2020高中数学 第一章排列的综合应用

2020高中数学 第一章排列的综合应用

第2课时　排列的综合应用 学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．排列数公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)‎ ‎＝(n，m∈N*，m≤n)‎ A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)‎ 另外，我们规定0！＝1.‎ ‎2．排列应用题的最基本的解法 ‎(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．‎ ‎(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．‎ ‎3．解简单的排列应用题的基本思想 ‎[基础自测]‎ ‎1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为(　　)‎ A．6　　　　　　　 B．8‎ C．9 D．12‎ C　[由A＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]‎ ‎2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________. ‎ ‎【导学号：95032035】‎ ‎48　[从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．]‎ ‎3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．‎ ‎24　[把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．]‎ 7‎ ‎4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．‎ ‎186　[可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A－A＝186(种)．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 无限制条件的排列问题 ‎　(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？‎ ‎(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ ‎ ‎【导学号：95032036】‎ ‎[思路探究]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．‎ ‎[解]　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．‎ ‎(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．‎ ‎2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．‎ ‎720　[问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.]‎ 排队问题 ‎　有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．‎ ‎(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．‎ ‎(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．‎ ‎(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．‎ 7‎ ‎(4)全体排成一行，男、女各不相邻．‎ ‎(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．‎ ‎(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.‎ ‎ 【导学号：95032037】‎ ‎[思路探究]　分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素 ‎[解]　(1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A种，其余6人全排列，有A种．由分步乘法计数原理得AA＝2 160种．‎ ‎(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排列有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种．则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720种．‎ ‎(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A种排法，共有AA＝720种．‎ ‎(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有AA＝144种．‎ ‎(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A＝N×A，∴N＝＝840种．‎ ‎(6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A＝5 040种．‎ 注意：解(6)时易出现AA的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．‎ ‎[规律方法]‎ ‎1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．‎ ‎2．元素相邻和不相邻问题的解题策略 限制条件 解题策略 元素相邻 通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看做一个整体参与其他元素排列 元素 不相邻 通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中 ‎[跟踪训练]‎ ‎2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？‎ ‎(1)甲不在中间，乙必在两端；‎ ‎(2)甲不在左端，乙不在右端；‎ ‎(3)男、女生分别排在一起；‎ ‎(4)男女相间；‎ 7‎ ‎(5)男生不全相邻．‎ ‎[解]　(1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：‎ ‎2×7×A＝70 560种 ‎(2)按甲在不在右端分类讨论．‎ 甲站右端的有：A种；甲不在右端的有：7×7×A种；‎ 共有：A＋7×7×A＝A×(8＋49)＝287 280种．‎ ‎(3)(捆绑法)A·A·A＝5 760种．‎ ‎(4)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2 880种排法．‎ ‎(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A－A·A＝345 600种．‎ 数字排列问题 ‎[探究问题]‎ ‎1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？‎ ‎[提示]　偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．‎ ‎2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?‎ ‎[提示]　在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．‎ ‎　用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 ‎(1)六位奇数？‎ ‎(2)个位数字不是5的六位数？‎ ‎(3)不大于4310的四位偶数. ‎ ‎【导学号：95032038】‎ ‎[思路探究]　这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．‎ ‎[解]　(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．‎ 7‎ 法二：从特殊元素入手(直接法)‎ ‎0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．‎ 法三：排除法 ‎6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为‎3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有‎3A个，故满足条件的六位奇数共有A－‎3A－‎3A＝288(个)．‎ ‎(2)法一：排除法 ‎0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．‎ 故符合题意的六位数共有A－‎2A＋A＝504(个)．‎ 法二：直接法 十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：‎ 第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．‎ 第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．‎ 故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．‎ ‎(3)用直接法 ‎①当千位上排1,3时，有A·A·A个．‎ ‎②当千位上排2时，有A·A个．‎ ‎③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；形如41××的有A·A个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．‎ 故共有A·A·A＋A·A＋‎2A＋A·A＋2＝110(个)．‎ 母题探究：1.本例条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？‎ ‎[解]　个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．‎ ‎2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？‎ ‎[解]　由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有‎3A个数，所以240 135的项数是A＋‎3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．‎ ‎[规律方法]　解排数字问题常见的解题方法 ‎1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“‎0”‎不排“首位”．‎ 7‎ ‎2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．‎ ‎3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．‎ ‎4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)‎ A．36　　　　　　　　 B．120‎ C．720 D．240‎ C　[由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.]‎ ‎2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)‎ A．240种 B．360种 C．480种 D．720种 C　[先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]‎ ‎3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．‎ ‎144　[先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．]‎ ‎4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．‎ ‎24　[分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．‎ 则共有2×2×6＝24种排法．]‎ ‎5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×‎100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？‎ ‎[解]　法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：‎ 第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；‎ 第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有‎2A种参赛方案．‎ 由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋‎2A＝240种．‎ 7‎ 法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．‎ 由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种．‎ 7‎