x>3)．‎ ‎2．(2014·课标Ⅰ，4)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为(　　)‎ A. B．3 C.m D．3m ‎【答案】　A　由双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)，得－＝1，c2＝3m＋3，c＝.‎ 设F(，0)，一条渐近线y＝x，即x－y＝0，则点F到C的一条渐近线的距离d＝＝，选A.‎ ‎3．(2014·广东深圳一模，6)过点A的直线l与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点，这样的l的条数是(　　)‎ A．0或1 B．1或2‎ C．0或1或2 D．1或2或3‎ ‎【答案】　D　①当A在抛物线的外部时，共有三条直线与抛物线只有一个公共点(有两条是切线，一条与抛物线的对称轴平行，如图)；②可以想象，当A在抛物线上时，有两条直线与抛物线只有一个公共点；③当A在抛物线的内部时，只有一条直线与抛物线只有一个公共点．故选D.‎ ‎4．(2015·山西太原二模，9)已知A是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若＝λ，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．与λ的取值有关 ‎【答案】　B　依题意得点G在线段OP上，且＝3，由＝λ得GA∥PF1，＝＝3，即e＝＝3，该双曲线的离心率为3，故选B.‎ ‎5．(2015·湖北武汉模拟，8)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若＝2，则k＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　设A，B的纵坐标分别为y1，y2，‎ 由＝2得y1＝2y2(如图)．‎ 由y＝k(x＋1)得，x＝－1，代入C：y2＝4x并整理得ky2－4y＋4k＝0，‎ 又y1，y2是该方程的两根，‎ ‎∴ ‎∴由①②得，y＝＝2.‎ ‎∵k>0，∴k＝.‎ ‎6．(2014·福建，9)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)‎ A．5 B.＋ C．7＋ D．6 ‎【答案】　D　设椭圆上的点为(x，y)，∵圆x2＋(y－6)2＝2的圆心为(0，6)，半径为，‎ ‎∴椭圆上的点与圆心的距离为＝≤5，‎ ‎∴P，Q两点间的最大距离是5＋＝6.故选D.‎ ‎7．(2012·浙江，8)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)‎ A．3 B．2 C. D. ‎【答案】　B　设椭圆长半轴的长为a(a>0)，则双曲线实半轴的长为，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c，所以双曲线的离心率e1＝＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝＝2，故选B.‎ ‎8．(2015·湖南永州二模，8)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，有下列四个命题：‎ ‎①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题是(　　)‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】　A　因为|PF|＝|MF|＝|NF|，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°，故①正确，②错误．由题意得，直线PM的方程为y＝x＋，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，‎ ‎∴Δ＝(－2p)2－4p2＝0，所以直线PM与抛物线相切，故③正确，④错误．‎ ‎9．(2013·辽宁，11)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　B　如图，设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，设|AF|＝x，则由余弦定理可得 cos∠ABF＝＝.‎ 解得x＝6，∴∠AFB＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|＝8，且∠FAF1＝∠FAB＋∠FBA＝90°，即△FAF1是直角三角形，所以|FF1|＝10，故2a＝8＋6＝14，2c＝10，∴＝.故选B.‎ ‎10．(2015·吉林长春调研，10)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A. B．2 C. D．3‎ ‎【答案】　B　由题意可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2，故选B.‎ ‎11．(2013·山东，11)抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D　抛物线C1的焦点F，双曲线C2的右焦点F′(2，0)，‎ ‎∴直线FF′为＋＝1，与y＝x2联立得x2＋x－p2＝0，①‎ 又y′＝，设M(x0，y0)，则C1在点M处的切线斜率k＝.‎ C2的一条渐近线的斜率为，故＝，得x0＝p，代入①解得p＝.故选D.‎ ‎12．(2015·河北石家庄质检，11)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为(　　)‎ A．