高考数学一轮汇总训练变化率与导数导数的计算理新人教A版

高考数学一轮汇总训练变化率与导数导数的计算理新人教A版

‎[备考方向要明了]‎ 考 什 么 怎 么 考 ‎1.了解导数概念的实际背景．‎ ‎2.理解导数的几何意义．‎ ‎3.能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，‎ y＝的导数．‎ ‎4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.‎ ‎1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题，如2012年广东T12，辽宁T12等．‎ ‎2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确利用.‎ ‎[归纳·知识整合]‎ ‎1．导数的概念 ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：‎ 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即 f′(x0)＝＝.‎ ‎(2)导数的几何意义：‎ 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ ‎(3)函数f(x)的导函数：‎ 称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．‎ ‎[探究]　1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系？‎ 提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值．‎ ‎2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？‎ 提示：(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．‎ ‎(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．‎ ‎3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？‎ 提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点．‎ ‎2．几种常见函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝nxn－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ‎3．导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎4．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎[自测·牛刀小试]‎ ‎1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　　B．3‎ C．4 D．－ 解析：选B　∵f(x)＝x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2.‎ ‎∴f′(－1)＝3.‎ ‎2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为(　　)‎ A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0‎ C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0‎ 解析：选A　∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.‎ ‎∴f′(－1)＝2－3＝－1.‎ 又f(－1)＝－2＋1＝－1，‎ ‎∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.‎ ‎3．y＝x2cos x的导数是(　　)‎ A．y′＝2xcos x＋x2sin x B．y′＝2xcos x－x2sin x C．y＝2xcos x D．y′＝－x2sin x 解析：选B　y′＝2xcos x－x2sin x.‎ ‎4．(教材习题改编)曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程是________．‎ 解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝，‎ ‎∴f′(π)＝＝－.‎ ‎∴切线方程为y＝－(x－π)，即x＋πy－π＝0.‎ 答案：x＋πy－π＝0‎ ‎5．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.‎ 解析：由题意知f′(5)＝－1，‎ f(5)＝－5＋8＝3，‎ ‎∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.‎ 答案：2‎ 导数的计算 ‎[例1]　求下列函数的导数 ‎(1)y＝(1－)；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝tan x；‎ ‎(4)y＝3xex－2x＋e.‎ ‎[自主解答]　(1)∵y＝(1－)＝－＝x－x，‎ ‎∴y′＝(x)′－(x)′＝－x－x.‎ ‎(2)y′＝′＝ ‎＝＝.‎ ‎(3)y′＝′‎ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.‎ 若将本例(3)中“tan x”改为“sin ”如何求解？‎ 解：∵y＝sin ＝－sin cos ＝－sin x ‎∴y′＝－cos x．‎ ‎———————————————————‎ 求函数的导数的方法 ‎(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；‎ ‎(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．‎ ‎1．求下列函数的导数 ‎(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ ‎(3)y＝＋；(4)y＝.‎ 解：(1)∵y＝＝x＋x3＋，‎ ‎∴y′＝(x)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′‎ ‎＝－x＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.‎ ‎(2)y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)‎ ‎＝x3＋6x2＋11x＋6，‎ ‎∴y′＝3x2＋12x＋11.‎ ‎(3)∵y＝＋＝，‎ ‎∴y′＝′＝＝.‎ ‎(4)y＝＝cos x－sin x，‎ ‎∴y′＝－sin x－cos x.‎ ‎[例2]　求下列复合函数的导数：‎ ‎(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；‎ ‎(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)．‎ ‎[自主解答]　(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5由y＝u5‎ 与u＝2x－3复合而成，‎ ‎∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′‎ ‎＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.‎ ‎(2)设u＝3－x，则y＝由y＝u与u＝3－x复合而成．‎ ‎∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′‎ ‎＝u－(－1)＝－u ‎＝－＝.‎ ‎(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，‎ 则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos v·2‎ ‎＝4sin·cos ‎＝2sin.