贵阳专用2019中考数学总复习专题三与直角三角形相关的探究及应用针对训练

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贵阳专用2019中考数学总复习专题三与直角三角形相关的探究及应用针对训练

第二部分 专题三 ‎ ‎1.求下列各式的值:‎ ‎(1)a,b,c是△ABC的三边,且满足a2=(c+b)(c-b)和4c-5b=0,求cosA+cosB的值;‎ ‎ (2)已知A为锐角,且tanA=,求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值.‎ 解:(1)由a2=(c+b)(c-b),得c2=a2+b2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形,且∠C=90°.‎ 由4c-5b=0,得=,‎ ‎∴cosA==,cosB==,‎ ‎∴cosA+cosB=.‎ ‎(2)∵tanA= ,∴∠A=60°,‎ ‎∴原式=()2+2××+()2=+1.‎ ‎2.校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验:先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于24米,在l上点D的同侧取点A,B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°.‎ ‎(1)求AB的长;(结果保留根号)‎ ‎(2)已知本路段对校车限速为45千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速?说明理由.(参考数据: ≈1.41,≈1.73)‎ 解:(1)由题意得在Rt△ADC中,‎ tan30°==,‎ 解得AD=24.‎ 在Rt△BDC 中,tan60°==,‎ 解得BD=8.‎ ‎∴AB=AD-BD=24-8=16(米).‎ ‎(2)∵校车从A到B用时2秒,‎ ‎∴校车的速度为16÷2=8≈13.8(米/秒).‎ ‎∵13.8米/秒=49.68千米/小时>45千米/小时,‎ ‎∴这辆校车超速.‎ ‎3.在一次数学活动课上,老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度,他们首先在A处安置测量器,测得塔顶C的仰角∠CFE=30°,然后往塔的方向前进50米到达B处,此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°.已知测量器高1.5米,请你根据以上数据计算出古塔CD的高度.(≈1.73,≈1.41)‎ 解:∵∠CFE=30°,∠CGE=60°,‎ ‎∴∠FCG=30°,∴GC=FG=50米,‎ ‎∴sin60°==,即=,‎ ‎∴CE=25米,‎ ‎∴CD=CE+DE=25+1.5≈44.75(米).‎ 答:古塔的高度约为44.75米.‎ ‎4.某太阳能热水器的横截面示意图如图所示,已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O,且OB=OD,支架CD与水平线AE垂直,∠BAC=30°,∠CDE=45°,DE=80 cm,AC=180 cm.‎ ‎(1)求支架CD的长;‎ ‎(2)求真空热水管AB的长.(结果保留根号)‎ 解:(1)在Rt△CDE中,∠CDE=45°,DE=80 cm,∴CD=80×cos45°=80×=40 (cm).‎ 答:支架CD的长为40 cm.‎ ‎(2)在Rt△OAC中,∠BAC=30°,AC=180 cm,‎ ‎∴OC=AC·tan30°=180×=60 (cm),‎ ‎∴OD=OC-CD=(60-40 ) cm,‎ ‎∴AB=AO-OB=AO-OD=60×2-(60-40)=(60 +40) cm.‎ 答:真空热水管AB的长为(60+40) cm.‎ ‎5.(2018·梧州)随着人们生活水平的不断提高,旅游已成为人们的一种生活时尚.为开发新的旅游项目,我市对某山区进行调查,发现一瀑布,为测量它的高度,测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°,测得瀑布底端B点的俯角是10°,AB与水平面垂直.又在瀑布下的水平面测得CG=27 m,GF=17.6 m(注:C,G,F三点在同一直线上,CF⊥AB于点F),斜坡CD=20 m,坡角∠ECD=40°,求瀑布AB的高度.(参考数据:≈1.73,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18)‎ ‎ ‎ 解:如答图,过点D作DM⊥CE,交CE于点M,作DN⊥AB,交AB于点N.‎ 在Rt△CMD中,∵CD=20 m,∠DCM=40°,‎ ‎∠CMD=90°,∴CM=CD·cos40°≈15.4 (m),‎ DM=CD·sin40°≈12.8 (m),‎ ‎∴DN=MF=CM+CG+GF=60 (m).‎ 在Rt△BDN中,∵∠BDN=10°,∠BND=90°,‎ DN=60 m,∴BN=DN·tan10°≈10.8 (m).‎ 在Rt△ADN中,∵∠ADN=30°,∠AND=90°,‎ DN=60 m,∴AN=DN·tan30°≈34.6 (m).‎ ‎∴AB=AN+BN=45.4 (m).‎ 答:瀑布AB的高度约为45.4 m.‎ ‎6.(2018·泸州)如图,甲建筑物AD,乙建筑物BC的水平距离AB为90 m,且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍,从E(A,E,B在同一水平线上)点测得D点的仰角为30°,测得C点的仰角为60°,求这两座建筑物顶端C,D间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值)‎ 解:由题意知,BC=6AD,AE+BE=AB=90 m,‎ 在Rt△ADE中,tan30°=,sin30°=,∴AE== AD,DE=2AD.‎ 在Rt△BCE中,tan60°=,sin60°=,‎ ‎∴BE==2 AD,CE==4 AD.‎ ‎∵AE+BE=AB=90 m,∴ AD+2 AD=90,‎ ‎∴AD=10 m,∴DE=20 m,CE=120 m.‎ ‎∵∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,∠DEA=30°,∠CEB=60°,∴∠DEC=90°,‎ ‎∴CD===20 m.‎ 答:这两座建筑物顶端C,D间的距离为20 m.‎
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