2020年中考数学专题复习：全等到相似的转化

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全等到相似的转化[中%国教*~育^出版网@]‎ 知识互联网 ‎[来源:~z*zs&tep.c#om^]‎ ‎[来&源~:*zzstep.co@m%]‎ 题型一：全等到相似的转化（对称型）‎ ‎[来~#源%*:^中国教育出版网]‎ 典题精练 已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．‎ ‎⑴ 当时，______，[w~ww.z#zs^te%p@.com]‎ 第 13 页 共 14 页 ‎⑵ 当时，求的值；‎ ‎⑶ 当时（点与点不重合），请写出翻折后与正方形公共部分的面积与的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．‎ ‎⑴ 6 ；‎ ‎⑵ ① 如图1，当点在上时，延长交于点，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ 又，∴．∴．[w#ww.zzs%t*ep^.co@m]‎ 设，则，．[来~源:zz*^ste%@p.com]‎ 在中，由勾股定理得：‎ ‎，解得．∴．‎ ‎∴；‎ ‎② 如图2，当点在延长线上时，延长交于点，‎ 同①可得．‎ 设，则．‎ 在中，由勾股定理，得 ‎，解得．∴．‎ ‎∴．‎ ‎⑶ ① 当点在上时，；[来源&:中教网@*#^]‎ ‎（所求的面积即为的面积，再由相似表示出边长）‎ 第 13 页 共 14 页 ‎② 当点在延长线上时，．‎ ‎[中国#&教育出*版网@~]‎ 题型二：全等到相似的转化（旋转型）‎ 典题精练 在和中，，，，、交于点．‎ ‎⑴ 如图1，，则 ，与的数量关系是 ；‎ ‎[来源:zzs%t&ep~.#co@m]‎ ‎⑵ 如图2，，则的度数为____（用含的式子表示），与之间的数量关系是_____；填写你的结论，并给出你的证明；‎ ‎⑶ 请你继续完成下面探索：‎ 如图3，在和中，，，，则的度数为 ________（用含的式子表示），与之间的数量关系是______；填写你的结论，并给予证明．‎ 此题考察学生对共顶点的三角形的全等与相似.解决这里夹角的主要思路是我们常见的模型“八字角”.‎ ‎⑴ ，相等；‎ ‎⑵，相等；[中国教育出%版网^@*&]‎ 第 13 页 共 14 页 ‎∵，∴[中~国&^教育出#*版网]‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎⑶ ，.‎ 易证，∴，‎ ‎∵，∴，∴，[来#^源:@中国教育出版~网*]‎ ‎∴．[www&.z~z*st%ep.com#]‎ ‎[来源:^zzste~p.%com@&]‎ 如图，直线与线段相交于点， 点和点在直线上，且.‎ ‎⑴ 如图1所示，当点与点重合时 ，且，请写出与的数量关系和位置关系；‎ ‎⑵ 将图1中的绕点顺时针旋转到如图2所示的位置，，⑴中的与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎⑶ 将图2中的拉长为的倍得到如图3，求的值．‎ ‎【答案】⑴ ；‎ 第 13 页 共 14 页 ‎⑵ 仍然成立.‎ 证明: 过点作于，过点作于 ‎∴‎ ‎∵，‎ ‎∴≌‎ ‎∴[来源:*中@教#&网~]‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ 延长与的延长线相交点 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎⑶ 过点作于，过点作于 易证[来源:中&*国^教育出#版网@]‎ ‎∴ ．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 由⑵知 ．‎ 第 13 页 共 14 页 ‎ ．‎ 如图，是由绕点顺时针旋转得到的，连结交斜边于点，的延长线交于点．‎ ‎⑴ 证明：；‎ ‎⑵ 设，，试探索、满足什么关系时，与是全等三角形，并说明理由．‎ ‎[ww&w^.zzstep*#.co@m]‎ ‎⑴ 证明：∵是由绕点顺时针旋转得到的，‎ ‎∴，，[www.#zzst&*e~p.c@om]‎ ‎∴‎ ‎∴[来源:中@#国教*育出版~网^]‎ 又 ‎∴‎ ‎⑵ 解：当时，[来~源*:中国教育出版^&@网]‎ 在¢中，∵‎ ‎∴‎ 在中，‎ ‎，即，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 第 13 页 共 14 页 ‎∴‎ 由⑴知：，‎ ‎∴.[中国教育&出^*@版网#]‎ 如图，正方形的对角线与相交于点，正方形与正方形全等，射线与不过、、、四点且分别交BC.CD的边于、两点．[来#%&源*:@中教网]‎ ‎⑴ 求证：；‎ ‎⑵ 若将原题中的正方形改为矩形，且，其他条件不变，探索线段与[中国教育出%~*#版网^]‎ 线段的数量关系．[w#ww.zz@s^tep%~.com]‎ ‎[www.z%#z&ste^p@.com]‎ ‎⑴ 证明：过点作于点，于点.‎ ‎∴.‎ ‎∵为正方形对角线、的交点，‎ ‎∴.