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南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题03：三角函数与解三角形
南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 1 页 共 39 页 专题 3：三角函数与解三角形 目录 问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2 类型一：同角三角函数求值 ........................................................................................................................... 2 类型二：三角函数的图像与性质 ................................................................................................................... 6 类型三：两角和与差的三角函数 ................................................................................................................. 13 类型四：三角恒等变换 ................................................................................................................................. 16 类型五：解三角形 ......................................................................................................................................... 19 综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 25 一、例题分析 ................................................................................................................................................. 25 二、巩固练习 ................................................................................................................................................. 30 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 2 页 共 39 页 问题归类篇 类型一：同角三角函数求值 一．前测回顾 1．(1) 若 sinα＝－ 5 13，且 α 为第四象限角，则 tanα 的值等于_____________． 答案：－ 5 12． （2）已知 tan＝2，则 sincos＋cos2 2sincos＋sin2＝，sin2－2sincos＋2＝ ． 答案：3 8；2． (3)已知 sinα＋cosα＝1 5，α∈(0，π)，则 cosα－sinα＝ ，tanα＝ ． 答案：－7 5；－4 3 解析：sinα＋cosα＝1 5，α∈(0，π)，且 sin2α＋cos2α＝1，得到 sinα＝4 5，cosα＝－3 5 二、方法联想 1．三角函数求值 (1) 知一求其余三角函数值； (2)关于 sinα 与 cosα 的齐次式，同除 cos或 cos2，如果不是齐次，借助 1＝sin2α＋cos2α 构造齐次． (3)sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα 间关系式 注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的 三角函数值)缩小角的范围． 三、方法应用 例 1．已知 ,为锐角, 45tan ,cos( ) .35 (1) 求 cos2 的值; (2) 求 tan( ) 的值. 解：（1）因为 4tan 3 ， sintan cos ，所以 4sin cos3 ． sinα＋cosα sinα－cosα sinαcosα sinα 和 cosα tanα sin2α 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 3 页 共 39 页 因为 22sin cos 1，所以 2 9cos 25 ， 因此， 2 7cos2 2cos 1 25 ． （2）因为 ,为锐角，所以 (0,π) ． 又因为 5cos( ) 5 ，所以 2 25sin( ) 1 cos ( ) 5 ， 因此 tan( ) 2 ． 因为 4tan 3 ，所以 2 2tan 24tan 2 1 tan 7 ， 因此， tan 2 tan( ) 2tan( ) tan[2 ( )] 1+tan 2 tan( ) 11 ． 例 2．在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知 2cos ,sin 5 cos3A B C . （1）求 tanC 的值； （2）若 2a ，求 的面积. 解：（1）因为 20 ,cos 3AA ，得 2 5sin 1 cos 3AA . 