北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题 含解析

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北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题 含解析

中国人民大学附属中学2019届高三10月统一练习 数学(理)试题 说明:本试卷共三道大题20道小题,共4页,满分150分,考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上,在试卷上作答无效.‎ 一、选择题(本大题共8道小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的,请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.)‎ ‎1.若集合A={x∈Z||x|<3},B={x∈Z|x2﹣3x﹣4<0},则A∩B=(  )‎ A. {0,1,2} B. {﹣2,﹣1,0,1,2,3}‎ C. {﹣1,0,1,2,3} D. {﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4}‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合后利用集合的交集运算进行运算可得.‎ ‎【详解】因为集合,,‎ 所以,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.设命题,则为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题,所以命题的否命题应该为,即本题的正确选项为C.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎3.已如函数f(x),则f′(π)+f′(﹣π)=(  )‎ A. ﹣2 B. ‎2 ‎C. D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入和计算可得.‎ ‎【详解】因为f(x),所以,‎ 所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题.‎ ‎4.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:因为,所以“”是“”的充分不必要条件;故选A.‎ 考点:1.二倍角公式;2.充分条件和必要条件判定.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎5.设a>0,b>0,e是自然对数的底数 A. 若ea+‎2a=eb+3b,则a>b B. 若ea+‎2a=eb+3b,则a<b C. 若ea‎-2a=eb-3b,则a>b D. 若ea‎-2a=eb-3b,则a<b ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】若,必有.‎ 构造函数:,则,‎ 则恒成立,‎ 故有函数在x>0上单调递增,‎ 所以a>b成立.故选A.‎ ‎6.已知曲线y=2sin(x)cos()与直线y相交,若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1,P2,P3,…,则|P1P5|等于(  )‎ A. π B. 2π C. 3π D. 4π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将化为,根据已知条件得到关于的方程,求出方程的解,进而得到的横坐标,从而可得的值.‎ ‎【详解】因为 ‎ ‎,‎ 所以由,得,‎ 所以或,,‎ 所以或,,‎ 所以的横坐标依次是,‎ 所以.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.‎ ‎7.函数的图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,根据定义在上的奇函数图像关于原点对称可以排除,再求出其导函数,根据函数的单调区间呈周期性变化,分析四个选项即可得到结果 ‎【详解】当时,‎ 故函数图像过原点,排除 又,令 则可以有无数解,所以函数的极值点有很多个,故排除 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项,只有符合要求 故选 ‎【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状,解决此类问题,主要从函数的定义域,值域,单调性以及奇偶性,极值等方面考虑,有时也用特殊值代入验证.‎ ‎8.已知函数是定义在R上的偶函数,对任意都有,当,且时,,给出如下命题:‎ ‎①; ‎ ‎②直线是函数的图象的一条对称轴;‎ ‎③函数在上为增函数;‎ ‎④函数在上有四个零点.‎ 其中所有正确命题的序号为( )‎ A. ①② B. ②④ C. ①②③ D. ①②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性,然后逐一进行判定 ‎【详解】①令,则由,函数是定义在上的偶函数,‎ 可得:,故,故①正确 ‎②由可得:,故函数是周期等于6的周期函数 是偶函数,轴是对称轴,故直线是函数的图象的一条对称轴,故②正确 ‎③当,且时,,‎ 故在上为增函数 是偶函数,故在上为减函数 函数是周期等于6的周期函数 故在上为减函数,故③错误 ‎④函数是周期等于6的周期函数 故函数在上有四个零点,故④正确 综上所述,则正确命题的序号为①②④‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了函数的性质:奇偶性、周期性以及单调性,在求解过程中熟练运用各性质进行解题,注意零点问题的求解.‎ 二、填空题(本大题共6道小题,每小题5分,共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)‎ ‎9.函数的定义域为________.‎ ‎【答案】[2,+∞)‎ ‎【解析】‎ 分析:根据偶次根式下被开方数非负列不等式,解对数不等式得函数定义域.‎ 详解:要使函数有意义,则,解得,即函数的定义域为.‎ 点睛:求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题.‎ ‎10.计算 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先求出被积函数2x的原函数,然后根据定积分的定义求出所求即可.