宁夏石嘴山市平罗中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

宁夏石嘴山市平罗中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题 含解析

‎2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. ‎ 2. 不等式组，表示的平面区域为 A. B. C. D. ‎ 3. 直线l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A. 6 B. ‎1 ‎C. D. 3‎ 4. 设l是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 6. 若直线：与直线：垂直，则实数a的值是 A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ 7. 已知圆的方程为，是该圆内一点，过点P的最短弦为AB，则AB的长是 A. B. C. D. ‎ 8. 在正方体中，当点E在与，不重合上运动时，总有： ；平面平面； 平面；    ． 以上四个推断中正确的是 ‎ A. B. C. D. ‎ 9. 若直线：与直线平行，则 A. 2或 B. ‎2 ‎C. D. 以上都不对 10. 已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为 A. B. C. D. ‎ 11. 点为圆内弦AB的中点，则直线AB的方程为 A. B. C. D. ‎ 12. 已知直线：与圆：交于A、B两点，P为该圆上异于A、B的动点，则的面积的最大值为 A. 8 B. ‎16 ‎C. 32 D. 64‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 已知圆与圆求两圆公共弦所在直线的方程______．‎ 14. 已知长方体的长，宽，高，分别为2，1，1，则长方体的外接球的表面积是______．‎ 15. 若x，y满足约束条件，则的最大值与最小值的和为______．‎ 16. 若直线与曲线有公共点，则b的取值范围______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 已知直线l的方程为 Ⅰ求过点，且与直线l垂直的直线方程； Ⅱ求与直线l平行，且到点的距离为的直线的方程． ‎ 2. 已知圆C：，过原点的直线l与圆C有公共点． 求直线l斜率k的取值范围； 已知O为坐标原点，点P为圆C上的任意一点，求线段OP的中点M的轨迹方程． ‎ 3. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． 求角A； 若，，求的面积． ‎ 4. 如图，四棱锥中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，底面ABCD，E是PC的中点．求证： Ⅰ平面BDE； Ⅱ平面平面BDE． ‎ ‎ ‎ 1. 已知数列是等差数列，首项，为其前n项和，且， 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和． ‎ 2. 已知点，圆C：． 求过点M且与圆C相切的直线方程； 若直线与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求实数a的值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设直线的倾斜角为． 由直线化为， ， ，． 故选：C． 设直线的倾斜角为由直线化为，可得，即可得出． 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题． 2.【答案】B ‎ ‎【解析】解：因为不等式，表示直线的上半部分．，表示直线的下半部分， 根据二元一次不等式组表示平面区域，得到不等式组的对应区域的图象为： 故选：B． 根据二元一次不等式组表示平面区域，确定不等式组所表示的图形即可． 本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，比较基础． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】解：直线l：与x，y轴的交点为，， 则围成的三角形的面积为． 故选：D． 求得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得所求． 本题考查直线方程的运用，考查三角形的面积求法，化简运算能力，属于基础题． 4.【答案】B ‎ ‎【解析】解：对于若，，则或，相交，故A错； 对于若，，则由线面平行的性质定理，得过l的平面，即有， ，再由面面垂直的判定定理，得，故B对； 对于若，，则或，故C错； 对于若，，若l平行于，的交线，则，故D错． 故选：B． 由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B ‎； 由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D． 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，方程表示一个圆， 则有， 解的，即m的取值范围为； 故选：C． 根据题意，由圆的一般方程的形式分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案． 本题考查二元二次方程表示圆的条件，涉及圆的一般方程，属于基础题． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：直线：与直线：垂直， 则， 解得． 故选：A． 根据两直线垂直时列出方程，解方程即可． 本题考查了直线方程的垂直关系应用问题，是基础题． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由条件可知圆心，则过点P的直径斜率为，所以与该直径垂直的弦的斜率为， 则该弦所在直线为，即， 则圆心到该直线的距离， 所以弦， 故选：D． 根据经过P点的最短的弦是与经过P点的直径垂直的弦即可求解． 本题考查直线与圆的位置关系，能利用经过P点的最短的弦是与经过P点的直径垂直的弦解题是关键，属于中档题． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】解：只有当E与重合时，，故错误； 过E作，只有当时，才有平面， 可得平面平面，故错误； 由，，可得平面平面，又平面， 可得平面，故正确； ，，可得平面，即有， 同理可得，即有平面，平面， 可得，故正确． 故选：D． 由线线平行的性质可判断；由面面垂直的判定定理可判断；由线面平行的判定定理可判断；由线面垂直的判断和性质可判断． 本题考查线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定定理和性质定理的运用，考查推理能力，属于中档题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：直线：与直线平行， ，解得，或 当时，两直线重合． 