南京市高淳区2014年中考数学一模试卷

南京市高淳区2014年中考数学一模试卷

南京市高淳区2014年中考一模 数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．计算12÷(－3)－2×(－3)的结果是（▲）‎ A．-18 B．-10 C．2 D．18‎ ‎2．下列函数中，自变量x可以取1和2的函数是（▲）‎ A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ ‎3．关于频率与概率有下列几种说法：‎ ‎①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；‎ ‎②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；‎ ‎③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；‎ ‎④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这 一事件发生的频率稳定在附近．‎ 正确的说法是（▲）‎ A．①④B．②③C．②④D．①③‎ ‎4．正n边形的一个内角比一个外角大100°，则n为（▲）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎5．如图，⊙A、⊙B的半径分别为4、2，且AB＝12．若作⊙C使得圆心在一直线AB上，‎ ‎（第5题）‎ A B 且⊙C与⊙A外切，⊙C与⊙B相交于两点，则⊙C的半径 可以是（▲）‎ A．3B．4‎ C．5D．6‎ ‎6．求一元二次方程x2＋3x－1＝0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图像的方法：‎ 在平面直角坐标系中，画出直线y＝x＋3和双曲线y＝的图像，则两图像交点的横坐 标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x3－x－1＝0的解的个数有（▲）‎ A．0个B． 1个C．2个D．3个 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案 ‎（第10题）‎ A B C D C′‎ B′‎ D′‎ 直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．9的平方根是 ▲ ．‎ ‎8．计算·的结果是 ▲ ．‎ ‎9．方程组的解是 ▲ ．‎ ‎10．如图，将边长为2cm的正方形ABCD绕点A顺时针旋转到AB’C’D’的位置，旋转角 ‎（第11题）‎ A B C D M N C′‎ B′‎ P 为30°，则C点运动到C′点的路径长为 ▲ cm．‎ ‎11．如图，平行四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，‎ 将四边形MBCN沿直线MN折叠后得到四边形MB′C′N，MB′与 DN交于点P．若∠A＝64°，则∠MPN＝▲°．‎ ‎12．我区有15所中学，其中九年级学生共有3000名．为了了解 我区九年级学生的体重情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重 要步骤进行排序．①收集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；‎ ‎⑤分析数据．则正确的排序为 ▲ ．（填序号）‎ ‎13．用半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于▲cm．‎ ‎14．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如下表：‎ x ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎7‎ ‎0‎ ‎－8‎ ‎－9‎ ‎－5‎ ‎7‎ ‎…‎ 则二次函数y＝ax2＋bx＋c在x＝2时，y＝▲．‎ ‎15．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．‎ y 若＝62°，则∠ABD的度数为 ▲ ．‎ ‎（第15题）‎ A B C D O ‎(第16题)‎ ‎16．如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圆⊙C上的 一点，且∠AOP＝45°，则点P的坐标为（     ▲ ，     ▲ ）    ‎ 三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（5分）解不等式组：‎ ‎18．(7分)先化简，再求值：，其中x＝＋2．‎ ‎19．(7分)以下是根据南京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的 南京市2009-2013年 私人轿车拥有量的年增长率统计图 ‎23‎ ‎23‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎09 10 11 12 13‎ 年份 年增长率（%）‎ ‎32‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ 南京市2009-2013年 私人轿车拥有量统计图 ‎09 10 11 12 13‎ 年份 轿车拥有量（万辆）‎ ‎50‎ ‎65‎ ‎80‎ ‎118‎ ‎80‎ ‎120‎ ‎100‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎20‎ 一部分．