2020数学(理)二轮复习第2部分专题1第1讲　三角函数的图象与性质学案

2020数学(理)二轮复习第2部分专题1第1讲　三角函数的图象与性质学案

第1讲　三角函数的图象与性质 ‎[做小题——激活思维]‎ ‎1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)‎ A．4π　　　　 B．2π C．π D． C　[函数f(x)＝sin的最小正周期为＝π.故选C.]‎ ‎2．函数y＝cos 2x图象的一条对称轴方程是(　　)‎ A．x＝　　　 B．x＝ C．x＝ D．x＝ D　[由题意易知其一条对称轴的方程为x＝，故选D.]‎ ‎3．函数g(x)＝sin在上的最小值为________．‎ ‎－　[因为x∈，所以x－∈.当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.]‎ ‎4．函数y＝cos的单调递减区间为________．‎ (k∈Z)　[由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]‎ ‎5．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．‎ y＝2sin　[由题图易知A＝2，由T＝2×＝π，可知ω＝＝＝2.于是y＝2sin(2x＋φ)，‎ 把代入y＝2sin(2x＋φ)得，‎ ‎0＝2sin，故＋φ＝kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|＜，故φ＝－，‎ 综上可知，该函数的解析式为y＝2sin.]‎ ‎6．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．‎ y＝sin　[将函数y＝siny＝siny＝sinx＋.]‎ ‎[扣要点——查缺补漏]‎ ‎1．函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式的确定 A由最值确定；ω由周期确定T＝；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即ωxi＋φ＝0，，π，，2π，如T5.‎ ‎2．三种图象变换：平移、伸缩、对称 注意：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需向左或向右平移个单位，如T6.‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的性质 研究三角函数的性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx ‎＋φ)＋B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．‎ ‎(1)T＝，如T1.‎ ‎(2)类比y＝sin x的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．‎ ‎①y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．‎ ‎②y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T2.‎ ‎③y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，对称中心可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得．‎ ‎④单调性、最值，如T3，T4.‎ ‎　三角函数的值域、最值问题(5年3考)‎ ‎[高考解读]　高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式或化f(x)为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．‎ ‎－4　[∵f(x)＝sin－3cos x ‎＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，‎ 令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.‎ 又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．‎ ‎1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1.‎ ‎∵x∈，∴cos x∈[0,1]，‎ ‎∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.]‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．‎ ‎－　[因为f(x)＝2sin x＋sin 2x，‎ 所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4(cos x＋1)，‎ 由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，‎ 由f′(x)≤0得－1≤cos x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，‎ 所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，‎ 且f(x)min＝f＝2sin＋sin 2＝－.]‎ ‎[教师备选题]‎ ‎1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ ‎－　[y＝sin x－2cos x＝，‎ 设＝cos α，＝sin α，‎ 则y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．‎ ‎∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝.‎ 又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，‎ ‎∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.‎ 又sin2θ＋cos2θ＝1，‎ ‎∴即cos θ＝－.]‎ ‎2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φ·cos(x＋φ)的最大值为________．‎ ‎1　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)‎ ‎＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ ‎＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，‎ ‎∴f(x)的最大值为1.]‎ 三角函数值域(最值)的3种求法 ‎(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性直接求．‎ ‎(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sin x的单调性求出函数的值域(最值)．‎ ‎(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsin x＋c和y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．‎ ‎1．(求取得最值时的变量x)当函数y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.‎ 　[∵y＝sin x－cos x＝2＝2sin.‎ ‎∵0≤x＜2π，∴－≤x－＜.‎ ‎∴当x－＝，即x＝时，函数取得最大值．]‎ ‎2．(求参数的范围)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．‎ 　[函数f(x)＝sin(ω＞0)在上有最大值，但没有最小值，所以ω·＋＜＜ω·＋≤⇒ω∈.]‎ ‎3．(与导数交汇求最值)已知函数f(x)＝2cos x＋sin 2x，则f(x)的最大值为________．‎ 　[∵f′(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝2－4sin2x－2sin x＝－2(2sin x－1)(sin x＋1)，‎ 由f′(x)＝0得sin x＝或sin x＝－1.‎ ‎∴当－1＜sin x＜时，f′(x)＞0，‎ 当＜sin x＜1时，f′(x)＜0.‎ ‎∴当sin x＝时，f(x)取得极大值．‎ 此时cos x＝－或cos x＝.‎ 经验证可知，当cos x＝时，f(x)有最大值，又f(x)＝2cos x(sin x＋1)，‎ ‎∴f(x)max＝2××＝.]‎ ‎　三角函数的图象(5年5考)‎ ‎[高考解读]　高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.‎ ‎1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ ‎)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin A　[根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.]‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，‎ 则下面结论正确的是(　　 )‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ D　[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.]‎ ‎[教师备选题]‎ ‎(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 　[因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．]‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法 字母 确定途径 说明 A、B 由最值确定 A＝，B＝ ω 由函数的 周期确定 利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期 φ 由图象上的 特殊点确定 代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ 提醒：三角函数图象的平移问题 ‎(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T2.‎ ‎(2)将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向．‎ ‎1.(知图求值)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．‎ ‎－1　[由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0,1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.]‎ ‎2．(平移变换的应用)将偶函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为(　　)‎ A.(k∈Z)　 B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ A　[因为函数f(x)＝sin(3x＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝，f(x)的图象向右平移个单位长度后可得g(x)＝sin＝sin的图象，分析选项知(k∈Z)为曲线y＝g(x)的对称中心．故选A.]‎ ‎3．(与函数的零点交汇)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(0,1) B．[1,2]‎ C．(0,1] D．(1,2)‎ A　[画出函数f(x)在[0,2π]上的图象，如图所示：‎ 若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0,2π]内恰有4个不同的交点，‎ 结合图象，知0＜m＜1.]‎ ‎　三角函数的性质及应用(5年7考)‎ ‎[高考解读]　高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断(或求解)，二是利用性质求参数的范围(值)，准确理解y＝sin x(y＝cos x)的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主.‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)‎ A．f(x)的一个周期为－2π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 C．f(x＋π)的一个零点为x＝ D．f(x)在单调递减 D　[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．‎ B项，由f＝cos＝cos 3π＝－1，可知B正确；‎ C项，由f(x＋π)＝cos＝－cos得f＝－cos ＝0，故C正确．‎ D项，由f＝cos π＝－1可知，D不正确．]‎ ‎2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D．π A　[法一：(直接法)f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A.‎ 法二：(单调性法)因为f(x)＝cos x－sin x，所以f′(x)＝－sin x－cos x，则由题意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象(图略)，可知有 解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A.]‎ ‎3．[重视题][一题多解](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：‎ ‎①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.‎ 其中所有正确结论的编号是(　　)‎ A．①②④　　　　　　 B．②④‎ C．①④ D．①③‎ C　[法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.‎ 法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.‎ 法三：画出函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确，故选C.‎ ‎]‎ ‎[教师备选题]‎ ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)‎ A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z D　[由图象知，最小正周期T＝2＝2，‎ ‎∴＝2，∴ω＝π.‎ 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，‎ ‎∴f(x)＝cos.‎ 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－

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