a，a B．a， C.， D.，a ‎【答案】　A　设|AF1|＝x，|AF2|＝y，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，由三角形内切圆的性质得x－y＝2a，又∵x＋y＝2c，‎ ‎∴x＝a＋c，∴|OA|＝a.延长F2B交PF1于点C，‎ ‎∵PQ为∠F1PF2的角平分线，‎ ‎∴|PF2|＝|PC|，再由双曲线定义得|CF1|‎ ‎＝2a，‎ ‎∴|OB|＝a，故选A.‎ 二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分)‎ ‎13．(2014·广东揭阳模拟，12)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．‎ ‎【解析】　由题意知A点的坐标为(－a，0)．l的方程为y＝x＋a，∴B点的坐标为(0，a)．又∵|AM|＝|MB|，故M点的坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2.又∵a2＝b2＋c2，∴c2＝2b2，‎ ‎∴e＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎14．(2014·辽宁本溪一模，14)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为________．‎ ‎【解析】　△ABF2的内切圆周长为π，所以△ABF2的内切圆半径为.又△ABF2的周长为4a＝20，所以△ABF2的面积为××20＝5，另一方面△ABF2的面积为·|F1F2|·|y1－y2|，即×6·|y1－y2|＝5，则|y1－y2|＝.‎ ‎【答案】　 ‎15．(2011·大纲全国，16)已知F1，F2分别为双曲线C: －＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________．‎ ‎【解析】　在双曲线－＝1中，‎ a2＝9，b2＝27，c2＝a2＋b2＝36，‎ ‎∴F1(－6，0)，F2(6，0)．如图，‎ ‎∵M(2，0)，∴|F1M|＝6＋2＝8，‎ ‎|F2M|＝6－2＝4.‎ ‎∵AM为∠F1AF2的平分线，‎ ‎∴＝＝＝.‎ ‎∴|AF1|＝2|AF2|，‎ 即点A在双曲线的右支上，根据双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a＝6.‎ ‎【答案】　6‎ ‎16．(2015·湖北十校联考，14)已知两定点M(－1，0)，N(1，0)，若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是______(填序号)．‎ ‎①y＝x＋1；②y＝2；③y＝－x＋3；④y＝－2x＋3.‎ ‎【解析】　由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，‎ 其方程是＋＝1，‎ ‎①把y＝x＋1代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，‎ ‎∵Δ＝82－4×7×(－8)>0，直线与椭圆有两个交点，∴y＝x＋1是“A型直线”．‎ ‎②把y＝2代入＋＝1，得＝－不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．‎ ‎③把y＝－x＋3代入＋＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝(－24)2－4×7×24<0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．‎ ‎④把y＝－2x＋3代入＋＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝(－48)2－4×19×24>0， ∴y＝－2x＋3是“A型直线”．‎ ‎【答案】　①④‎ 三、解答题(共6小题，共74分)‎ ‎17．(12分)(2012·陕西，20)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．‎ ‎(1)求椭圆C2的方程；‎ ‎(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．‎ 解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，‎ 故＝，则a＝4，‎ 故椭圆C2的方程为＋＝1.‎ ‎(2)A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，‎ 由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，‎ 因此可设直线AB的方程为y＝kx.‎ 将y＝kx代入＋y2＝1中，‎ 得(1＋4k2)x2＝4，‎ 所以x＝，所以y＝.‎ 由＝2，‎ 得x＝，y＝，‎ 将x，y代入＋＝1中，‎ 得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，‎ 解得k＝±1，‎ 故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.‎ 思路点拨：利用向量知识由＝2得出直线AB过原点O，及点A，B在椭圆上，则A，B坐标适合椭圆方程是解题关键．‎ ‎18．