‎ ‎(第19题)‎ 请根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）2012年南京市私人轿车拥有是多少万辆？‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）经测定，汽车的碳排放量与汽车的排量大小有关．如驾驶排量1.6L的轿车，‎ 若一年行驶里程1万千米，则这一年，该轿车的碳排放量约为2.7吨．‎ 经调查，南京市某小区的300辆私人轿车，不同排量的数量统计如下表：‎ 排量（L）‎ 小于1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ 大于1.8‎ 数量（辆）‎ ‎30‎ ‎150‎ ‎62‎ ‎58‎ 请按照上述的统计数据，通过计算估计，2013年南京市仅排量为1.6L的私人轿车 ‎（假定每辆车平均一年行驶的路程都为1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？‎ ‎20．（7分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别AD、BC的中点，P、Q分别BM、DN ‎(第20题)‎ A B C P D M N Q 的中点．‎ ‎（1）求证：四边形MPNQ是菱形；‎ ‎（2）若AB＝2，BC＝4，求四边形MPNQ的面积．‎ ‎21．（7分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打 第一场比赛．‎ ‎（1）请用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率；‎ ‎（2）请利用若干个除颜色外其余都相同的乒乓球，设计一个摸球的实验（至少摸两次），‎ 并根据该实验写出一个发生概率与（1）所求概率相同的事件．‎ ‎22．（7分）如图，一艘潜艇在海面下500米深处的A点，测得正前方俯角为31.0°方向上 的海底有黑匣子发出的信号，潜艇在同一深度保持直线航行500米，在B点处测得海底黑 ‎（第22题）‎ A B 海面 C 匣子位于正前方俯角为36.9°的方向上，求海底黑匣子C所在点距离海面的深度．（精确到1米）（参考数据：sin36.9° ≈ 0.60，cos36.9° ≈ 0.80，tan36.9° ≈0.75，sin31.0°≈ 0.51，cos31.0°≈0.87 ，tan31.0°≈ 0.60）‎ ‎23．（9分）某物流公司的快递车和货车每天往返于甲、乙两地，快递车比货车多往返一趟．‎ 已知货车比快递车早1小时出发，到达乙地后用1小时装卸货物，然后按原路以原速返回，‎ 结果与第二趟返回的快递车同时到达甲地．下图表示快递车距离甲地的路程y（km）与货 车出发所用时间x（h）之间的函数关系图象．‎ ‎（1）①请在下图中画出货车距离甲地的路程（km）与所用时间( h)的函数关系图象；‎ ‎②两车在中途相遇▲次．‎ ‎（2）试求货车从乙地返回甲地时（km）与所用时间( h)的函数关系式．‎ ‎（第23题）‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9‎ ‎50‎ O ‎( h)‎ ‎( km)‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎（3）求快递车第二次从甲地出发到与返程货车相遇所用时间为多少h？这时货车离 乙地多少km？‎ ‎24．（9分）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA＝PD，⊙O为△APD B A C D O P ‎（第24题）‎ 的外接圆．‎ ‎（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若AC＝8，tan∠DAC＝，求⊙O的半径．‎ ‎25．（9分）某批发商以40元/千克的成本价购入了某产品700千克，据市场预测，该产品的 销售价y（元/千克）与保存时间x（天）的函数关系为y＝50+2x，但保存这批产品平均每天 将损耗15千克，且最多保存15天．另外，批发商每天保存该批产品的费用为50元．‎ ‎（1）若批发商在保存该产品5天时一次性卖出，则可获利 ▲ 元．‎ ‎（2）如果批发商希望通过这批产品卖出获利10000元，则批发商应在保存该产品多少 天时一次性卖出？‎ ‎26．（9分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB＝α，将△DOC 按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．‎ ‎（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．‎ ‎（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC＝kBD，如图2．‎ ‎①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；‎ 图1‎ A B C D C′‎ D′‎ O M ‎②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．‎ D′‎ M D A C′‎ O B 图2‎ ‎（第26题）‎ ‎27．