又 525 cos sin sin( ) sin cos cos sin cos sin33C B A C A C A C C C , 所以 tan 5C . （2）由 ，得 51sin ,cos 66 CC，于是 5sin 5 cos 6 BC， 由 及正弦定理 sin sin ac AC ，得 3c .设 得面积为 S ，则 15sin22S ac B. 例 3．在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cos A＝3 5，tan(B－A)＝1 3. (1) 求 tan B 的值； (2) 若 c＝13，求△ ABC 的面积． 解析：(1) 在△ ABC 中，由 cosA＝3 5，知 A 为锐角， 所以 sinA＝ 1－cos2A＝4 5， 所以 tanA＝sinA cosA＝4 3， 所以 tanB＝tan[(B－A)＋A]＝ tan（B－A）＋tanA 1－tan（B－A）tanA＝ 1 3＋4 3 1－1 3×4 3 ＝3. 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 4 页 共 39 页 (2) 由(1)知 tanB＝3， 所以 sinB＝3 10 10 ，cosB＝ 10 10 ， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝13 10 50 . 由正弦定理 b sinB＝ c sinC， 得 b＝csinB sinC ＝ 13×3 10 10 13 10 50 ＝15 所以△ ABC 的面积 S＝1 2bcsinA＝1 2×15×13×4 5＝78. 例 4．已知 α，β 为锐角，tanα＝4 3，cos(α＋β)＝－ 5 5 . (1) 求 cos 2α 的值； (2) 求 tan(α－β)的值． 解： (1) 因为 tanα＝sinα cosα＝4 3，所以 sinα＝4 3cosα. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝ 9 25， 因此 cos2α＝2cos2α－1＝－ 7 25. (2) 因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π)． 又因为 cos(α＋β)＝－ 5 5 ，所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝2 5 5 ， 因此 tan(α＋β)＝－2.因为 tanα＝4 3，所以 tan2α＝ 2tanα 1－tan2α＝－24 7 ， 因此 tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝ tan2α－tan（α＋β） 1＋tan2αtan（α＋β）＝－ 2 11. 例 5．已知 α∈ π 2，π ，sin α＝ 5 5 . (1) 求 sin π 4＋α 的值； (2) 求 cos 5π 6 －2α 的值． 解：(1) 因为 α∈ π 2，π ，sin α＝ 5 5 ，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 ， 故 sin π 4＋α ＝sinπ 4cos α＋cosπ 4sin α＝ 2 2 (cos α＋sin α)＝ 2 2 × － 5 5 ＝－ 10 10 . (2) 因为 sin 2α＝2sin αcos α＝－4 5，cos 2α＝cos2α－sin2α＝3 5， 所以 cos 5π 6 －2α ＝cos5π 6 cos 2α＋sin5π 6 sin 2α＝－ 3 2 ×3 5＋1 2× －4 5 ＝－3 3＋4 10 . 例 6．如图，在直角坐标系 xOy 中，角 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 5 页 共 39 页 且 ( , )62 . 将角 的终边按逆时针方向旋转 3 ，交单位圆于点 B，记 A(x1，y1)，B(x2，y2). （1）若 1 1 3x ，求 2x ； （2）分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C，D， 记△ AOC 的面积为 S1，△ BOD 的面积为 S2，若 122SS ， 求角 的值. 解：（1）由三角函数定义， 1 cosx ， 2 cos( )3x ， 因为 ， 1cos 3 ，所以 2 22sin 1 cos 3 . 2 1 3 1 2 6cos( ) cos sin3 2 2 6x . （2）依题意， 1 siny ， 2 sin( )3y ， 所以 1 1 1 1 1 1cos sin sin 22 2 4S x y ， )3 22sin(4 1-)3sin()3cos(2 1 2 1 222 yxS , 依题意， 2sin 2 2sin(2 )3 ，化简得 cos2 0 ， 因为 62 ，则 23 ，所以 2 2 ，即 4 . 四、归类巩固 *1．已知 sinα＝4 5，并且 α 是第二象限角，则 cosα 的值为 ． (已知三角函数正弦值，求余弦值) 答案：－3 5． *2．已知 tanα＝3，且 π＜α＜3π 2 ，则 cosα－sinα＝ ． （已知三角函数正切值，求正弦、余弦值） 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 6 页 共 39 页 答案： 10 5 ． 解析：sinα cosα＝3 且 sin2α＋cos2α＝1，得到 sinα 与 cosα 的值 ．． **3．若 tan( ) 24 ，则sin 2 的值为 ． （已知三角函数正切值，求二倍角正弦） 答案： 3 5 ． **4．若 cosα＋2sinα＝－ 5，则 tanα＝ ． (构造方程组求解 sinα，cosα) 答案：2． 解析：结合 sin2α＋cos2α＝1，得到 sinα 与 cosα 的值． ***5．定义在区间 π0 2 ， 上的函数 5cos2yx 的图象与 2 sinyx 的图象的交点横坐标为 0x ， 则 0tan x 的值为 ． 