2018届二轮复习第四讲不等式教案
第四讲 不等式
[考情分析]
1．选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查；2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查；3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.
年份
卷别
考查角度及命题位置
2017
Ⅰ卷
线性规划求最值·T7
Ⅱ卷
线性规划求最值·T7
Ⅲ卷
线性规划求范围·T5
2016
Ⅰ卷
不等式比较大小、函数的单调性·T8
线性规划的实际应用·T16
Ⅱ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1
线性规划求最值·T14
Ⅲ卷
不等式比较大小、函数的单调性·T7
线性规划求最值·T13
2015
Ⅰ卷
线性规划求最值·T15
Ⅱ卷
线性规划求最值·T14
[真题自检]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线y＝－x，当直线经过点A(3,0)时，z＝x＋y取得最大值，此时zmax＝3＋0＝3.故选D.
答案：D
2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是( )
A．－15 B．－9
C．1 D．9
解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x＋y＝0(图略)，平移直线y＝－2x，当直线经过点(－6，－3)时，z＝2x＋y取得最小值，zmin＝2×(－6)＋(－3)＝－15，选A.
答案：A
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0,3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]，故选B.
答案：B
4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．
由z＝x－2y得y＝x－z.
平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时 ，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.
答案：－5
不等式性质及解法
[方法结论]
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．
2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
3．解含参数不等式要正确分类讨论．
[题组突破]
1．(2017·临沂模拟)若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2
|a＋b|
解析：依题意得b0(e是自然对数的底数)的解集是( )
A．{x|x<－ln 2或x>ln 3} B．{x|ln 20可得0的解集为，令0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)＋≥2(a，b同号且均不为零)，当且仅当a＝b时，等号成立．
(4)a＋≥2(a>0)，当且仅当a＝1时，等号成立；a＋≤－2(a<0)，当且仅当a＝－1时，等号成立．
[题组突破]
1．(2017·合肥第二次质量检测)若a，b都是正数，则的最小值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
答案：C
2．(2017·郑州第二次质量检测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．
解析：由题意得，y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．
答案：3
3．(2017·泰安模拟)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为________．
解析：法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，(a－1)(b－1)＝1，
所以＋≥2＝2×3＝6.
法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，
＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)(＋)－10≥16－10＝6.
法三：因为＋＝1，所以a－1＝，所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.
答案：6
[误区警示]
利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．
线性规划问题及交汇点
线性规划是代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现．传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点．但是，近年 这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向，即将它与函数、方程、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起考查．
[典例](1)(2016·高考浙江卷)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．3 D．6
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，由得C(2，－2)．由
得D(－1,1)．所以|AB|＝|CD|＝＝3.故选C.
答案：C
(2)(2017·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1.若＝x＋y，则3x＋2y的最大值为________．
解析：||2＝(x＋y)2＝9x2＋4y2＋2xy×3×2×(－)＝(3x＋2y)2－3(3x)(2y)≥(3x＋2y)2－(3x＋2y)2
＝(3x＋2y)2.又||2＝1，因此(3x＋2y)2≤1，故3x＋2y≤2，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝
时，
3x＋2y取得最大值2.
答案：2
[类题通法]
1．数形结合思想是解决线性规划问题中最常用到的思想方法，在应用时要注意作图的准确性．
2．转化思想是求解线性规划与其他知识交汇问题的关键，要根据交汇知识点，抓住其联系点、转化求解，同时注意数形结合思想运用．
[演练冲关]
1．(2017·惠州模拟)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．易知A(2,0)，由，得B(1,1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，∴当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在点O(0,0)处取得最大值，
最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D；当a＝2或a＝3时，z＝ax＋y在点A(2,0)处取得最大值，
∴2a＝4，∴a＝2，故选B.
答案：B
2．(2017·济南模拟)点(x，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z＝(x－2)2＋(y－2)2，则Z的最小值为________．
解析：|x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z＝(x－2)2＋(y－2)2的几何意义是点(x，y)到点P(2,2)距离的平方，由图可知Z的最小值为点P(2,2)到直线x＋y＝1距离的平方，即为()2＝.
答案：
3．已知点O是坐标原点，点A(－1，－2)，若点M(x，y)是平面区域上的一个动点，·(－)＋≤0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：因为＝(－1，－2)，＝(x，y)，所以·(－)＝·＝－x－2y.
所以不等式·(－)＋≤0恒成立等价于－x－2y＋≤0，即≤x＋2y恒成立．设z＝x＋2y，
作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z＝x＋2y表示的直线经过点D(1,1)时取得最小值，
最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z＝x＋2y表示的直线经过点B(1,2)时取得最大值，
最大值为1＋2×2＝5.所以x＋2y∈[3,5]，于是要使≤x＋2y恒成立，只需≤3，解得m≥或m<0，
即实数m的取值范围是(－∞，0)∪.
答案：(－∞，0)∪