‎ ‎【详解】解:(2x)dx ‎=(x2+lnx) ‎ ‎=e2+lne﹣1﹣ln1‎ ‎=e2‎ 故答案为e2‎ ‎【点睛】本题主要考查了定积分的运算,定积分的题目往往先求出被积函数的原函数,属于基础题.‎ ‎11.如图,点P是函数y=2sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0)图象的一个最高点,M、N是图象与x轴的交点,若△MPN为直角三角形,则ω=_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意得到,所以周期,再根据周期公式可得答案.‎ ‎【详解】三角函数的最大值为2,即三角形MPN的高为2,‎ ‎∵△MPN直角三角形,∴根据对称性知△MPN为等腰直角三角形,即MN=4,‎ 即三角函数的周期T=8,由T8,得ω,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到,是答题的关键,属于基础题.‎ ‎12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sinC=2sinA,b2﹣a2ac,则sinB等于_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sinC=2sinA以及正弦定理得c=‎2a,再由b2﹣a2ac得ba,然后由余弦定理可求得,根据同角公式可得.‎ ‎【详解】由sinC=2sinA以及正弦定理得c=‎2a,‎ 又b2﹣a2ac,得b2﹣a2a×‎2a=a2,‎ 即b2=‎2a2,则ba,‎ 由余弦定理得cosB,‎ 因为,所以sinB,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.‎ ‎13.已知函数,‎ 其中c>0.那么f(x)的零点是________;若f(x)的值域是,则c的取值范围是________.‎ ‎【答案】 (1). -1和0 (2). (0,4]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数概念,分x为正数和负数两种情况讨论,分别解方程即可得到么f(x)的零点.‎ 根据二次函数的图象与性质,求出当x∈[-2,0)时,函数f(x)的值域恰好是[−,2],所以当0≤x≤c时,f(x)=的最大值小于等于2,即可解出实数c的取值范围.‎ ‎【详解】当x≥0时,令=0,得x=0; ‎ 当x<0时,令x2+x=0,得x=-1或x=0(舍去)‎ ‎∴f(x)的零点是-1和0‎ ‎∵函数y=x2+x= ,在区间[-2,-)上是减函数,在区间(-,0)上是增函数 ‎∴当x∈[-2,0)时,函数f(x)最小值为f(-)=-,最大值是f(-2)=2‎ ‎∵当0≤x≤c时,f(x)= 是增函数且值域为[0,]‎ ‎∵f(x)的值域是[−,2],∴ ≤2,即0<c≤4‎ ‎【点睛】函数的零点是实数,是方程f(x)=0的根,若能直接解方程求解,解方程即可;若不方便解方程,可通过图象法,函数的零点也是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标.分段函数的值域,是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.‎ ‎14.设集合 ,.记 为同时满足下列条件的集合 的个数:① ; ②若 ,则 ;③若 ,则 .‎ 则(1) =_____________;‎ ‎(2) 的解析式(用 表示) =_____________.‎ ‎【答案】 (1). 4 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)当时,,符合条件的集合为,‎ 所以.‎ ‎(2)任取偶数,将除以,若商仍为偶数,再除以,经过次以后,商必为奇数,此时记商为,‎ 于是,其中为奇数,.由条件知,‎ 若,则;‎ 若,则.‎ 于是是否属于由是否属于确定.‎ 设是中所有奇数的集合,因此等于的子集个数.‎ 当为偶数(或奇数)时,中奇数的个数是(或),‎ 所以. ‎ ‎ 点睛:本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题,其中解答中涉及到元素与集合的关系,求解函数的解析式,以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查,试题比较新颖,具有一定的创新性,解答是需要认真审题,仔细作答,有一定的难度,属于难题.‎ 三、解答题(本大题共6道小题,共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程,请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.)‎ ‎15.在中,AC=6,‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用同角三角函数的基本关系求再利用正弦定理求AB的长;(2)利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求,然后求 试题解析:解(1)因为,,所以 由正弦定理知,所以 ‎(2)在中,,所以,‎ 于是 又故 因为,所以 因此 ‎【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数,因此解三角函数题,首先应从角进行分析,善于用已知角表示所求角,即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等,选用恰当的公式是解决三角问题的关键,同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎16.‎ 有时可用函数 描述学习某学科知识的掌握程度,其中x表示某学科知识的学习次数(),表示对该学科知识的掌握程度,正实数a与学科知识有关.‎ ‎(1) 证明:当时,掌握程度的增加量总是下降;‎ ‎(2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为,,‎ ‎.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)乙科 ‎【解析】‎ ‎【详解】⑴中,要证明掌握程度的增加量总是下降,只需利用函数的单调性证明单调递减即可;⑵中,根据题意,建立方程求的估计值,结合给出的范围,进行判断.‎ ‎⑴证明:当时,,,‎ 函数单调递增,故单调递减,‎ 所以当时,掌握程度的增加量总是下降.‎ ‎⑵解:由题意知整理可得 所以由此可知,该学科为乙科.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎17.