二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题

二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题

二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题 一、选择题 ‎1、在直三棱柱中。已知与E分别为和的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）。若，则线段DF长度的取值范围为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、在1~50这50个自然数中，任取三个不同的数，其中能组成公比为正整数的等比数列的概率是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、椭圆的左准线为，左右焦点分别为。抛物线的准线为，焦点是，与的一个交点为，则的值为（ ）‎ ‎、 、 、4 、8‎ ‎4、三棱锥中，顶点在平面ABC的射影为，满足，点在侧面上的射影是的垂心，，则此三棱锥体积的最大值为（ ）‎ A、 36 B、 ‎48 ‎‎ ‎‎ C、 54 D、 72‎ ‎5、设有反函数，将的图象向左平移2个单位，再关于x轴对称后所得函数的反函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、函数的值域为（ ）‎ 二、填空题 ‎7、过椭圆的右焦点作一条倾角为的直线交椭圆于A、B两点，若满足，则椭圆的离心率为 ‎ ‎8、已知实数a，b均不为零，，且，则等于_______‎ ‎9、设，其中，若定义，则集合{ |}的元素个数是___________‎ ‎10、设是偶函数，，若含有10个元素，则的取值范围是 ‎11、已知函数f(x)= ,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ‎ ‎12、若不等式1-loga＜0有解，则实数a的范围是 .‎ 三、解答题 ‎13、如图，椭圆：，、、、为椭圆的顶点．（Ⅰ）设点，若当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时， 取得最大值与最小值，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，且与直线相交于，两点（不是椭圆的左右顶点），并满足．试研究：直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．‎ ‎14、在中，已，又的面积等于6.‎ ‎（Ⅰ）求的三边之长；‎ ‎（Ⅱ）设P是（含边界）内一点，P到三边AB、BC、AB的距离为、和，求的取值范围.‎ ‎15、‎ B A C E A1‎ B1‎ C1‎ 如图，正三棱柱中，是中点. （Ⅰ）求证：//平面； （Ⅱ）若，求点到平面的距离； （Ⅲ）当为何值时，二面角E—BC1—C的正弦值为？‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A ‎2、A ‎3、B ‎4、A ‎ ‎5、A 解：设上有点 左移2 关于x轴对称取反函数 ‎， 代入得 ‎，‎ ‎6、答：.‎ 解：的定义域为则，令，则 因，则 .‎ 二、填空题 ‎7、‎ ‎8、 ‎ ‎9、11 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、作出函数f(x)的图象，要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点，必须a＜1， ‎ ‎12、当a＞1时，不等式化为10-ax＞a,要使不等式有解，必须10-a＞0‎ ‎∴1＜a＜10‎ 当0＜a＜1时，不等式化为0＜10-ax＜a10-a＜ax＜10不等式恒有解 故满足条件a的范围是（0，1）∪（1，10）‎ 三、解答题 ‎13、（Ⅰ）设.‎ 对称轴方程，‎ 由题意或或.‎ ‎∴或或,‎ ‎∴ .‎ ‎（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：，，‎ ‎，，．‎ 椭圆的标准方程为． ‎ 设，，‎ 联立 得，‎ 又，‎ 因为椭圆的右顶点为，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 解得：‎ ‎，，且均满足，‎ 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ ‎14、 解：（Ⅰ）设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c，‎ ‎∵，∴，由正弦定理有,‎ 又由余弦定理有，∴，即，‎ 所以为Rt，且. ‎ ‎①‎ ‎②‎ 又 ‎①÷②，得 令a=4k, b=3k (k>0)‎ 则，∴三边长分别为3，4，5.‎ ‎（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为 设P点坐标为（x, y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知 ‎，且故 令，由线性规划知识可知0≤m≤8，故d1+d2+d3的取值范围是 ‎15、解：（Ⅰ）连接交于点，连接.‎ ‎ 在中，因为分别为中点，则.‎ ‎ 因为平面，平面，则平面.‎ ‎ （Ⅱ）法一：由题知点到平面的距离即点到平面的距离，‎ B A C E A1‎ B1‎ C1‎ H G 是正三棱柱，平面，‎ ‎ 平面，平面平面，‎ ‎ 过点作于点，则平面，‎ ‎ 即点到平面的距离. ‎ 在△中，=，，，由面积相等可得=.‎ 点到平面的距离为.‎ 法二：设点到平面的距离为h，在△中，=，，.‎ ‎，，‎ 点到平面的距离为.‎ 法三：取中点，连接，‎ B A C E A1‎ B1‎ C1‎ x z y G 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 则，‎ 则.‎ 设平面的法向量为，‎ 则即，令，则，即.‎ 设点到平面的距离为，则，‎ 点到平面的距离为.‎ ‎ （Ⅲ）法一：过作于，由三垂线定理得，‎ 故∠为二面角的平面角. ‎ 当AA1=‎2a，AB=b，则，‎ ‎　 在△中，.‎ ‎ 解得b=‎2a，‎ ‎ 当时，二面角的正弦值为.‎ ‎ 法二：设，取中点，连接，‎ ‎ 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如右图所示 B A C E A1‎ B1‎ C1‎ x z y G ‎ ‎ 则，‎ ‎ 则.‎ ‎ 设平面的法向量为，平面的法向量为，‎ ‎ 则有，，即， ‎ ‎ 设，则，‎ ‎ ．‎ ‎ ，解得a=1.‎ ‎ 即当时，二面角的正弦值为.‎