答案： 3 4 解析：令5cos2 2 sinxx ，即 25(1 2sin ) 2 sinxx ，所以 210sin sin 3 0xx ， 因为 π0 2x ， ，所以 3sin 5x ，即，从而 0 3tan 4x ． 0 3sin 5x 类型二：三角函数的图像与性质 一、 前测回顾 1．（ 1） 函数 y＝ sin(2x－ 3)的定义域为 ． 答案：[kπ＋π 6 ，kπ＋2π 3 ](k∈Z)． （2） 函数 y＝sin(2x＋ 6)，x∈[0，π 3]的值域为 ． 答案：[－1 2 ，1]． （3）已知＞0，在函数 y＝2sinx 与 y＝2cosx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3， 则的值为 ． 答案：π 2． （4） 函数 y＝2cos(3x－ 3)单调减区间为． 答案：[2kπ 3 ＋π 9，2kπ 3 ＋4π 9 ](k∈Z)． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 7 页 共 39 页 （5）函数 y＝sin(2x＋ 4) 的对称轴为；中心对称点为 ．． 答案：x＝kπ 2 ＋π 8(k∈Z)；(kπ 2 －π 8，0)(k∈Z)； 2．（1）函数 y＝2sin2x＋ 3sinxcosx＋3cos2x 的值域为 ． 答案：[1 2，5 2]． （2）函数 y＝4sin2x－12cosx－1， x Î[－π 6，2π 3 ]的值域为 ． 答案：[－13，8]． （3）函数 y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2, [0，π]的值域为 ． 答案：[3 4，3＋ 2]． （4）函数 y＝sinx＋1 cosx－1的值域为 ．． 答案：[0，＋∞)． 提示：方法一：看作斜率，数形结合处理； 方法二：导数法处理． 3．（ 1）．已知函数 sin(2 )( )22yx 的图象关于直线 3x 对称，则 的值是 ． 答案： π 6 （2）已知函数 y＝Asin(2x＋φ)的对称轴为 x＝π 6，则 φ 的值为 ． 答案：kπ＋π 6(k∈Z)． （3）已知函数 y＝cos(2x＋φ)为奇函数，则 φ 的值为 ． 答案：kπ＋π 2(k∈Z)． （4）将函数 π( ) 2sin 2 6f x x的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称． 答案： π 12 . （5）若函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x A x A 的图象与直线 ym 的三个相邻交点的横坐标分别是 6 ， 3 ， 2 3 ，则实数 的值为 ． 答案： 4 （6）已知函数 ( ) sin( ) (0 3 0 )f x x ， ．若 4x 为函数 ()fx的一个零点， 3x 为函 数 图象的一条对称轴，则 的值为 ． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 8 页 共 39 页 答案： 7 二、 方法联想 1．三角函数的定义域 方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域． 2．三角函数的值域 方法 1：转化为 y＝Asin(ωx＋φ)形式，先求 ωx＋φ 的范围，再根据正弦函数的图象求出值域 如 y＝asin2ωx＋bsinωxcosωx＋ccos2ωx 的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为 y＝Asin(2ωx＋φ)形式求值域． 方法 2：利用换元法转化为二次函数值域问题． 如:含有 sin2x，cosx(或 sinx)和 cos2x，sinx(或 cosx)形式；含有 sinx±cosx，sinxcosx： 形如分子、分母含有 sinx，cosx 的一次形式： 方法 1：化为 sin(ωx＋φ)＝M 形式，再得用三角函数的有界性(|sinx|≤1，|cosx|≤1)求值域． 方法 2：导数法 3．三角函数对称问题 方法：对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) 若 x＝x0 为对称轴f(x0)＝±A． 若(x0，0)为中心对称点f(x0)＝0． 推论：对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ) 若函数 y＝f(x)为偶函数f(0)＝±A．若函数 y＝f(x)为奇函数f(0)＝0． 4．求 f(x)＝Asin(x＋)＋B(A＞0)的解析式 方法：待定系数法 步骤：（1）由周期 T＝2π |ω|得； （2）由 A＋B＝ymax， －A＋B＝ymin，得， A＝ymax－ymin 2 ， B＝ymax＋ymin 2 ， （3）将点代入求(尽量代入最高点或最低点)． 三、 方法应用 例 1．已知函数 f(x)＝( 3cosx＋sinx)2－2 3sin2x. (1) 求函数 f(x)的最小值，并写出 f(x))取得最小值时自变量 x 的取值集合； (2) 若 x∈ －π 2，π 2 ，求函数 f(x)的单调增区间． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 9 页 共 39 页 解：(1) f(x)＝( 3cosx＋sinx)2－2 3sin2x ＝3cos2x＋2 3sinxcosx＋sin2x－2 3sin2x＝3（1＋cos2x） 2 ＋1－cos2x 2 － 3sin2x ＝cos2x－ 3sin2x＋2＝2cos 2x＋π 3 ＋2. 当 2x＋π 3＝2kπ＋π，即 x＝kπ＋π 3(k∈Z)时，f(x)取得最小值 0, 此时自变量 x 的取值集合为 xx＝kπ＋π 3，k∈Z . (2) 由(1)知 f(x)＝2cos 2x＋π 3 ＋2. 