2019年北京市高级中等学校招生考试数学试题

2019年北京市高级中等学校招生考试数学试题

‎2019年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 考生须知 ‎1. 本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．‎ ‎2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号．‎ ‎3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上、在试卷上作答无效．‎ ‎4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．‎ ‎5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．‎ 一、选择题(本题共16分，每小题2分)‎ 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．‎ ‎1. 4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为(　　)‎ A. 0.439×106　　　　B. 4.39×106‎ C. 4.39×105 D. 439×103‎ ‎2. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是(　　)‎ ‎3. 正十边形的外角和为(　　)‎ A. 180°　　B. 360°　　C. 720°　　D. 1440°‎ ‎4. 在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若CO＝BO，则a的值为(　　)‎ A. －3 B. －2 C. －1 D. 1‎ ‎5. 已知锐角∠AOB如图，‎ 第5题图 ‎(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD; ‎ ‎(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；‎ ‎(3)连接OM，MN.‎ 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是(　　)‎ A. ∠COM＝∠COD B. 若OM＝MN，则∠AOB＝20°‎ C. MN∥CD D. MN＝3CD ‎6. 如果m＋n＝1，那么代数(＋)·(m2－n2)的值为(　　)‎ A. －3 B. －1 C. 1 D. 3‎ ‎7. 用三个不等式a>b，ab>0，<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎8. 某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据．以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.‎ 学 生类别 人数 ‎0≤‎ t<10‎ ‎10≤‎ t<20‎ ‎20≤‎ t<30‎ ‎30≤‎ t<40‎ t≥40‎ 时间t 性别 男 ‎7‎ ‎31‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎4‎ 女 ‎8‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎32‎ ‎8‎ 学校 初中 ‎25‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎11‎ 高中 第8题图 下面有四个推断：‎ ‎①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5－25.5之间 ‎②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20－30之间 ‎③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20－30之间 ‎④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20－30之间 所有合理推断的序号是(　　)‎ A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④‎ 二、填空题(本题共16分，每小题2分)‎ ‎9. 若分式的值为0，则x的值为________．‎ ‎10. 如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为________cm2.(结果保留一位小数)‎ 第10题图 ‎11. 在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是________．(写出所有正确答案的序号)‎ 第11题图 ‎12. 如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝________°(点A，B，P是网格交点)．‎ 第12题图 ‎13. 在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)(a>0，b>0)在双曲线y＝上，点A关于x轴的对称点B在双曲线y＝上，则k1＋k2的值为________．