湖北省恩施州巴东一中2019-2020学年高一上学期月考数学试题

湖北省恩施州巴东一中2019-2020学年高一上学期月考数学试题

www.ks5u.com 高一年级2019年秋季学期第二次月考数学试题 一、选择题:‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合，再由交集的定义计算．‎ ‎【详解】，又，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集的定义是解题基础．‎ ‎2.下列各组函数不是同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求函数的定义域，在定义域相同时判断对应法则是否一致，如果都不一致，则不是同一函数．‎ ‎【详解】A．，与的定义域都是，对应法则也相同，是同一函数，‎ B．，与的定义域和对应法则都相同，是同一函数；‎ C．，定义域和对应法则都相同，是同一函数；‎ D．的定义域是，函数的定义域是，定义域不相同，不是同一函数，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义，掌握函数三要素是解题基础．实质上只要定义域相同，对应法则相同，则值域一定相同，因此只要判断定义域和对应法则是否相同，即可判断两个函数是否是同一函数．‎ ‎3.已知是一次函数，且，则的解析式为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，（），利用两边恒等求出即可得结果．‎ ‎【详解】设，（） ∴，‎ 即， 所以，解得，， ∴，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.‎ ‎4.下列四个函数：①；②；③；④，‎ 其中定义域与值域相同的是( )‎ A. ① B. ①② C. ①②④ D. ①②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求各个函数的定义域和值域．‎ ‎【详解】①定义域和值域都是；②定义域和值域都是；③定义域是，值域是；④定义域和值域都是，即①②④的定义域与值域相同．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域和值域，属于基础题．‎ ‎5.设函数 则关于函数的描述错误的是（ ）‎ A. 函数的图象是两条平行直线； B. 的值域是；‎ C. 函数是偶函数； D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的定义判断．‎ ‎【详解】因为任何两个有理数之间都有无理数，同样任何两个无理数之间都有有理数，因此函数的图象只能是直线和上的某些点，A错；B、C、D均正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查新定义函数，考查学生的创新意识，解题时只要按新定义验证各个命题即可．‎ ‎6.函数的单调递增区间是( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在函数定义域内求出的增区间即可．‎ ‎【详解】由题意，或，‎ 在上递减，在上递增，‎ ‎∴函数的增区间是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性，解题关键是掌握复合函数的单调性的判断．‎ ‎7.函数的图象大致为（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式，得到，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；再由函数的单调性，排除A，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数，可得，‎ 即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除B、C；‎ 当时，，则＞0，‎ 所以函数在上递增，排除A，‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎8.设函数是R上的奇函数，当时，，则的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先由函数f（x）是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x＞0时的函数f（x）的解析式等于0转化成两个函数，转化为判断两函数交点个数问题，最后根据奇函数的对称性确定答案．‎ ‎【详解】∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3，分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示，‎ 有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3个，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题是个基础题，函数的奇偶性是函数最重要的性质之一，同时函数的奇偶性往往会和其他函数的性质结合应用，此题就与函数的零点结合，符合高考题的特点.‎ ‎9.设、、则的大小关系是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数与指数函数性质，寻找中间值，与中间值比较即可，本题中中间值有0和2．‎ ‎【详解】，，，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数与指数函数的性质，解题关键是掌握对数函数与指数函数的单调性．‎ ‎10.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司年全年投入研发奖金万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长，则该公司全年投入的研发奖金开始超过万元的年份是（ ）（参考数据：，，）‎ A. 年 B. 年 C. 年 D. 年 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：设从2015年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，‎ 两边取常用对数得，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.‎ ‎【考点】增长率问题，常用对数的应用 ‎【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．‎ ‎11.对于函数，在使恒成立的式子中，常数的最小值称为函数的“上界值”，则函数的“上界值”为（ ）‎ A. 2 B. －2 C. 1 D. －1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.‎ 详解】令 则 ‎ ‎ 故函数的“上界值”是1；‎ 故选C ‎【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域.‎ ‎12.已知函数，若，且。现有结论：①，②，③，④。‎ 这四个结论中正确的个数有（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，作直线，与函数图象交于四个点，分析四点为横坐标的性质即得．‎ ‎【详解】如图，作出函数的图象，作直线，与函数图象交于四个点，从左向右四点为横坐标依次为，由于在时，的最大值为1，因此，即，，由函数图象知，，即 ‎，，而，由于，∴，∴，四个结论均正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数图象与方程根的分布问题，解题时利用数形结合思想，把方程的根转化为直线与函数图象交点的横坐标，再利用函数性质可得结论．‎ 二.填空题 ‎13.