令 π＋2kπ≤2x＋π 3≤2π＋2kπ(k∈Z)， 解得π 3＋kπ≤x≤5π 6 ＋kπ(k∈Z)， 又 x∈ －π 2，π 2 ，令 k＝－1，x∈[－π 2，－π 6]，令 k＝0，x∈ π 3，π 2 ， 所以函数 f(x)在 －π 2，π 2 上的单调增区间是 －π 2，－π 6 和 π 3，π 2 . 例 2．已知函数 f(x)＝1－2sin(x＋π 8)·[sin(x＋π 8)－cos(x＋π 8)]． (1) 求函数 f(x)的最小正周期； (2) 当 x∈[－π 2， π 12]时，求函数 f(x＋π 8)的值域． 解：(1) f(x)＝1－2sin(x＋π 8)[sin(x＋π 8)－cos(x＋π 8)] ＝1－2sin2(x＋π 8)＋2sin(x＋π 8)cos(x＋π 8) ＝cos(2x＋π 4)＋sin(2x＋π 4)＝ 2sin(2x＋π 2)＝ 2cos 2x.所以 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2) 由(1)可知 f(x＋π 8)＝ 2cos(2x＋π 4)， 由于 x∈[－π 2， π 12]，所以 2x＋π 4∈[－3π 4 ，5π 12]， 所以 cos(2x＋π 4)∈[－ 2 2 ，1]， 所以 f(x＋π 8)的值域为[－1， 2]． 例 3．已知函数 f(x)＝－ 2 2 sin(2ax＋π 4)＋1 2＋b(a>0，b>0) 的图象与 x 轴相切，且图象上相邻两个最高点之 间的距离为π 2. (1) 求 a，b 的值； (2) 求 f(x)在[0，π 4]上的最大值和最小值． 解：(1) 因为 f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π 2， 所以 f(x)的周期为π 2，所以 2π 2|a|＝π 2，a>0，所以 a＝2, 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 10 页 共 39 页 此时 f(x)＝－ 2 2 sin(4x＋π 4)＋1 2＋b. 因为 f(x)的图象与 x 轴相切，所以|b＋1 2|＝ 2 2 ，b>0, 所以 b＝ 2 2 －1 2. (2) 由(1)可得 f(x)＝－ 2 2 sin(4x＋π 4)＋ 2 2 ， 因为 x∈ 0，π 4 ，所以 4x＋π 4∈ π 4，5π 4 ， 所以当 4x＋π 4＝5π 4 ，即 x＝π 4时，f(x)有最大值为 2＋1 2 ； 当 4x＋π 4＝π 2，即 x＝ π 16时，f(x)有最小值为 0. 例 4．已知 31sin cos 2 ， π π 44 ， ． （1）求 的值； （2）设函数 22( ) sin sinf x x x ， xR ，求函数 ()fx的单调增区间． 解：（1）由 31sin cos 2 ，得 2 3(sin cos ) 1 2 ， 即 223sin 2sin cos cos 1 2 ，所以 3sin 2 2 ． 因为 π π 44 ， ，所以 π π2 22 ， ，所以 π2 3 ，即 π 6 ． （2）由（1）知， 22π( ) sin sin 6f x x x ， 所以 11π( ) 1 cos2 1 cos 22 2 3f x x x 1 πcos 2 cos223xx 311sin 2 cos22 2 2xx 1 πsin 226x． 令 π π π2 π 22π+2 6 2k x k≤ ≤ ， 得 π ππ π+63k x k ≤ ≤ ，所以函数 ()fx的单调增区间是 π ππ π+63kk， ， Zk ． 例 5．将函数 π( ) sin 6f x x（ 0 ）的图象向左平移 π 3 个单位后，所得图象关于直线 πx 对称，则 的最小值为 ． 答案： 1 2 解析：将 ()fx的图象向左平移 个单位得到 π πsin 36yx ， 因为图象关于直线 对称，所以 4π πsin 136 ， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 11 页 共 39 页 所以 4π π ππ3 6 2k ，即 31 42k ， k Z ，所以 的最小值为 1 2 ． 四、归类巩固 *1．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝cos(x 2＋3π 2 )(x Î[0,2π])的图象和直线 y＝1 2的交点个数是______． 答案：2．（利用三角函数图像） 解析： ])20[)(2 3 2cos( ， xxy ，得到 y＝sinx 2，做出图像． **2．定义在区间[0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数是______． 答案：7(考查三角函数图像)． *3．函数 y＝|sinx|，(x∈[，2])的单调递增区间是______． 答案：[，3π 2 ]；(考查三角函数的图像和性质)． **4．已知函数 f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|＜π）的部分图象如图所示，则 f(0)＝________． 答案：－1；(考查三角函数的图象)． **5．将函数 ( ) sin2f x x 的图象向右平移 6 个单位得到函数 ()gx的图象，则以函数 ()fx与 的图象的相邻三个交点为顶点的三角形的面积为 ． 答案： 3 2 . ***6．将函数 42sin2)( xxf 的图像向右平移 )0( 个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到 原来的 2 1 倍，所得图像关于直线 4 x 对称，则 的最小正值为______． 答案：3π 8 (考查三角函数图像变换)． *7．函数 y＝2sin(π 6x－π 3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为 ． 答案：2＋ 3；(考查三角函数的最值)． **8．