‎ ‎14. 把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②，图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．‎ 第14题图 ‎15. 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差s，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，－4，9，－5，记这组新数据的方差为s，则s＝________s.(填“>”，“＝”或“<”)‎ ‎16. 在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，正确四个结论中，‎ ‎①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；‎ ‎②存在无数个四边形MNPQ是矩形；‎ ‎③存在无数个四边形MNPQ是菱形；‎ ‎④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．‎ 所有正确结论的序号是________．‎ 三、解答题(本题共68分，第17－21题，每小题5分，第22－24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每小题7分)‎ 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎17. 计算：|－|－(4－π)0＋2sin60°＋()－1.‎ ‎18. 解不等式组： ‎19. 关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．‎ ‎20. 如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.‎ ‎(1)求证：AC⊥EF；‎ ‎(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝，求AO的长．‎ 第20题图 ‎21. 国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数，对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息：‎ a. 国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x＜40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；‎ b. 国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：‎ ‎61．7　62.4　63.6　65.9　66.4　68.5　69.1　69.3　69.5‎ c. 40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：‎ d. 中国的国家创新指数得分为69.5.‎ ‎(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ ‎(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；‎ ‎(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“○”画出代表中国的点；‎ ‎(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为________万美元；(结果保留一位小数)‎ ‎(4)下列推断合理的是________．‎ ‎①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；‎ ‎②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．‎ ‎22. 在平面内，给定不在同一条直线一上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a(a为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD.‎ ‎(1)求证：AD＝CD；‎ ‎(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM.若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．‎ 第22题图 ‎23. 小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：‎ ‎①将诗词分成4组，第i组有xi首，i＝1，2，3，4；‎ ‎②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i＋1)天背诵第二遍，第(i＋3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i＝1，2，3，4；‎ 第1‎ 天 第2‎ 天 第3‎ 天 第4‎ 天 第5‎ 天 第6‎ 天 第7‎ 天 第1组 x1‎ x1‎ x1‎ 第2组 x2‎ x2‎ x2‎ 第3组 第4组 x4‎ x4‎ x4‎ ‎③每天最多背诵14首，最少背诵4首．