‎ ‎(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，‎ ‎∴y′＝·(2x＋5)′＝.‎ ‎———————————————————‎ 复合函数求导应注意三点 一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．‎ ‎2．求下列复合函数的导数：‎ ‎(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝ln ；‎ ‎(3)y＝；(4)y＝x.‎ 解：(1)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′‎ ‎＝2(1＋sin x)·cos x.‎ ‎(2)y′＝(ln )′‎ ‎＝·( )′‎ ‎＝·(x2＋1)·(x2＋1)′‎ ‎＝.‎ ‎(3)设u＝1－3x，y＝u－4.‎ 则yx′＝yu′·ux′＝－4u－5·(－3)‎ ‎＝.‎ ‎(4)y′＝(x)′‎ ‎＝x′·＋x′‎ ‎＝＋＝ .‎ 导数的几何意义 ‎[例3]　(1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q 的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．‎ ‎(2)已知曲线y＝x3＋.‎ ‎①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；‎ ‎②求斜率为4的曲线的切线方程．‎ ‎[自主解答]　(1)y＝，y′＝x，‎ ‎∴y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2.‎ 点P的坐标为(4,8)，点Q的坐标为(－2,2)，‎ ‎∴在点P处的切线方程为y－8＝4(x－4)，即 y＝4x－8.‎ 在点Q处的切线方程为y－2＝－2(x＋2)，‎ 即y＝－2x－2.解得A(1，－4)，则A点的纵坐标为－4.‎ ‎(2)①∵P(2,4)在曲线y＝x3＋上，‎ 且y′＝x2，‎ ‎∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.‎ ‎∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，‎ 即4x－y－4＝0.‎ ‎②设切点为(x0，y0)，则切线的斜率k＝x＝4，‎ x0＝±2.‎ 切点为(2,4)或，‎ ‎∴切线方程为y－4＝4(x－2)或y＋＝4(x＋2)，‎ 即4x－y－4＝0或12x－3y＋20＝0.‎ ‎[答案]　(1)－4‎ 若将本例(2)①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？‎ 解：设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，‎ 则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x.‎ ‎∴切线方程为y－＝x(x－x0)，‎ 即y＝x·x－x＋.　　　　 ‎ ‎∵点P(2，4)在切线上，‎ ‎∴4＝2x－x＋f(4,3)，即x－3x＋4＝0.‎ ‎∴x＋x－4x＋4＝0.‎ ‎∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.‎ ‎∴(x0＋1)(x0－2)2＝0.解得x0＝－1或x0＝2.‎ 故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎———————————————————‎ ‎1．求曲线切线方程的步骤 ‎(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；‎ ‎(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．‎ ‎2．求曲线的切线方程需注意两点 ‎(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；‎ ‎(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．‎ ‎3．已知函数f(x)＝2 (x>－1)，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线l分别交x轴和y轴于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求x0＝1时，切线l的方程；‎ ‎(2)若P点为，求△AOB的面积．‎ 解：(1)f′(x)＝，则f′(x0)＝，‎ 则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))的切线方程为 y－f(x0)＝(x－x0)，‎ 即y＝＋ .‎ 所以当x0＝1时，切线l的方程为x－y＋3＝0.‎ ‎(2)当x＝0时，y＝；‎ 当y＝0时，x＝－x0－2.‎ S△AOB＝＝，‎ ‎∴S△AOB＝＝.‎ 导数几何意义的应用 ‎[例4]　已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－ln x存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.B. C.D. ‎[自主解答]　由题意知曲线上存在某点的导数为1，‎ 所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，‎ 即2ax2＋2x－1＝0有正根．‎ 当a≥0时，显然满足题意；‎ 当a<0时，需满足Δ≥0，解得－≤a<0.‎ 综上，a≥－.‎ ‎[答案]　A ‎———————————————————‎ 导数几何意义应用的三个方面 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：‎ ‎(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；‎ ‎(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；‎ ‎(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．‎ ‎4．若函数f(x)＝sin(0<θ<π)，且f(x)＋f′(x)是奇函数，则θ＝________.‎ 解析：∵f(x)＝sin，‎ ‎∴f′(x)＝cos.‎ 于是y＝f′(x)＋f(x)＝sin＋cos ‎＝2sin＝2sin ‎＝2cos(x＋θ)，‎ 由于y＝f(x)＋f′(x)＝2cos(x＋θ)是奇函数，‎ ‎∴θ＝kπ＋(k∈Z)．又0<θ<π，∴θ＝.‎ 答案： 1个区别——“过某点”与“在某点”的区别 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ 4个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题 ‎(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ ‎(2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．‎ ‎(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ ‎(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧. ‎ 易误警示——导数几何意义应用的易误点 ‎[典例]　(2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)‎ A．－1或－B．－1或 C．－或－D．－或7‎ ‎[解析]　设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，‎ 当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；‎ 当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以选A.