若函数 f(x)＝sin(x＋θ)(0＜θ＜π 2)的图象关于直线 x＝π 6对称，则 θ＝______． 答案：π 3；(考查三角函数的对称性)． ***9． 若将函数 f(x)＝sin（2x＋π 4)的图象向右平移 φ 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是 ________． 答案： 3π 8 ； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性)． *10．函数 f(x)＝sinx（π 6≤x≤2π 3 ）的值域为______． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 12 页 共 39 页 答案：[1 2，1](考查三角函数值域)． **11．设 0＜x＜，则函数 sin 2 2 sin xy x的最小值为______． 答案：5 2（考查正弦函数、余弦函数的图象和性质）． 解析：令 t＝sinx（0，1），利用 y＝t 2＋2 t的单调性得到最小值． ***12． 将函数 f(x)＝sin2x 的图像向右平移 (0 )2 个单位后得到函数 ()gx的图像，若对满足 12( ) ( ) 2f x g x的 1x ， 2x ，有 12min 3xx ，则 ______． 答案： π 12(考查三角函数图像变换，最值)． *13．若 f(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间[0，π 3]上的最大值是 2，则 ω＝________． 答案：3 4(考查三角函数单调性,最值)． **14．将函数 f(x)＝2sin(2x－π 6)的图象向左平移 m 个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线 x＝π 6对称，则 m 的最小值为_______．． 答案：π 6；(考查三角函数的图象与对称性)． ***15．已知过原点的直线与函数 y＝|sin x|(x≥0)的图像有且只有三个交点，α 是交点中横坐标的最大值，则 ＋α2sin 2α 2α 的值为________． 答案：1(考查三角函数图像)． 16．已知函数 f(x)＝ 3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角 θ 的值为 ． 答案：2π 3 ． 解析：因为 f(x)＝ 3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)为偶函数， 所以 f(x)＝f(－x)恒成立， 即 3sin(x＋θ)＋cos(x－θ)＝ 3sin(－x＋θ)＋cos(－x－θ) 展开并整理得( 3cosθ＋sinθ)sinx＝0 恒成立． 所以 3cosθ＋sinθ＝0，即 tanθ＝－ 3， 又 θ∈[0，π]，所以 θ＝2π 3 ． 17．已知函数 y＝sin(2x＋φ) －π 2<φ<π 2 的图象关于直线 x＝π 3对称，则 φ 的值是________． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 13 页 共 39 页 答案：－π 6 解析：由题意可知，2×π 3＋φ＝kπ＋π 2，k∈Z，所以 φ＝kπ－π 6，k∈Z. 又因为 φ∈ －π 2，π 2 ，所以 k＝0，φ＝－π 6. 18．函数 ( ) sin( )( 0, 0)f x A x A 的图象如图所示， 则 (1) (2) (2018)f f f 的值为 ． 答案：2+ 2 19 ．函数 ( ) sin 3cosf x x x ， 0 πx ， 的 单 调 减 区 间 为 ． 答案： π[ π]6 ， ． 解析： π( ) 2sin( )3f x x，由 π π 3π2 π 2 π2 3 2k x k ≤ ≤ ， k Z 及 [0 π]x ， 得函数的单调减区间为 ． 类型三：两角和与差的三角函数 一、 前测回顾 1． 0000 10sin160cos10cos20sin = ． 答案： 1 2 ． 2．已知 10 1)sin(,2 1)sin( ,则 tana tanb = ． 答案： 3 2 ． 解析：把两角和与差的正弦公式中的 sinacosb , cosasinb 分别看成一个整体，通过解方程组，求出 和 ，作比，即可求出 tana tanb = 3 2 . 3． 0000 37tan23tan337tan23tan ． 答案： 3 ． 解析：因为 230 +370 = 600 ，联想公式 tan(230 +370 ) = tan230 + tan370 1-tan230 tan370 ,逆用两角和正切公式， 并进行变形得： tan230 +tan370 + 3tan230 tan370 = 3． x y O 2 2 6 -2 （ 第 1 0 题 图 ） （第 18 题） 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 14 页 共 39 页 4.已知 α∈ 0，π 2 ，β∈ π 2，π ，cos α＝1 3，sin(α＋β)＝－3 5，则 cos β＝__________． 答案：－4＋6 2 15 解析：由 α∈ 0，π 2 ，cos α＝1 3，得 sin α＝2 2 3 .又 β∈ π 2，π ，α∈ 0，π 2 ，sin(α＋β)＝－3 5， 得 cos(α＋β) ＝－4 5，则 cos β＝cos[(α＋β) －α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－4＋6 2 15 . 5．已知函数 ( ) sin(2 )3f x x （ 0 x ≤ ），且 1( ) ( ) 3ff（ ），则 ▲ ． 答案： 7 6 解析：．由 ，知 23 3 3x ≤ ≤ ，因为 31( ) ( ) 32ff ，所以 3π2 2 23 3 2 ， 所以 7 6 += ． 