‎ 解答下列问题：‎ ‎(1)填入x3补全上表：‎ ‎(2)若x1＝4，x2＝3，x3＝4，则x4的所有可能取值为________；‎ ‎(3)7天后，小云背诵的诗词最多为________首．‎ ‎24. 如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上的一动点，连接PC交弦AB于点D.‎ 第24题图 小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．‎ 下面是小腾的探究过程，请补充完整：‎ ‎(1)对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：‎ 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ PC/cm ‎3.44‎ ‎3.30‎ ‎3.07‎ ‎2.70‎ ‎2.25‎ ‎2.25‎ ‎2.64‎ ‎2.83‎ PD/cm ‎3.44‎ ‎2.69‎ ‎2.00‎ ‎1.36‎ ‎0.96‎ ‎1.13‎ ‎2.00‎ ‎2.83‎ AD/cm ‎0.00‎ ‎0.78‎ ‎1.54‎ ‎2.30‎ ‎3.01‎ ‎4.00‎ ‎5.11‎ ‎6.00‎ 在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；‎ ‎(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；‎ ‎(3)结合函数图象，解决问题；当PC＝2PD时，AD的长度约为________cm.‎ ‎25. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋1(k≠0)与直线x＝k，直线y＝－k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝－k交于点C.‎ ‎(1)求直线l与y轴的交点坐标；‎ ‎(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W.‎ ‎①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；‎ ‎②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．‎ ‎26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．‎ ‎(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；‎ ‎(2)求抛物线的对称轴；‎ ‎(3)已知点P(，－)，Q(2，2)，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．‎ ‎27. 已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.‎ ‎(1)依题意补全图①；‎ ‎(2)求证：∠OMP＝∠OPN；‎ ‎(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP，写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．‎ 第27题图 ‎28. 在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．‎ 第28题图 ‎(1)如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t>0)．在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．‎ ‎①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；‎ ‎②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．‎ ‎2019北京中考真题解析 ‎1. C　【解析】439000＝4.39×105.‎ ‎2. C　【解析】‎ 选项 逐项分析 正误 A 不是轴对称图形  B 不是轴对称图形  C 是轴对称图形 ‎√‎ D 不是轴对称图形  ‎3. B　【解析】∵多边形的外角和为360°，∴正十边形的外角和为360°.‎ ‎4. A　【解析】∵将点A向右平移1个单位长度得到点C，∴点C表示的数为a＋1.∵A、B在原点O的两侧，且B表示数字2，CO＝BO，∴点C表示的数为－2，即a＋1＝－2.解得a＝－3.‎ ‎5. D　【解析】如解图，连接ON，CM，DN.由作图过程(2)知，CM＝CD＝DN，∴＝＝.∠COM＝∠COD＝∠DON.A正确；由作图过程(1)知OM＝ON.又∵OM＝MN，∴OM＝ON＝MN.∴△OMN是等边三角形，∠MON＝60°.∴∠COD＝∠MON＝×60°＝20°，即∠AOB＝20°.B正确；设OA交MN于点E.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝.∵OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM＝.∵∠MON＝3∠COD，∴∠OMN＝.∵∠OEN是△OME的外角，∴∠OEN＝∠OMN＋∠MOE＝∠OMN＋∠COD＝＋∠COD＝.∴∠OEN＝∠OCD.∴MN∥CD.C正确；根据“两点之间，线段最短”可知，MC＋CD＋DN＞MN.