已知函数f(x)=cos(2x)+2sin()sin(x).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)求函数y=f(x)的对称轴方程,并求函数f(x)在区间[,]上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)[kπ,kπ],k∈Z; (Ⅱ)最小值为﹣1,最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(Ⅰ)f(x)=cos(2x)+2sin()sin(x)‎ ‎=cos2xcossin2xsin2cos(x)sin(x)‎ cos2xsin2x+sin(2x)cos2xsin2x+cos2x cos2xsin2x=cos(2x),‎ 由2kπ﹣π≤2x2kπ,k∈Z得kπx≤kπ,k∈Z,‎ 即函数的单调递增区间为[kπ,kπ],k∈Z.‎ ‎(Ⅱ)由2xkπ得x,即函数的对称轴方程为x,k∈Z,‎ 当时,2x≤π,2x,‎ 所以当2xπ,即时,函数f(x)取得最小值,最小值为f(x)=cosπ=﹣1,‎ 当2x,即时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(x)=cos.‎ ‎【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.‎ ‎18.设函数f(x)=x﹣x2+3lnx.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的极值;‎ ‎(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)在直线y=2x﹣2的下方(除点外).‎ ‎【答案】(Ⅰ)极大值3ln;无极小值; (Ⅱ)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;‎ ‎(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣2x+2=﹣x2﹣x+2+3lnx,(x>0),转化为证明,利用导数求得最大值即可证明结论.‎ ‎【详解】(Ⅰ)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=1﹣2x,‎ 令f′(x)>0,解得:0<x,令f′(x)<0,解得:x,‎ 故f(x)在(0,)递增,在(,+∞)递减,‎ 故f(x)极大值=f()3ln3ln;无极小值;‎ ‎(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣2x+2=﹣x2﹣x+2+3lnx,(x>0),‎ g′(x)=﹣2x﹣1,‎ 令g′(x)>0,解得:0<x<1,令g′(x)<0,解得:x>1,‎ 故g(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,‎ 故g(x)max=g(1)=﹣1﹣1+2+3ln1=0,‎ 故曲线y=f(x)在直线y=2x﹣2的下方(除点外).‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.‎ ‎19.已知函数.若曲线和曲线都过点,且在点处有相同的切线.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若时,,求取值范围.‎ ‎【答案】(I);(II).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先求导,根据题意,由导数的几何意义可知,从而可求得的值.(2) 由(1)知,,令,即证时.先将函数求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值.使其最小值大于等于0即可.‎ 试题解析:(1)由已知得,‎ 而,‎ ‎(4分)‎ ‎(2)由(1)知,,‎ 设函数,‎ ‎.‎ 由题设可得,即,‎ 令得, ..(6分)‎ ‎①若,则,∴当时,‎ ‎,当时,,即F(x)在单调递减,在单调递增,故在取最小值,‎ 而.‎ ‎∴当时,,即恒成立. .(8分)‎ ‎②若,则,‎ ‎∴当时,,∴在单调递增,‎ 而,∴当时,,即恒成立,‎ ‎③若,则,‎ ‎∴当时,不可能恒成立. .(10分)‎ 综上所述,的取值范围为.(12分)‎ 考点:用导数研究函数的性质.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎20.对于集合M,定义函数对于两个集合M,N,定义集合已知4,6,8,,2,4,8,.‎ Ⅰ写出和的值,并用列举法写出集合;‎ Ⅱ用表示有限集合M所含元素的个数,求的最小值;‎ Ⅲ有多少个集合对,满足P,,且?‎ ‎【答案】(1),,,(2)4,(3)128‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)依据定义直接得到答案;(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,‎ ‎①且,则;②若且,则.,据此结论找出满足条件的集合,从而求出的最小值.(Ⅲ)由P,Q⊆A∪B,且(P△A)△(Q△B)=A△B求出集合P,Q所满足的条件,进而确定集合对(P,Q)的个数.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ),,.‎ ‎(Ⅱ)根据题意可知:对于集合,‎ ‎①且,则;‎ ‎②若且,则.‎ 所以要使的值最小,2,4,8一定属于集合;1,6,10,16是否属于不影响的值;集合不能含有之外的元素.‎ 所以当为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,取到最小值4.‎ ‎(Ⅲ)因为,‎ 所以.‎ 由定义可知:.‎ 所以对任意元素,,‎ ‎.‎ 所以.‎ 所以.‎ 由知:.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以,即.‎ 因为,‎ 所以满足题意的集合对的个数为.‎ 点睛:本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算,考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论;(2)根据题意可知:对于集合,若且,则;若且,则,由此可得结论;(3)由题意易得 ‎,由定义可知:,易知,由可得,则结论易得.‎ ‎ ‎
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