二、 方法联想 如何根据题目中的三角函数结构形式，选择合适的方法来解决问题？ 1. 分析结构：认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点，帮助我们找到变形的方向； 2. 寻找规律：寻求函数名之间、角之间的差别和联系为我们选用正确的方法做好前期准备； 3. 巧用方法：熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法：切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“1”的代换 法等，熟悉角的拆拼、变换的技巧． 三、 方法应用 例 1．在锐角三角形 ABC 中，角 CBA ,, 的对边为 cba ,, ，已知 5 3sin A ， 2 1)tan( BA ， （1）求 Btan ； （2）若 5b ，求c . 解：（1）在锐角三角形 ABC 中，由 3sin 5A ，得 2 4cos 1 sin 5AA ， 所以 sin 3tan cos 4 AA A. 由 tan tan 1tan( ) 1 tan tan 2 ABAB AB ，得 tan 2B . （2）在锐角三角形 ABC 中，由 tan 2B ，得 25sin 5B ， 5cos 5B ， 所以 11 5sin sin( ) sin cos cos sin 25C A B A B A B ， 由正弦定理 sin sin bc BC ，得 sin 11 sin 2 bCc B. 例 2．在 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc．已知 2cos ( cos cos )A b C c B a． （1）求角 A 的值； （2）若 3cos 5B ，求sin( )BC 的值． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 15 页 共 39 页 解：（1）由正弦定理可知， 2cos (sin cos sin cos ) sinA B C C B A， 即 2cos sin sinA A A ，因为 (0,π)A ，所以sin 0A ， 所以 2cos 1A ，即 1cos 2A ， 又 ，所以 π 3A ． （2）因为 3cos 5B ， (0,π)B ，所以 2 4sin 1 cos 5BB ， 所以 24sin 2 2sin cos 25B B B， 2 7cos2 1 2sin 25BB ， 所以 2π 2πsin( ) sin[ ( )] sin(2 )33B C B B B 2π 2πsin 2 cos cos2 sin33BB 24 1 7 3()25 2 25 2 7 3 24 50 ． 例 3． ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，面积为 S． （1）若 23AB AC S ，求 A 的值； （2）若 tan A ∶ tan B ∶ tanC ＝1∶2∶3，且 1c ，求 b． 解．（1）由题意知， cosAB AC bc A , 1 sin2S bc A , 所以 cos 3 sinbc A bc A ， 即 cos 3sinAA ， 3tan 3A， 因为 A 为三角形内角，所以 6A ； （2）设 tan Am ， tan 2Bm ， tan 3Cm ，由题意知， 0m ． 因为 tan tantan tan( ) 1 tan tan ABC A B AB ， 则 2 33 12 mm m ， 解得 1m ，则 tan 2B ， tan 3C ，从而 25sin 5B ， 3 10sin 10C ， 所以 sin 2 2 sin 3 AC B AB C，则 22 3AC 四、归类巩固 **1． (1+tan220 )(1+tan230 ) = ． 答案：2． ***2．已知 tan(a +b) = 2,tan(a -b) = 3,则 sin2a cos2b = ． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 16 页 共 39 页 A B C （第 3 题） 答案： 7 5 ． 解析：观察已知和所求式子的特点，利用 2a =(a +b)+(a -b),2b =(a +b)-(a -b),再利用弦化 切，求出 sin2a cos2b = tan(a + b)+tan(a - b) 1+ tan(a + b)tan(a -b) = 5 7 . 3．如图，三个相同的正方形相接，则 tan ABC 的值为 ． 答案： 1 7 解析：设最右边的正方形的右下角顶点为 D ， 则 11 tan tan 123tan tan 1 tan tan 1 1 71 23 BCD BADABC BCD BAD BCD BAD ． 4．在△ ABC 中， cos 2sin sinA B C ， tan tan 2BC ，则 tan A 的值为 ． 答案：1 解析：由 cos 2sin sinA B C 得， cos 2sin sinB C B C ， 即 cos cos sin sin 2sin sinB C B C B C ，所以 tan tan 1BC ， 所以 tan tan 2tan tan 1tan tan 1 1 1 BCA B C BC ． 类型四：三角恒等变换 一、前测回顾 1．已知 cos(＋π 6)＝1 3，∈(0，π 2)，则 cos＝ ；sin(＋π 3)＝ ；cos(2＋π 6)＝ ． 答案：1 6（ 3＋2 2）； 1 3；1 6（2 2－ 3）． 2．已知 cos(π 4＋x)＝3 5，17π 12 ＜x＜7π 4 ，则sin2x＋2sin2x 1－tanx ＝ ． 答案：28 75． 3 设 为锐角，若 3cos( )65 ，则 cos(2 )6 ． 答案： 24 25 . 