∵MC＋CD＋DN＝3CD.即3CD＞MN.D错误．‎ 第5题解图 ‎6. D　【解析】∵m＋n＝1，∴原式＝[＋]·(m2－n2)＝·(m＋n)(m－n)＝3(m＋n)＝3.‎ ‎7. D　【解析】构成的命题有3个，分别为：①若a＞b，ab＞0，则＜；②若a＞b，<，则ab＞0；③若ab ‎＞0，<，则a＞b.①②③都是真命题．‎ ‎8. C　【解析】由统计图中男生、女生的条形图可知，男生人均参加公益劳动的时间是24.5小时，女生人均参加公益劳动的时间是25.5小时，∴这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5－25.5之间，所以①正确；由统计表可知，从左到右时间按由小到大的排序排列，其中0≤t＜10之间共有7＋8＝15人，10≤t＜20之间共有31＋29＝60人，20≤t＜30之间共有25＋26＝51人．∵15＋60＝75＜100，15＋60＋51＝126＞100，∴第100、101个数据在20≤t＜30之间，∴中位数在20≤t＜30之间，所以②正确；由统计表可知，在0≤t＜10之间初中生人数最多是15人，最少是0人．当0≤t＜10之间初中生人数是15时，此时数据为15，25，36，44，11.∵15＋25＋36＋44＋11＝131，最中间的数是第66个数，而15＋25＝40＜66，15＋25＋36＝76，∴中位数在20≤t＜30之间．当0≤t＜10之间初中生人数是0时，此时数据为0，25，36，44，11.∵0＋25＋36＋44＋11＝116，最中间的数是第58、59个数，而0＋25＝25＜58，0＋25＋36＝61＞59，∴中位数在20≤t＜30之间．∴这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20≤t＜30之间，∴③正确；由统计表可知，从左到右第2、3、4、5小组高中生人数分别为31＋29－25＝35人，25＋26－36＝15人，30＋32－44＝18人，4＋8－11＝1人．当0≤t＜10之间高中生人数是0时，此时数据为0，35，15，18，1.∵0＋35＋15＋18＋1＝69，最中间的数是第35个数，而0＋35＝35，∴中位数在10≤t＜20之间．当0≤t＜10之间高中生人数是15人时，∵15＋35＋15＋18＋1＝84，最中间的数是第42、43个数，而15＜42，15＋35＝50＞43，∴中位数在10≤t＜20之间．∴这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数一定在10≤t＜20之间，所以④错误．‎ ‎9. 1　【解析】要使有意义，则分母x≠0.∵的值为0，∴x－1＝0，解得x＝1，∴x的值为1.‎ ‎10. 度量求解【解析】本题考查三角形面积，直接动手测量即可．‎ ‎11. ①②　【解析】长方体的三视图都是矩形，圆柱的主视图和左视图是矩形．圆锥的三视图中没有矩形．‎ ‎12. 45　【解析】如解图所示，延长AP，则AP经过格点C，连接BC.设网格中小正方形的边长为1，则由勾股定理得PC＝BC＝＝，PB＝＝.∵PC2＋BC2＝()2＋()2＝10，PB2＝()2＝10，∴PC2＋BC2＝PB2.∴△PBC是等腰直角三角形．∴∠CPB＝45°.∵∠CPB是△ABP的外角，∴∠PAB＋∠PBA＝∠CPB＝45°.‎ 第12题解图 ‎13. 0　【解析】∵点A(a，b)(a>0，b>0)在双曲线y＝上，∴b＝.∴k1＝ab.∵点A(a，b)与点B关于x轴对称，∴B(a，－b)．∵点B(a，－b)(a>0，b>0)在双曲线y＝上，∴－b＝.∴k2＝－ab.∴k1＋k2＝ab＋(－ab)＝0.‎ ‎14. 12　【解析】设图①中菱形对角线分别为a，b，且a>b.由图②得a＋b＝5，即a＋b＝10.由图③得a－b＝1，即a－b＝2.解方程组，得∴菱形的面积为ab＝×6×4＝12.‎ ‎15. ＝　【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数x0＝×(92＋90＋94＋86＋99＋85)＝91.∴s＝×[(92－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(86－91)2＋(99－91)2＋(85－91)2]＝.数据2，0，4，－4，9，－5的平均数x1＝×(2＋0＋4－4＋9－5)＝1.∴s＝×[(2－1)2＋(0－1)2＋(4－1)2＋(－4－1)2＋(9－1)2＋(－5－1)2]＝.∴s＝s.‎ ‎16. ①②③　【解析】在矩形ABCD中，连接AC、BD交于点O.作四边形MNPQ，连接MP、NQ，当MP、NQ都经过点O时，如解图．∵矩形ABCD是中心对称图形，点O是对称中心，∴OM＝OP，ON＝OQ.∵直线MN，PQ具有任意性，∴存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，∴①正确；当MP＝NQ时，平行四边形MNPQ是矩形．∵当MP确定后，总存在NQ使得NQ＝MP，∴存在无数个四边形MNPQ是矩形．∴②正确．当MP⊥NQ时，平行四边形MNPQ是菱形．当MP确定后，过点O一定可以画出NQ⊥MP.∵MP具有任意性，∴存在无数个四边形MNPQ是菱形，∴③正确；当MP⊥NQ且MP＝NQ时，平行四边形MNPQ是正方形，当矩形ABCD的邻边不相等时，不存在四边形MNPQ是正方形，∴④错误．‎ 第16题解图 ‎17. 解：原式＝－1＋2×＋4‎ ‎ ＝2＋3.‎ ‎18. 解：由4(x－1)＜x＋2解得x＜2.