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则=________‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇函数的性质可以求出，最后求出的值.‎ ‎【详解】，所以.‎ ‎【点睛】本题考查了复合函数求值问题，考查了奇函数的性质，考查了运算能力.‎ ‎14.已知关于x的函数在（0,1）上是减函数，则a的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合函数的单调性即可得到结果.‎ ‎【详解】∵关于x的函数y=loga（2﹣ax）在（0,1）上是单调递减的函数，‎ 而函数t=2﹣ax在（0,1）上是单调递减的函数，‎ ‎∴a＞1 且函数t在（0,1）上大于零，故有 ，‎ 解得1＜a≤2，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎15.设集合，且，则=_________‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合集合元素的互异性分析．‎ ‎【详解】显然，∴，，，，∴．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查集合的概念，解题关键是掌握集合元素的性质：特别是互异性．‎ ‎16.已知函数的值域为R，则实数的范围是_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．‎ ‎【详解】当时，，因此当时，的取值范围应包含，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．‎ 三、解答题 ‎ ‎17.计算：（1）‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）（2）-8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由对数运算法则计算；‎ ‎（2）把根式化为分数指数幂，再由幂的运算法则计算．‎ ‎【详解】（1）原式＝；‎ ‎（2）原式＝‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查对数运算，考查根式与分数指数幂的运算，掌握对数运算法则和幂的运算法则是解题基础．在根式与幂混合式子中，可把根式化为分数指数幂，然后利用幂的运算法则计算，‎ ‎18.函数的图象经过点和．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）函数，求函数的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将已知点的坐标代入到函数表达式中构造方程组即可求解.‎ ‎(2)由（1）知函数解析式，利用函数性质可得其值域，利用换元法，得到二次函数，求解二次函数的最小值.‎ ‎【详解】（1）由题意得，解得． ‎ 所以．‎ ‎(2)设，则，‎ 即， ‎ 所以当，即时，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查利用对数函数性质求解析式和复合函数的最值；复合函数的问题，通常情况下都可以用换元的思想，换元求解函数问题，必须要注意新元的范围，这是实现等价转化的关键所在.‎ ‎19.已知幂函数在上为增函数．‎ ‎（1）求解析式；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ,(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据幂函数定义和单调性求解即可；‎ ‎（2）根据二次函数的性质求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，解得或，‎ 又，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1），在上递减，则 ‎，解得．‎ ‎∴的范围是．‎ ‎【点睛】本题考查幂函数的概念，考查二次函数的性质．掌握幂函数定义是解题基础．二次函数的单调性与对称轴有关，利用对称轴与所给区间关系可得结论．‎ ‎20.已知函数（且）为定义在上的奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，使不等式对一切恒成立的实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的定义可知，从而可得a；（2）先利用奇函数转化为，再进行求解.‎ ‎【详解】（1）依题意可得，，即，此时.‎ 又符合题意，‎ ‎∴实数的值为1；‎ ‎（2）由，得，解得．‎ 此时为减函数，‎ 不等式可化为.‎ 即对一切恒成立．‎ 故对任意恒成立．‎ ‎∴，解得．‎ 综上可知，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查奇函数的性质及利用奇偶性求解不等式问题，二次型恒成立问题通常转化为判别式的符号问题.‎ ‎21.某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足，N＝a+20．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）．‎ ‎（1）当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益；‎ ‎（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大，最大总收益为多少万元？‎ ‎【答案】（1）88.5万元 ‎（2）该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，分别代入其收益与投入的函数式，最后求和即可。‎ 首先确定函数定义域，然后结合分段函数的解析式分类讨论确定最大收益的安排方法即可得出答案。‎ ‎【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：‎ ‎＝88.5（万元）；‎ ‎（2）甲合作社的投入为x万元（15≤x≤57），则乙合作社的投入为72﹣x万元，‎ 当15≤x≤36时，则36≤72﹣x≤57，‎ f（x）＝4+25+（72﹣x）+20＝﹣x+4+81．‎ 令t＝，得≤t≤6，‎ 则总收益为g（t）＝﹣t2+4t+81＝﹣（t﹣4）2+89，‎ 显然当t＝4时，函数取得最大值g（t）＝89＝f（16），‎ 即此时甲投入16万元，乙投入56万元时，总收益最大，最大收益为89万元 当36＜x≤57时，则15＜72﹣x≤36，‎ 则f（x）＝49+（72﹣x）+20＝﹣x+105，‎ 则f（x）在（36，57]上单调递减，‎ ‎∴f（x）＜f（36）＝87．‎ 即此时甲、乙总收益小于87万元．‎ 又89＞87，‎ ‎∴该公司在甲合作社投入16万元，在乙合作社投入56万元，总收益最大，最大总收益为89万元．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数模型解决实际问题。‎ ‎22.设定义域为的函数同时满足以下三个条件时称为“友谊函数”：①对任意的，总有；②；③则有成立．‎ 请根据以上信息回答下列问题：‎ ‎（1）若为“友谊函数”，求；‎ ‎（2）证明函数在区间上是“友谊函数”；‎ ‎（3）若为“友谊函数”，且，比较与的大小.‎ ‎【答案】(1)0,(2)证明见解析,(3)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义“友谊函数”一一判断．‎ ‎【详解】（1）∵为“友谊函数”，∴，∴，‎ 又，∴．‎ ‎（2），显然，‎ 当时，，即．‎ 当且时，，‎ 满足，‎ ‎∴是“友谊函数”．‎ ‎（3）∵，∴‎ 又为“友谊函数”，∴，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查新定义问题，考查学生的创新意识．对新定义问题可根据新定义把问题进行转化，转化为“旧概念”、“旧知识”解决．‎ ‎ ‎