解析：因为 α 为锐角， 3cos( )65 为正数， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 17 页 共 39 页 所以 6 是锐角， 4sin( )65 ，得 24sin(2 ) 2sin( )cos( )3 6 6 25 ， 又因为 cos(2 ) sin(2 )63 ，所以 24cos(2 )6 25 . 二、方法联想 1．三角变换基本想法 （1）角：观察角的联系，实现角的统一． （2）名：弦切互化，异名化同名． 形：公式变形与逆用． 幂：平方降幂，根式升幂． 解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公 式的变形、幂的升降，做出公式的选择． 常见的角的变形有：（1）可化为特殊角；（2）可以化为同角；（3）可分析角与角之间的关系，如和， 差，倍等等；（4）可实现条件、结论中角的转化． 注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．若在已知范围内不能确定时，利用三角函 数值的正负或大小来缩小角的范围． 三、方法应用 例 1．已知函数 f(x)＝sinx＋cosx，f'(x)是 f(x)的导函数． （1）求函数 F(x)＝f(x)f'(x)＋ 3f2(x)的最大值和最小正周期； （2）若 f(x)＝2f'(x)，求 sin(2x＋π 4)的值． 解：（1）因为 f'(x)＝cosx－sinx， 所以 F(x)＝f(x)f'(x)＋ 3f2(x)＝cos2x－sin2x＋ 3＋2 3sinxcosx ＝ 3＋ 3sin2x＋cos2x＝ 3＋2sin(2x＋π 6)． 所以当 2x＋π 6＝π 2＋2kπ，即 x＝π 6＋kπ(k∈Z)时，F(x)max＝ 3＋2． 函数 F(x)的最小正周期为 T＝2π 2 ＝π． （2）因为 f(x)＝2f'(x)，所以 sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即 cosx＝3sinx，故 tanx＝1 3． 于是 sin(2x＋π 4)＝ 2 2 (sin2x＋cos2x)＝ 2 2 ( 2sinxcosx sin2x＋cos2x＋cos2x－sin2x sin2x＋cos2x) ＝ 2 2 ( 2tanx 1＋tan2x＋1－tan2x 1＋tan2x)＝ 2 2 ·2tanx＋1－tan2x 1＋tan2x ＝ 2 2 · 2×1 3＋1－(1 3)2 1＋(1 3)2 ＝7 2 10 ． 例 2．已知函数 2sin 3sin cosf x x x x ． （1）求 fx的最小正周期； （2）若 在区间 3 m , 上的最大值为 3 2 ，求 m 的最小值． 解：（1） 1 cos2 3 3 1 1 1sin 2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 6 2 xf x x x x x ， 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 18 页 共 39 页 所以 fx的最小正周期为 2π π2T ． （2）由（1）知 π 1sin 2 62f x x ， 因为 π 3xm , ，所以 π 5π π226 6 6xm , ． 要使得 在 π 3 m , 上的最大值为 3 2 ，即 πsin 2 6x 在 3 m , 上的最大值为 1． 所以 π π2 62m ，即 π 3m ．所以 m 的最小值为 π 3 ． 例3．在 ABC 中，三个内角分别为 A,B,C ，已知sin(A ) 2cosA6 ． （1）若 6cosC 3 ，求证： 2 3 0ac． （2）若 (0, )3B ，且 4cos( ) 5AB，求 sin B ． 解：.因为 ，得 31sin A cosA 2cosA22， 即sin A 3cosA ，因为 A 0,，且cosA 0 ， 所以 tan A 3 ，所以 A 3 . （1）因为 22sin C cos C 1， 6cosC 3 ， C 0,，所以 3sin C 3 由正弦定理知 ac sin A sinC ，即 3 32 23 3 a sin A c sinC ，即 2 3 0ac （2）因为 (0, )3B ，所以 033A B B , ， 因为 22sin ( ) cos ( ) 1A B A B ，所以 3sin( ) 5AB， 所以 4 3 3sin sin sin cos( ) cos sin( ) 10B A A B A A B A A B 四、归类巩固 **1．计算 2sin50°＋sin80°(1＋ 3tan10°) 1＋cos10° ＝． 答案：2． **2．已知 tan(π 4＋)＝1 2．则sin2－cos2 1＋cos2 ＝． 答案：－5 6． **3．已知 sinα＝ 5 5 ，sin(α－β)＝－ 10 10 ，α，β 均为锐角，则角 β＝________． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 19 页 共 39 页 答案：π 4． **4. 若 tan 2tan ，且 2cos sin 3 ，则sin( ) 的值为 ． 答案：3、 1 3 **5. 设 f(x)＝sin2x－ 3cos xcos x＋π 2 ，则 f(x)在 0，π 2 上的单调增区间为________． 解析：. 0，π 3 解析：f(x)＝sin2x－ 3cos xcos x＋π 2 ＝sin2x＋ 3sin xcos x＝1 2(1－cos 2x)＋ 3 2 sin 2x＝ sin 2x－π 6 ＋1 2.由 2kπ－π 2≤2x－π 6≤2kπ＋π 2，k∈Z，得 kπ－π 6≤x≤kπ＋π 3，k∈Z.由 x∈ 0，π 2 ，则当 k＝0 时， －π 6≤x≤π 3，即 0≤x≤π 3，即函数 f(x)在 0，π 2 上的单调递增区间为 0，π 3 **6．已知函数 f(x)＝cos2x＋cos2(x＋π 3)． （1）求 f(x)最小正周期和单调递增区间； （2）求 f(x)在区间[－π 3，π 6]上的最大值和最小值． 