由＞x解得x＜.‎ ‎∴不等式组的解集为x＜2.‎ ‎19. 解：∵关于x的方程x2－2x＋2m－1＝0有实数根，‎ ‎∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(2m－1)≥0.解得m≤1.‎ ‎∵m为正整数，∴m＝1.‎ 当m＝1时，可得方程x2－2x＋1＝0.‎ 解得x1＝x2＝1.‎ ‎20. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴∠BAC＝∠DAC.‎ ‎∵AB＝AD，BE＝DF，∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.‎ ‎∴△AEF是等腰三角形．‎ 又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；‎ ‎(2)解：由题意作解图如下，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝BD＝×4＝2.∴∠G＝∠AEG.由(1)知EF⊥AC.又∵BD⊥AC.∴EF∥BD.∴∠AEG＝∠ABO.∴∠G＝∠ABO.∵tanG＝，∴tan∠ABO＝＝.∴AO＝OB·tan∠ABO＝2×＝1.‎ 第20题解图 ‎21. 解：(1)17　【解法提示】由频数分布直方图可知，根据国家创新指数得分将数据从大到小排列为：2，2，12，9，6，8，1.∵中国的国家创新指数得分为69.5，将国家创新指数得分在60≤x<70这一组从大到小排列为：69.5，69.3，69.1，68.5，66.4，65.9，63.6，62.4，61.7，∴中国在60≤x <70这一分数段排名第一位，∴中国的国家创新指数得分排名世界的名次为：2＋2＋12＋1＝17.‎ ‎(2)如解图①所示 第21题解图①‎ ‎(3)2.7　【解法提示】如解图②所示，过表示中国的点画横轴的平行线，在该平行线的上方且最左边的点的横坐标就是所求的最小值，最小值约为2.7.‎ 第21题解图②‎ ‎(4)①②　【解法提示】由散点统计图知，点A，B在表示中国的点的上方，∴中国的国家创新指数得分低于点A、B所代表的国家，因此中国提出”加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力，①正确；点B、C在表示中国的点的右侧，∴中国的人均国内生产总值低于点B、C所代表的国家，因此中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值，②正确．‎ ‎22. (1)证明：∵点O到点A，B，C的距离均等于a，∴图形G为以点O为圆心，a为半径的圆(如解图所示)．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∴AD＝CD；‎ ‎(2)解：如解图所示，连接BM，OD.由(1)得AD＝CD.又∵AD＝CM，∴CD＝CM.∠DBC＝∠MBC＝∠MDC.∵DM⊥BC，∴∠DBC＋∠BDM＝90°.∴∠MDC＋∠BDM＝90°，即∠BDC＝90°.∴BC是⊙O的直径．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵∠OBD＝∠ABD，∴∠ODB＝∠ABD.∴OD∥AB.∵BE⊥DE，∴OD⊥DE.∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切．∴直线DE与图形G的公共点个数为1.‎ 第22题解图 ‎23. 解：(1)如表格所示；‎ 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 x1‎ x1‎ x1 ‎ 第2组 x2‎ x2‎ x2 ‎ 第3组 x3‎ x3‎ x3 ‎ 第4组 x4‎ x4‎ x4‎ ‎【解法提示】第3组，第3天背诵第一遍，第3＋1＝4天背诵第二遍，第3＋3＝6天背诵第三遍．‎ ‎(2)4，5，6 ‎ ‎【解法提示】观察表格，可得，即，解得4≤x4≤6.∵x4为正整数，‎ ‎∴x4＝4或5或6；‎ ‎(3)23‎ ‎【解法提示】‎ 依题意可知：，则3(x1＋x2＋x3＋x4)≤70，∴x1＋x2＋x3＋x4≤，要小云背诵的诗词最多，则取x1＋x2＋x3＋x4＝23，当x1＝5、x2＝9、x3＝5、x4＝4时符合题意，则最多背诵23首．‎ ‎24. 解：(1)AD ，PC，PD；‎ ‎【解法提示】一个自变量值只可能对应一个函数值，∵由表格可知当AD＝3.01或4时，PC均为2.25，∴PC长是AD长的函数；∵当AD＝1.54或5.11时，PD均为2.00，∴PD长是AD长的函数．‎ ‎(2)函数图象如解图：‎ 第24题解图 ‎(3)2.30或4.00 ‎ ‎【解法提示】由函数图象可知，当AD＝2.30或4.00时，PC＝2PD.‎ ‎25. 解：(1)在y＝kx＋1中，当x＝0时，y＝1.∴直线与y轴的交点坐标为(0，1)；‎ ‎(2)①如解图所示．当k＝2时，直线l表达式为：y＝2x＋1，直线x＝k为x＝2，直线y＝－k为y＝－2.在y＝2x＋1中，当y＝－2时，－2＝2x＋1，解得x＝－；∴B(－，－2)，当x＝2时，y＝2×2＋1＝5.