‎ 第 13 页 共 14 页 又∵‎ ‎∴‎ 在和中 ‎[来源:中~^&国#教育出版网@]‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎⑵ 解：当交于点，交于点时.‎ 过点作于点，于点H.‎ ‎∴∠MGE=∠MHF=.[来源:@~&中#教网^]‎ ‎∵M为矩形对角线AC.BD的交点，‎ ‎∴∠EMG+∠GMQ =∠HMF +∠GMQ=.‎ ‎∴∠EMG =∠HMF.‎ 在△MGE和△MHF中，‎ ‎∴△MGE∽△MHF.‎ ‎∴.‎ ‎∵M为矩形对角线AC.BD的交点，∴MB=MD=MC 又∵MG⊥BC，MH⊥CD，∴点G、H分别是BC.DC的中点.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.[来%~源:中教*^网&]‎ 如图，是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点 第 13 页 共 14 页 与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．‎ ‎（1）如图①，当点在线段上，且时，求证：；‎ ‎（2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时，两点间的距离 （用含的代数式表示）．‎ ‎【解析】（1）证明：∵是等腰直角三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵的中点，‎ ‎∴，[来&源:#中教^%网~]‎ 在中，‎ ‎∴‎ ‎∴；‎ ‎（2）解：连接，‎ ‎∵是两个全等的等腰直角三角形，‎ 第 13 页 共 14 页 ‎∴，‎ ‎∵，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 在中，．‎ 复习巩固 题型一 全等到相似的转化（对称型）‎ 如右图，在正方形ABCD中，AB=1，BE⊥AP于E，DF⊥AP于F，‎ 若= m(m为常数)，则= .‎ 如图，已知，，，以为边作矩形ABCD，使 第 13 页 共 14 页 ‎，过点D作DE垂直OA的延长线交于点E．[ww#w~.z%zst@ep^.com]‎ O B C A E D ‎ ‎ ‎⑴ 当a为何值时，？请说明理由，并求此时点C到OE的距离．‎ ‎⑵ 当a为何值时，C到OE的距离是15？[中国^*教育#&~出版网]‎ ‎⑴ 当时，‎ ‎∵，，∴，当时，，∵‎ ‎，∴‎ 过作，过作．‎ ‎∵为矩形．‎ 又∵，∴为正方形 ‎∴，，[中国^教@&育出版%网*]‎ ‎∴，∴‎ ‎∴，∴‎ ‎⑵ 当时，到的距离是15；‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，∴‎ ‎[中*国教%@育~出版^网]‎ 第 13 页 共 14 页 题型二 全等到相似的转化（旋转型）‎ 现有一副直角三角板，按下列要求摆放：‎ ‎⑴ 如图1，固定等腰直角三角板，于，另一个直角三角板的直角顶点与重合，现让三角板绕点旋转，保证、分别交、于点、．试探求的值；‎ ‎⑵ 如图2，交换两块三角板的位置，固定直角三角板，于，另一个等腰直角三角板的直角顶点与点重合，、分别交、于点，，试问的值又将如何变化？‎ ‎ ‎ ‎⑴ ，，，得，．[来#%源:^~中教网&]‎ ‎⑵由，得，又由，得，故．‎ 如图1，在中，，，是边上一点，是边上 的一个动点（与点、不重合），，与射线相交于点．‎ ‎⑴如图2，如果点是边的中点，求证：；‎ ‎⑵如果，求的值.‎ 第 13 页 共 14 页 ‎ ‎ ‎⑴ 如图，连结，那么是等腰直角三角形的斜边上的高．‎ 根据“角边角”可以证明，从而得到．‎ ‎⑵ 如图，作，，垂足分别为点、，‎ 那么与都是等腰直角三角形，．‎ 因为与都是的余角，‎ 所以．[来源~%:zzs#t*ep.co&m]‎ 又因为，‎ 所以．‎ 因此．‎ 填空或解答：点B.C.E在同一直线上，点A.D在直线CE的同侧，，，‎ ‎，直线AE.BD交于点F．‎ ‎⑴ 如图1，若，则_________；如图2，若，则 ‎_________；‎ ‎⑵ 如图3，若，则_________(用含的式子表示)；‎ ‎⑶ 将图3中的△ABC绕点C旋转(点F不与点A.B重合)，得图4或图5．在图4中，‎ 与的数量关系是___________；在图5中，与的数量关系是___________．请你任选其中一个结论证明．‎ 第 13 页 共 14 页 A A A B B B C C C D D D E E E F F F 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎[中^国教#育出~版&*网]‎ A A B B C C D D E E F F 图4‎ 图5‎ ‎ Q ‎⑴ ，；‎ ‎⑵ ；[来#源:~中国%教*育@出版网]‎ ‎⑶ 图4中：；‎ 图5中：．‎ 的证明如下：‎ 如图4，设与的交点为[中国教育%出版网@~#*]‎ ‎∵，，．‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，得[来%@源&:^中~教网]‎ ‎∵‎ ‎∴．[来&源@:~中教^#网]‎ 第 13 页 共 14 页