‎ ‎[答案]　A ‎1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.‎ ‎2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点：‎ ‎(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；‎ ‎(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证；‎ ‎(3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提．‎ ‎1．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)‎ A．－B. C．－D. 解析：选B y′＝ ‎＝，故y′.‎ ‎∴曲线在点M处的切线的斜率为.‎ ‎2．已知函数f(x)＝x3＋f′x2－x，则函数f(x)的图象在点处的切线方程是________．‎ 解析：由f(x)＝x3＋f′x2－x，‎ 可得f′(x)＝3x2＋‎2f′x－1，‎ ‎∴f′＝3×2＋‎2f′×－1，‎ 解得f′＝－1，即f(x)＝x3－x2－x.‎ 则f＝3－2－＝－，‎ 故函数f(x)的图象在处的切线方程是 y＋＝－，即27x＋27y＋4＝0.‎ 答案：27x＋27y＋4＝0‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)‎ ‎1．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是(　　)‎ 解析：选D　据函数的图象易知，x<0时恒有f′(x)>0，当x>0时，恒有f′(x)<0.‎ ‎2．若函数f(x)＝cos x＋2xf′，则f与f的大小关系是(　　)‎ A．f＝fB．f>f C．f0，‎ ‎∴f(x)＝cos x＋x是上的增函数，注意到－<，于是有fx2.下面的不等式在R上恒成立的是(　　)‎ A．f(x)>0 B．f(x)<0‎ C．f(x)>xD．f(x)0，排除B、D两项；令f(x)＝x2＋，则2x2＋＋x′＝4x2＋>x2，但x2＋>x对x＝不成立，排除C项．‎ 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)‎ ‎7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.‎ 解析：f′(x)＝2x＋‎2f′(1)，‎ ‎∴f′(1)＝2＋‎2f′(1)，即f′(1)＝－2.‎ ‎∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎8．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．‎ 解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.‎ 答案：x－y－2＝0‎ ‎9．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．‎ 又∵f′(x)＝5ax4＋，∴方程5ax4＋＝0有正实数解．‎ ‎∴5ax5＝－1有正实数解．∴a<0.‎ 故实数a的取值范围是(－∞，0)．‎ 答案：(－∞，0)‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)‎ ‎10．已知函数f(x)＝的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式．‎ 解：由已知得，－1＋‎2f(－1)＋5＝0，‎ ‎∴f(－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．‎ 又f′(x)＝ ‎＝，‎ ‎∴解得 ‎∴f(x)＝.‎ ‎11．如右图所示，已知A(－1,2)为抛物线C：y＝2x2上的点，直线l1过点A，且与抛物线C相切，直线l2：x＝a(a<－1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D.‎ ‎(1)求直线l1的方程；‎ ‎(2)求△ABD的面积S1.‎ 解：(1)由条件知点A(－1,2)为直线l1与抛物线C的切点．‎ ‎∵y′＝4x，∴直线l1的斜率k＝－4.‎ 所以直线l1的方程为y－2＝－4(x＋1)，‎ 即4x＋y＋2＝0.‎ ‎(2)点A的坐标为(－1,2)，‎ 由条件可求得点B的坐标为(a,‎2a2)，‎ 点D的坐标为(a，－‎4a－2)，‎ ‎∴△ABD的面积为S1＝×|‎2a2－(－‎4a－2)|×‎ ‎|－1－a|＝|(a＋1)3|＝－(a＋1)3.‎ ‎12．如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记Pk点的坐标为(xk,0)(k＝1,2，…，n)．‎ ‎(1)试求xk与xk－1的关系(k＝2，…，n)；‎ ‎(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.‎ 解：(1)设点Pk－1的坐标是(xk－1,0)，‎ ‎∵y＝ex，∴y′＝ex，‎ ‎∴Qk－1(xk－1，exk－1)，在点Qk－1(xk－1，exk－1)处的切线方程是y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)，令y＝0，则 xk＝xk－1－1(k＝2，…，n)．‎ ‎(2)∵x1＝0，xk－xk－1＝－1，‎ ‎∴xk＝－(k－1)，‎ ‎∴|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，‎ 于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|‎ ‎＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)‎ ‎＝＝，‎ 即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝.‎ ‎1．设函数f(x)在x0处可导，则等于(　　)‎ A．f′(x0) B．－f′(x0)‎ C．f(x0) D．－f(x0)‎ 解析：选B　 ‎＝－＝－f′(x0)．‎ ‎2．求下列各函数的导数：‎ ‎(1)()′＝x；‎ ‎(2)(ax)′＝a2ln x；‎ ‎(3)(xcos x)′＝cos x＋xsin x；‎ ‎(4)′＝，‎ 其中正确的有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选B　根据函数的求导公式知只有(1)正确．‎ ‎3．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．‎ 解析：∵y′＝2x，∴点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，‎ ‎∴ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝.∴a3＝4，a5＝1.∴a1＋a3＋a5＝21.‎ 答案：21‎ ‎4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．‎ 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.‎ 当x＝2时，y＝.‎ 又f′(x)＝a＋，‎ 于是解得 故f(x)＝x－.‎ ‎(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，‎ 即y－＝(x－x0)．‎ 令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.‎ 令y＝x得y＝x＝2x0.从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．‎ 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.‎ 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.‎