(12分)(2015·安徽安庆二模，21)已知椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，该椭圆经过点P，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过椭圆＋＝1(a>b>0)长轴上任意一点S(s，0)，(－a0)的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线l：y＝于点M，当|FD|＝2时，∠AFD＝60°.‎ ‎(1)求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1的值．‎ 解：(1)设A，则A处的切线方程为l1：y＝x－，‎ 所以D，Q，F.‎ 所以|AF|＝.‎ 所以|FQ|＝＋＝|AF|，即△AFQ为等腰三角形．‎ 又D为线段AQ的中点，所以|AF|＝4，‎ 得所以p＝2，即抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设B(x2，y2)(x2<0)，则B处的切线方程为y＝x－，‎ 由得P，‎ 由得M，‎ 同理N，所以面积 S＝·＝，①‎ 设AB的方程为y＝kx＋b，则b>0，‎ 由得x2－4kx－4b＝0，‎ 得代入①得：‎ S＝ ‎＝，‎ 要使面积最小，则k＝0，‎ 得到S＝，②‎ 令＝t，则由②得S(t)＝＝t3＋2t＋，S′(t)＝，所以当t∈时，S(t)单调递减；‎ 当t∈时，S(t)单调递增，所以当t＝时，S取到最小值为，‎ 此时b＝t2＝，k＝0，‎ 所以y1＝，即x1＝.‎ 故当△PMN面积取到最小值时的x1的值为.‎ ‎20．(12分)(2014·东北三校第一次联考，20)在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(－，0)，(，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E(－1，0)且与曲线C交于A，B两点．‎ ‎(1)求曲线C的轨迹方程；‎ ‎(2)是否存在△AOB面积的最大值？若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以点(－，0)，(，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，‎ 故曲线C的轨迹方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)存在△AOB面积的最大值．‎ 因为直线l过点E(－1，0)，‎ 所以可设直线l的方程为x＝my－1或y＝0(舍)．‎ 由条件得 整理得(m2＋4)y2－2my－3＝0，‎ Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2.‎ 解得y1＝，‎ y2＝，‎ 则|y2－y1|＝，‎ 则S△AOB＝|OE|·|y1－y2|‎ ‎＝＝.‎ 设t＝，则g(t)＝t＋，t≥，‎ 则g(t)在区间[，＋∞)上为增函数，所以g(t)≥.‎ 所以S△AOB≤，当且仅当m＝0时等号成立，即(S△AOB)max＝.‎ 所以S△AOB的最大值为.‎ ‎21．(12分)(2015·河北唐山二模，21)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标．‎ 解：(1)由已知得M，C(2，0)．‎ 如图，设AB与x轴交于点R，由圆的对称性可知，‎ ‎|AR|＝.‎ 于是|CR|＝＝，‎ 由题意易知△AMC∽△RAC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴|MC|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2.‎ 故抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)如图，设N(s，t)．‎ P，Q是NC为直径的圆D与圆C的两交点，‎ 圆D方程为＋＝，‎ 即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0.①‎ 又圆C方程为x2＋y2－4x＋3＝0.②‎ 由②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0.③‎ P，Q两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ的方程．‎ 因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝.‎ 故点N坐标为或.‎ ‎22．(14分)(2015·浙江“六市六校”联盟模拟，21)已知动圆过定点A(0，2)，且在x轴上截得的弦长为4.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎(2)点P为轨迹C上任意一点，直线l为轨迹C上在点P处的切线，直线l交直线：y＝－1于点R，过点P作PQ⊥l交轨迹C于点Q，求△PQR的面积的最小值．‎ 解：(1)设C(x，y)，|CA|2－y2＝4，即x2＝4y.‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)C的方程为x2＝4y，即y＝x2，故y′＝x.‎ 设P(t≠0)，‎ PR所在的直线方程为y－＝(x－t)，‎ 即y＝x－，则点R的横坐标xR＝，‎ ‎|PR|＝|xR－t|‎ ‎＝.‎ PQ所在的直线方程为 y－＝－(x－t)，‎ 即y＝－x＋2＋，‎ 由 消去y得＋x－2－＝0，‎ 由xP＋xQ＝－得点Q的横坐标为 xQ＝－－t，‎ 又|PQ|＝|xP－xQ|‎ ‎＝ ‎＝.‎ ‎∴S△PQR＝|PQ||PR|＝.‎ 不妨设t>0，记f(t)＝(t>0)，‎ 则当t＝2时，f(t)min＝4.‎ 由S△PQR＝[f(t)]3，得△PQR的面积的最小值为16.‎