（12分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图像与x轴的一个交点为A（1，0），‎ 另一个交点为B，与y轴的交点为C（0，－2）．‎ ‎（第27题）‎ y x A B O C ‎（1）b＝▲，点B的坐标为（     ▲ ，     ▲ ）    ；（均用含a的代数式表示）‎ ‎（2）若a＜2，试证明二次函数图像的顶点一定在第三象限；‎ ‎（3）若a＝1，点P是抛物线在x轴下方的一个动点 ‎（不与C重合），连结PB，PC，设所得△PBC的面积 为S，试求S的取值范围．‎ 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ C D A C B B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需要写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎7．±38．9．10．11．52°‎ ‎12．②①④⑤③13．3 14．－8 15．28°16．(3，3)‎ 三、解答题 (本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．（5分）解：解不等式①得，x＞－1，…………………………2分 解不等式②得，x＜，…………………………4分 所以原不等式的解集为－1＜x＜．…………………………5分 ‎18．(7分)解：原式＝………………………1分 ‎＝…………………………4分 ‎＝－…………………………5分 将x＝＋2代入，原式＝＝－－1．…………7分 ‎19．(7分)（1）80×（1＋20%）＝96（万辆）…………2分 ‎（2）补条形统计图正确；…………4分 ‎（3）×118×2.7＝159.3（万吨）‎ 即仅排量为1.6L的私人轿车的碳排放总量约为159.3万吨．………… 7分 A B C P D M N Q ‎20．（7分）（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC．‎ 连结MN，∵M、N分别AD、BC的中点，‎ ‎∴MD＝AD，BN＝BC．‎ ‎∴MD＝BN，MD∥BN，∴四边形BNDM是平行四边形．‎ ‎∴MB＝ND．…………………………1分 ‎∵P、Q分别BM、DN的中点，∴MP＝MB，NQ＝DN．‎ ‎∴MP＝NQ．‎ 又∵MP∥NQ，∴四边形MPNQ是平行四边形．…………………………2分 ‎∵ABCD为矩形，M、N分别AD、BC的中点，‎ ‎∴四边形ABNM为矩形，∴MN⊥BC．‎ ‎∴在Rt△MNB中，PN＝BM．∴PN＝PM．………………3分 ‎∴四边形MPNQ是菱形．…………………………4分 ‎（2）∵AB＝2，BC＝4，∴MN＝BN＝2‎ ‎∵P为MB的中点，∴PN⊥MB，PN 在Rt△MNB中，MB＝…………………5分 ‎∴，∴四边形MPNQ是边长为的正方形．‎ ‎∴四边形MPNQ的面积为……………………………7分 ‎21．（本题7分）‎ 解：（1）从中选出两位同学打第一场比赛所有可能出现的结果有：‎ 第二位 第一位 甲 乙 丙 丁 甲 ‎——‎ ‎（甲，乙）‎ ‎（甲，丙）‎ ‎（甲，丁）‎ 乙 ‎（乙，甲）‎ ‎——‎ ‎（乙，丙）‎ ‎（乙，丁）‎ 丙 ‎（丙，甲）‎ ‎（丙，乙）‎ ‎——‎ ‎（丙，丁）‎ 丁 ‎（丁，甲）‎ ‎（丁，乙）‎ ‎（丁，丙）‎ ‎——‎ ‎…………………2分 共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好选中甲、乙两位同学”（记为事件A）的结果有2种，所以P(A)＝＝．………………4分 ‎（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 法一：在不透明的袋中，放入2个红色1个白色3个乒乓球，它们除颜色外都一样，‎ 摇匀．第一次摸出1个球，不放回；第二次摸出1个球记下颜色，放回；第3次摸 出1个球．则三次摸出的球都是红色球的概率．……………7分 法二：在不透明的袋子中，放入四个除颜色外完全一样的乒乓球，它们的颜色分别 为红、黄、蓝、黑，摇匀．第一次摸出一个球后，不放回；再从袋中摸出一个球．则两次摸出的球是一红一黄的概率．……………7分 法三：在不透明的袋子中，放入2个红色2个白色共4‎ 个乒乓球．它们除颜色外都 一样，摇匀．连续摸2次不放回，则两次摸到的球都是红色球的概率．………7分 法四：在不透明的袋子中，放入编号为1、2、3、4、5、6的6个乒乓球，它们除 编号外其它都一样，摇匀．第一次摸出1个球记下颜色后放回；第二次摸出1个球．‎ 则两次摸出颜色相同的球的概率．……………7分 ‎22．（7分）‎ 解：作CD⊥AB，垂足为D，CD交海面于H．设CD米．……………1分 在Rt△ACD中，由tan∠CAD＝，得AD＝，……………3分 ‎（第22题）‎ A B 海面 C D H 在Rt△BCD中，由tan∠CBD＝，得BD＝．……………4分 ‎∵AD－BD＝AB，‎ ‎∴－＝500．……………5分 将tan31.0°≈ 0.60 ，tan36.9° ≈0. 75代入得：‎ 解得x ＝1500．……………6分 ‎∴CH＝CD＋DH＝1500＋500＝2000．‎ 答:海底黑匣子C所在点距离海面的深度约2000米．……………7分 ‎( h)‎ E A B C D ‎（第23题）‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9‎ ‎50‎ O ‎( km)‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎23．