解析：（1）f(x) 1 cos 2 31 cos2 1 21 cos2 cos 22 2 2 3 xx xx 1 1 3 11 cos2 cos2 sin 2 1 cos 22 2 2 2 6x x x x 周期T 单调递增区间： 5 112 2 2 26 12 12k x k k x k 所以 fx单调递增区间： 5 11,,12 12k k k Z ． （2） ,36x 2,6 2 2x cos 2 0,16x ． 类型五：解三角形 一、 前测回顾 1．（ 1）在△ ABC 中，b＝ 3，B＝60°，c＝1，则 C＝________．； a＝________．． 答案：30°；2． （2）在△ ABC 中，A＝1200，a＝7，b＋c＝8，则 b＝________．； c＝________．． 答案：3 或 5；5 或 3． 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 20 页 共 39 页 （3） 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD， AD＝10， AB＝14， BDA＝60， BCD＝135 ，则 BC＝________．． 答案：8 2． （4）在△ ABC 中，已知 3AB ， o120A ，且 ABC 的面积 为15 3 4 ，则 BC 边长为________．． 答案： 7 ．. 2．（ 1）在△ ABC 中，acosA＝bcosB，则△ ABC 的形状为________．． 答案：等腰或直角三角形． （2）在△ ABC 中，sinA＝2cosBsinC，则△ ABC 的形状为________．． 答案：等腰三角形． 二、方法联想 1．解三角形 （1）三角形的几个关系 ①角角关系：A＋B＋C＝π； ②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角； ③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． （2）解三角形方法 ①三角形的六个量中只要知道其中三个量（至少已知一条边）便可以求出其他三个量； ②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角； 余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边； 其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解”和 “两解”的问题． 2．与三角形有关的三角函数问题 具体做法： （1）A＋B＋C＝π 可消元； （2）遇到正弦要当心！优先考虑可能出现的一解和两解问题； （3）边角转化，利用（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC 或（2）cosA＝b2＋c2－a2 2bc 等进行边角互 化，即边化角或角化边． 说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角”，而在填空题中，随意． 三、方法应用 例 1、在锐角△ ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 ,6,4,,, cbcba 且 .32sin Ba （1）求角 A 的大小； （2）若 D 为 BC 的中点，求线段 AD 的长. 解．（1）由正弦定理，得 sin sina B b A ， 因为 b＝4， sin 2 3aB ，所以 3sin 2A ， 又 π0 2A，所以 π 3A ． （2）若 b＝4，c＝6，由余弦定理得 南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料 第 21 页 共 39 页 a2＝b2＋c2－2bccos A＝16＋36－2×24×1 2 ＝28， 所以 a＝ 27． 又因为 sin 2 3aB ，所以 21sin 7B ，从而 27cos 7B ， 因为 D 为 BC 的中点，所以 BD ＝ DC ＝ 7 ． 在 ABD 由余弦定理，得 2 2 2 2 cosAD AB BD AB BD B ， 即 2 2736 7 2 6 7 197AD ，所以， 19AD ．…………14 分 例 2、在 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc， AD 为边 BC 上的中线． （1）若 4a ， 2b ， 1AD ，求边c 的长； （2）若 2AB AD c，求角 B 的大小． 解：（1）在 ADC 中，因为 11, 2, 22AD AC DC BC ，所以由余弦定理， 得 2 2 2 2 2 22 2 1 7cos 2 2 2 2 8 AC DC ADC AC DC ． 故在 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 2 72 cos 4 2 2 4 2 68c a b ab C ， 所以 6c ． （2）因为 为边 上的中线，所以 1 ()2AD AB AC，所以 2 1 ()2c AB AD AB AB AC 2 21 1 1 1 cos2 2 2 2AB AB AC c cb A ，得 cosc b A ． 则 2 2 2 2 b c acb bc ，得 2 2 2b c a，所以 90B ． 例 3、已知在△ ABC 中，a，b，c 分别为三个内角 A，B，C 的对边， 3bsinC＝ccosB＋c. (1) 求角 B 的大小； (2) 若 b2＝ac，求 1 tanA＋ 1 tanC的值． 解：(1) 由正弦定理得 3sinBsinC＝cosBsinC＋sinC， 在△ ABC 中，因为 sinC>0，所以 3sinB－cosB＝1，所以 sin B－π 6 ＝1 2. 因为 0查看更多