∴A(2，5)，C(2，－2)，此时区域W内的整点个数为6；‎ 第25题解图 ‎②－1≤k<0或k＝－2 ‎ ‎【解法提示】当k>0时，区域内必含坐标原点，故不符合题意；‎ 当k<0时，W内点的横坐标在k到0之间，故－1≤k<0时，W内无整点，当－2≤k<－1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1，此时边界上两点坐标为C(－1，－k)和A(－1，－k＋1)，AC＝1，当k不为整数时，其上必有整点，但k＝－2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点，当k<－2时，横坐标为－2的边界点为(－2，－k)和(－2，－2k＋1)，线段长度为－k＋1>3，故必有整点．‎ 综上，－1≤k<0或k＝－2.‎ ‎26. 解：(1)在y＝ax2＋bx－中，当x＝0时，y＝－.‎ ‎∴A(0，－)．∵点A向右平移2个单位长度得到点B，∴B(2，－)；‎ ‎(2)∵点B(2，－)在抛物线上，∴－＝a×22＋b×2－.∴b＝－2a.∴对称轴为直线x＝－＝－＝1；‎ ‎(3)由(2)知b＝－2a.∴y＝ax2＋bx－＝ax2－2ax－.‎ 当a＞0时，在y＝ax2－2ax－中，当x＝时，y＝－a－.∵－a－＜－，∴点P(，－)在抛物线的上方．当x＝2时，y＝－.∵－＜2，∴点Q(2，2)在抛物线的上方．∴抛物线与线段PQ没有公共点，舍去．当a＜0时，∵－a－＞－，∴点P(，－)在抛物线的下方．∴当－≤2，即a≤－时，Q(2，2)在抛物线上方，此时抛物线与线段PQ恰好有一个公共点．综上，a的取值范围是a≤－.‎ ‎27. (1)解：如解图①所示．‎ 第27题解图①‎ ‎(2)证明：在△OPM中，∠AOB＋∠OMP＋∠OPM＝180°.又∵∠AOB＝30°，∴∠OMP＋∠OPM＝150°.∵PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN，∴∠MPN＝150°，即∠NPO＋∠OPM＝150°.∴∠OMP＝∠OPN；‎ ‎(3)解：OP＝2.‎ 证明：如解图②所示，过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OB于点F，则∠PFN＝∠MEP＝90°.由(1)知∠OMP＝∠OPN.∴∠PME＝∠NPF.在△PFN和△MEP中，∴△PFN≌△MEP(AAS)．∴NF＝PE，PF＝ME.在Rt△OPE中，OP＝2，∠AOB＝30°，∴PE＝1，OE＝.∵OH＝＋1，即OE＋EH＝＋1，∴EH＝1.∵点M关于点H的对称点为点Q，∴QH＝MH＝1＋ME＝1＋PF.∴EQ＝EH＋HQ＝1＋1＋PF＝2＋PF＝OP＋PF＝OF.在△ONF和△QPE中，∴△ONF≌△QPE(SAS)．∴ON＝QP.‎ 第27题解图②‎ ‎28. 解：(1)画出如解图①所示，与BC相切时，△ABC的中内弧最长．此时的长为以DE长为直径的半圆．∵Rt△ABC，AB＝AC＝2，∴BC＝AB＝·2＝4.∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE＝BC＝×4＝2.∴l＝×π×2＝π；‎ 第28题解图①‎ ‎(2)①当t＝时，C(2，0)．连接DE，当在DE的下方时，点P的纵坐标最小时点P为DE的中点，如解图②所示．∵A(0，2)，∴BA＝2.∵点D是BA的中点，∴BD＝1.∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE ‎＝BC＝×2＝1.∴⊙P的半径PD＝.∵＜1，∴是△ABC的中内弧．∴yP≥1.‎ 第28题解图②‎ ‎　　‎ 第28题解图③‎ 当在DE的上方时，点P的纵坐标最大时⊙P与AC相切于点E.如解图③所示，作DE的垂直平分线FG交DE于点F，交x轴于点G，则四边形DBGF是矩形，圆心P在FG上．∵C(2，0)，A(0，2)，∴BC＝BA＝2.∴Rt△ABC是等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°.∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC.∴∠AED＝∠ACB.∴∠AED＝45°.连接PE，∵⊙P与AC相切于点E，∴PE⊥AC.∴∠PEA＝90°.∴∠PEF＝∠PEA－∠AED＝45°.∵PF⊥DE，∴∠FPE＝45°.∴∠PEF＝∠FPE.∴PF＝EF.∵FG平分DE，∴DF＝EF＝DE＝×1＝.∴PF＝.∵FG＝BD＝1，∴PG＝FG－PF＝1－＝.∴P(，)．∴yP≤.‎ 综上，圆心P的纵坐标yP的取值范围为yP≥1或yP≤.‎ ‎②0＜t≤ ‎【解法提示】ⅰ. 当P在DE上方时，如解图④所示，圆心P在边AC上且与边BC相切于点F时，符合题意．∵C(4t，0)，∴BC＝4t.∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝×4t＝2t.连接PF.∵⊙P与BC相切于点F，∴PF⊥BC.∵DE∥BC，∴DE⊥PF.∴DG＝DE＝×2t＝t.∵PF⊥BC，∴PF∥y轴．∴△EPG∽△EAD.∴＝＝.∴PG＝AD＝×1＝.又∵GF＝BD＝1，∴PF＝PG＋GF＝＋1＝.∴DP＝.在Rt△PDG中，由勾股定理得DP2＝DG2＋GP2，即()2＝t2＋()2.解得t＝±.∵t＞0，∴t＝.∴t的取值范围是0＜t≤.‎ 第28题解图④‎ ⅱ. 当P在DE下方时，如解图⑤.⊙P与AC相切于点E为临界状态，过P作PM⊥DE于点M，为△ABC的中内弧，只需PM≤1即可．此时易得△EMP∽△ABC，∴＝，即＝.得PM＝2t2，故0

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