（9分）‎ 解：（1）①图象如图所示；…………1分 ‎②3次；……………2分 ‎（2）法一：如图，设直线AB表示的函数 关系式为，‎ ‎∵图象过，，‎ ‎．①‎ ‎∴货车从乙地返回甲地时（km）与所用时间( h)的函数关系式为y＝－50x＋450．‎ ‎……………5分 法二：∵货车的速度为km/h ……………3分 ‎∴货车从乙地返回甲地时 即……………5分 ‎（3）法一：设直线表示的函数关系式为，‎ ‎∵图象过(5，0)，(7，200)，∴‎ ‎∴∴y＝100x－500．②……………6分 由①，②组成方程组，解得：……………7分 ‎∴所用时间为：t＝－5＝，货车离乙地的距离为：S＝200－＝．……9分 法二：设快递车第2次从甲出发到与返程的货车相遇所用时间为t小时，‎ 则，解得……………7分 ‎∴货车离乙地的距离为：km．………………9分 ‎24．（9分）‎ ‎（1）直线AB与⊙O相切．‎ ‎（第24题）‎ B A C D O P E H 连结OA、OP，设OP与AD交于点H．‎ ‎∵PA＝PD，∴P为的中点 ‎∴OP⊥AD，∴∠AHP＝90°……………1分 ‎∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAC＝∠BAC，‎ 又∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA．……2分 ‎∵在Rt△AHP中，∠DAP＋∠OPA＝90°．‎ ‎∴∠OAB＝∠OAP＋∠BAC＝∠OPA＋∠DAP＝90°．‎ 即OA⊥AB，……………3分 ‎∵点A在⊙O上，∴直线AB与⊙O相切．……………4分 ‎（2）连结BD交AC于点E，则AC⊥BD．设⊙O的半径为r．‎ ‎∵在Rt△AED中，AC＝8，tan∠DAC＝，∴DE＝2 ……………5分 由勾股定理，得AD＝＝＝2，∴AH＝．…………6分 在Rt△AHP中，由，tan∠DAC＝，得HP＝…………7分 在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH2＋OH2＝OA2，即（）2＋（r－）2＝r 2，‎ 解得：r＝．…………8分 ‎25．（9分）解：（1）9250 …………2分 ‎（2）设批发商应在保存该产品x天时一次性卖出，根据题意得：‎ ‎（700－15x）(50+2x)－50x－40×700＝10000，…………5分 化简得：－30x2+600x－3000＝0，‎ x2－20x+100＝0，（x－10）2＝0，…………7分 解得：x 1＝x 2＝10，…………8分 ‎∵10＜15，∴x＝10 ‎ 答：批发商应在保存该产品10天时一次性卖出获利10000元．…………9分 ‎26．（9分）（1）证明：在矩形ABCD中，‎ ‎∵图1‎ A B C D C′‎ D′‎ O M AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，‎ ‎∴OA＝OC＝OB＝OD，‎ ‎∵△D′OC′由△DOC旋转得到，‎ ‎∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，‎ ‎∴OB＝OD′＝OA＝OC′，…………1分 ‎∴180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，‎ 即∠BOD′＝∠AOC′，…………2分 ‎∴△BOD′≌△AOC′…………3分 N 图2‎ A B C D C′‎ D′‎ O M ‎（2）①猜想：△BOD′∽△AOC′．‎ 证明：在平行四边形ABCD中，OB＝OD，OA＝OC，‎ ‎∵△D′OC′由△DOC旋转得到，‎ ‎∴OD＝OD′，OC＝OC′，∠D′OD＝∠C′OC，‎ ‎∴OB：OA＝OD′：OC′，…………4分 ‎180°－∠D′OD＝180°－∠C′OC，‎ ‎∴∠BOD′＝∠AOC′，…………5分 ‎∴△BOD′∽△AOC′…………6分 ‎②结论：AC′＝kBD′，∠AMB＝α 证明：∵△BOD′∽△AOC′，‎ ‎∴，即AC′＝kBD′ …………7分 设BD′与AC相交于点N，∵△BOD′∽△AOC′，∴∠OBM＝∠OAM，‎ 在△ANM与△BNO中，又∵∠ANM＝∠BNO，‎ ‎∴180°－∠OAC′－∠ANM＝180°－∠OBD′－∠BNO，‎ 即∠AMB＝∠AOB＝α．………………9分 ‎27．（12分）（1）2－a，（－，0）；…………3分 y ‎（2）∵二次函数图象过（1，0）点，且与y轴的交点坐标是（0，－2），‎ ‎∴可求得：c＝－2, b＝2－a，‎ ‎∴y＝ax2＋（2－a）x﹣2，…………4分 O B A x ‎∴可求得图象顶点坐标为（，）……5分 ‎∵0＜a＜2，∴2a＞0，4a＞0，2－a＞0，＞0 ……6分 P C ‎∴＜0，＜0．‎ ‎（第27题）‎ ‎∴该二次函数图像的顶点一定在第三象限．…………7分 ‎（3）当a＝1时，y＝x2＋x－2，此时点B的坐标为（－2，0）．…………8分 当0＜x＜1时，0＜S＜S△ABC ‎∵S△ABC＝×AB×OC＝×3×2＝3，∴此时，0＜S＜3．…………9分 当－2＜x＜0时，可设点P的坐标为 连结PO，则S＝S△POB＋ S△POC－S△BOC ‎∴S＝‎ ‎…………10分 ‎∵当x＝－1时，S取最大值1，且满足－2＜－1＜0‎ ‎∴此时，0＜S≤1．…………11分 综上所述，0＜S＜3．…………12分