故选：C． 由直线平行可得，解方程验证可得． 本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准式方程，是一道中档题． 由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标且a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可． 【解答】 解：设圆心为， 由题意知圆心到直线的距离，解得，所以圆心坐标为 则圆C的方程为：，化简得 故选：D． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由圆，得到圆心C坐标为， 又，， 弦AB所在的直线方程斜率为，又P为AB的中点， 则直线AB的方程为，即． 故选：C． 由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为，由P与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可． 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键． 12.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由题意，圆心到直线的距离为， 为定长，的面积最大时，P到AB的距离最大 到AB的最大距离为 的面积的最大值为 故选：C． 先求AB的长，再求P到AB的最大距离，利用三角形的面积公式，即可求得结论． 本题考查三角形面积的计算，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题． 13.【答案】 ‎ ‎【解析】解：圆与圆； 由， 得， 即， 所以两圆公共弦所在直线的方程为． 故答案为：． 利用两圆的方程相减，即可得出两圆公共弦所在的直线方程． 本题考查了由圆的方程求两圆公共弦所在直线方程的应用问题，是基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：长方体的长，宽，高分别为2，1，1， 则长方体的对角线长为， 长方体外接球的直径为， 所以外接球的表面积是． 故答案为：． 根据长方体的对角线长为外接球的直径，由此求出外接球的表面积． 本题考查了长方体外接球的表面积计算问题，其中长方体的对角线是外接球的直径是解题的关键，是基础题． 15.【答案】4 ‎ ‎【解析】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：阴影部分． 由得，即直线的截距最大，z也最大． 平移直线，即直线经过点B时，截距最大，此时z最大， 由，解得， 此时是最小值 经过的交点时，截距最大，此时z最小，为， 则最大值与最小值的和为4， 故答案为：4． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的最大值和最小值． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由，得， 作出半圆与直线如图， ‎ 由图可知，要使直线与曲线有公共点， 则b的取值范围是 故答案为： 把曲线方程变形，画出图形，数形结合即可求得b的取值范围． 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 17.【答案】解：Ⅰ设与直线l：垂直的直线的方程为：， 把点代入可得，，解得． 过点，且与直线l垂直的直线方程为：； Ⅱ设与直线l：平行的直线的方程为：， 点到直线的距离为． ， 解得或． 直线方程为：或． ‎ ‎【解析】本题考查了相互平行与垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． Ⅰ设与直线l：垂直的直线的方程为：，把点代入解得m即可； Ⅱ设与直线l：平行的直线的方程为：，由于点到直线的距离为可得，解得c即可得出． 18.【答案】解：由，得， 直线l过原点，可设其方程为， 直线l与圆C有公共点， ，解得； 设，， 为OP的中点，，， 代入圆C：，得， 即． ‎ ‎【解析】设直线l的方程为，由直线l与圆C有公共点，可得，求解可得直线l斜率k的取值范围； 设，，利用中点坐标公式把P的坐标用M的坐标表示，再把P的坐标代入圆的方程即可求得线段OP的中点M的轨迹方程． 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用“交轨法”求曲线方程，是基础题． 19.【答案】解：在三角形ABC中，， 由正弦定理得：， 化为：， ，解得． ． 由余弦定理得， ，， ， 化为， 所以三角形ABC的面积． ‎ ‎【解析】，由正弦定理得：，再利用和差公式、三角形内角和定理、诱导公式可得，解得A． 由余弦定理得，把，，代入可得bc，可得三角形ABC 的面积． 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形内角和定理、诱导公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20.【答案】证明：Ⅰ连接OE． 是AC的中点，E是PC的中点， ， 又平面BDE，平面BDE， 平面BDE． Ⅱ底面ABCD， ， 又，且， 平面PAC． 平面BDE， 平面平面BDE． ‎ ‎【解析】对，通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行． 对，只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可． 本题考查线面平行的判定与面面垂直的判定．证明线面平行常有两种思路：一是线线平行线面平行；二是面面平行线面平行． 证明面面垂直的常用方法是：线面垂直面面垂直． 21.【答案】解：数列是公差为d的等差数列，首项，为其前n项和，且， 可得，解得， 则的通项公式为，； ， 前n项和 ． ‎ ‎【解析】等差数列的公差设为d，由等差数列的求和公式，解方程可得d，进而得到所求通项公式； 求得，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 22.【答案】解：由圆C：，得圆心坐标为，半径． 当直线斜率不存在时，直线与圆C显然相切； 当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即， 由题意得：，解得， 方程为，即． 故过点M且与圆C相切的直线方程为或； 弦长AB为，半径为2． 圆心到直线的距离， ，解得． ‎ ‎【解析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，当直线斜率不存在时，直线与圆C显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径列式求得k，则圆的切线方程可求； 写出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求解a值． 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式及垂径定理的应用，是中档题． ‎